论文部分内容阅读
图象问题的考查无论是在什么层次都会或多或少的有所体现，哪怕在高考试题的命制上也是如此.出于这种原因笔者根据多年的教学经验总结出图象问题的相关规律和方法中的其中一个方面，即图象“几何面积”所具有的特殊意义，以变各位同行和学生在解决这类问题时更为得心应手.
我们知道图象可以形象、直观的反映出物理规律及各物理量之间的关系，处理图象问题的关键是明确图象所具有的物理意义，例如：斜率、截距、面积等分别表示什么.而要搞清图象的物理意义就必须把图象和其对应的表达式结合起来，即把数学中的函数图象的知识与物理规律、公式结合起来分析例题分析.
一、v-t图的“面积”表示位移
v-t图象能够很好地直观反映出物体运动的快慢随时间的变化关系及规律.根据图象能确定物体的运动性质(如是匀速、还是变速，变速运动是加速还是减速)以及速度变化的快慢.图线与横轴所围成的面积表示位移.
例1 甲、乙两物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v-t图象如图1所示,则（）
(A) 甲、乙在t=0 s到t=1 s之间沿同一方向运动
(B) 乙在t=0到t=7 s之间的位移为零
(C) 甲在t=0到t=4 s之间做往复运动
(D) 甲、乙在t=6 s时的加速度方向相同
解析：由v-t图象知，0~1 s甲始终是正方向运动，乙是先负方向运动，后又正方向运动，选项(A)错误；根据乙图线所构成的x轴上下图形面积，正负之和为0，选项(B)正确；甲在0~4 s阶段一直在向正方向运动，选项(C)错误；当t=6 s时，两个物体的图象倾斜程度与方向相同，所以两物体加速度的方向相同，故选项(D)正确.
二、a-t图象的面积表示速度的变化量
在a-t图象中图象与横轴所围成的“面积” 为什么可以表示相应时间段内速度的变化量?其实对于这个问题可以借助微元法来解决，先从简单的匀变速直线运动入手，再过渡到变加速运动(这个类似于利用v-t图象来推导匀变速直线运动的位移公式在这里笔者就不在重复叙述).从而可以判断a-t的图象即使是一条曲线，这个“面积”仍可以表示运动物体在相应时间段内速度的变化量.
例2 如图2(1)所示，质量分别为m1＝1 kg和m2＝2 kg的A、B两物块并排放在光滑水平面上，若对A、B分别施加大小随时间变化的水平外力F1和F2，若F1＝（9-2t） N，F2＝（3＋2t） N，则：
（1）经多长时间t0两物块开始分离?
（2）在所给的a-t图中画出A、B两个物体的加速度a1和a2随时间变化的规律.
（3）已知速度的定义式为：x=Δx Δt，且v-t图象与横轴所围成的面积可以表示位移x；加速度的定义为a=Δv Δt，则a-t图象与横轴所围成的“面积”在数值上应等于什么?
（4）由加速度a1和a2随时间变化图象可求得A、B两物块分离后2 s其相对速度为多大?
解析：（1）当两物体分离瞬间加速度相等，A、B间相互作用力为零a1=a2，
即：F1 m1=
F2 m2t0＝2.5 s.
（2）t0=2.5 s以后,对A:9-2t=m1a1,所以a1=9-2t.
对B：3+2t=m2a2，所以a2=（3+2t）/2=1.5+t；据此作图.
所以两物块的加速度a1、a2随时间的变化图象如图2(2)所示.
（3）等于其速度的变化量Δv;
（4）等于图中阴影部分的“面积”大小，即vBA＝6 m/s.
三、F-x的“面积”表示力所做的功
图象与横轴所围成的“面积”为什么可以表示变力所做的功?对于这点可结合匀变速直线运动中的v—t图象与横轴所围成“面积”表示位移来辅助理解．从而可以判断F-x的图象即使是一条曲线，这个“面积”仍是变力在相应过程中所做的功.
例3 一条长度为L，质量为m且分布均匀长绳，绳子有一段放置在光滑的水平桌面上，另一段垂于桌面下方且长度为a.则从绳子下滑到全部离开桌面的过程中重力所做的功是多少？
解析：开始使绳下滑的力是a段绳所受的重力
a lmg，此后下垂的绳逐渐变长，使绳下滑的力也逐渐增大，且随下垂段绳长均匀增大.当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移为l-a，此时使绳下滑的力是整条绳所受的重力mg，这是一个变力做功的问题，可用用F-x图象来分析.
可得：W=1 2(a lmg+mg)•(l-a)=
mg(l2-a2) 2l.
点评：根据力F随位移x变化的关系，作出F-x关系图象，（纵坐标表示位移方向上的力F，横坐标表示物体的位移）并利用这个图象求解变力F所做的功．
四、I-t图象与横轴所围成的面积表示电流通过导体某一横截面的电荷量
I-t图象与横轴所围成的面积是不是也可以表示某一个物理量呢？对于这个问题我们从恒定电流出发，由电荷量的定义式q=It可知，I-t图象与横轴围成的面积表示这段时间内通过导体横截面的电荷量，利用微元法进一步可得当电流变化时I-t图象与坐标轴所包围的面积所具有的意义，计算面积时可以利用数格法，多于半格的算一格，少于半格的舍去.
例4 如图4甲所示是利用高电阻放电测电容的实验装置电路图，当该电容器两端的电势差为U时，电容器所带的电荷量为Q，从而再求出待测电容器的电容C．小明同学处理该实验的具体步骤如下：
（1）按图4甲所示电路连接好实验电路；
（2）闭合开关S，调节电阻R，使电流计的指针尽可能达到最大刻度线，记录此时电流计的读数I1＝490 μA及电压表的读数U1 ＝6.2 V，I1、U1 是该电容器放电时的初始电流和电压；
（3）将s断开并同时计时，每10 s（或5 s）进行测量一次电流I的数值，并将测出的数据记录在表格中，并依据表格中的数据（8组），以电流（I）为纵轴，时间（t）为横轴建立直角坐标系，并将几组数据描绘在坐标系中，如图乙所示．在乙图中用平滑曲线描绘出该电容器放电时的I-t图象,利用所描绘的图象估算该电容器两极板间的电势差为U1时所带的电荷量Q1及其电容C分别为多少？
解析：本题是有关电容器充放电的问题.处理该题的具体思路是：用平滑曲线连接各点，查出所画的曲线与从标轴所围的格数以求得面积．因ΔQ=I•Δt=t即为曲线与从标轴所围的格数的面积：
则该电容器两端的电压为U0时所带的电量Q约为：（8.0-9.0 ）×10-3 C
该电容器的电容C约为：C=q u=（1.29-1.45）×10-3 F.
点评：明确图象的物理意义，巧用数学方法处理物理问题，往往会给人一种耳目一新的感觉.
明确图形中的“几何面积”的实际意义，不仅可以帮助我们进一步理解物理基本概念和基本规律，更能很好的多角度、直观、高效地处理物理问题.其实，有关图象的特点与规律不仅仅是“几何面积”，还有图象的斜率、纵横轴的截距等等.无论是什么图象只要把握住其中的解题与分析规律，所有的问题都会迎刃而解.
我们知道图象可以形象、直观的反映出物理规律及各物理量之间的关系，处理图象问题的关键是明确图象所具有的物理意义，例如：斜率、截距、面积等分别表示什么.而要搞清图象的物理意义就必须把图象和其对应的表达式结合起来，即把数学中的函数图象的知识与物理规律、公式结合起来分析例题分析.
一、v-t图的“面积”表示位移
v-t图象能够很好地直观反映出物体运动的快慢随时间的变化关系及规律.根据图象能确定物体的运动性质(如是匀速、还是变速，变速运动是加速还是减速)以及速度变化的快慢.图线与横轴所围成的面积表示位移.
例1 甲、乙两物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运动，其v-t图象如图1所示,则（）
(A) 甲、乙在t=0 s到t=1 s之间沿同一方向运动
(B) 乙在t=0到t=7 s之间的位移为零
(C) 甲在t=0到t=4 s之间做往复运动
(D) 甲、乙在t=6 s时的加速度方向相同
解析：由v-t图象知，0~1 s甲始终是正方向运动，乙是先负方向运动，后又正方向运动，选项(A)错误；根据乙图线所构成的x轴上下图形面积，正负之和为0，选项(B)正确；甲在0~4 s阶段一直在向正方向运动，选项(C)错误；当t=6 s时，两个物体的图象倾斜程度与方向相同，所以两物体加速度的方向相同，故选项(D)正确.
二、a-t图象的面积表示速度的变化量
在a-t图象中图象与横轴所围成的“面积” 为什么可以表示相应时间段内速度的变化量?其实对于这个问题可以借助微元法来解决，先从简单的匀变速直线运动入手，再过渡到变加速运动(这个类似于利用v-t图象来推导匀变速直线运动的位移公式在这里笔者就不在重复叙述).从而可以判断a-t的图象即使是一条曲线，这个“面积”仍可以表示运动物体在相应时间段内速度的变化量.
例2 如图2(1)所示，质量分别为m1＝1 kg和m2＝2 kg的A、B两物块并排放在光滑水平面上，若对A、B分别施加大小随时间变化的水平外力F1和F2，若F1＝（9-2t） N，F2＝（3＋2t） N，则：
（1）经多长时间t0两物块开始分离?
（2）在所给的a-t图中画出A、B两个物体的加速度a1和a2随时间变化的规律.
（3）已知速度的定义式为：x=Δx Δt，且v-t图象与横轴所围成的面积可以表示位移x；加速度的定义为a=Δv Δt，则a-t图象与横轴所围成的“面积”在数值上应等于什么?
（4）由加速度a1和a2随时间变化图象可求得A、B两物块分离后2 s其相对速度为多大?
解析：（1）当两物体分离瞬间加速度相等，A、B间相互作用力为零a1=a2，
即：F1 m1=
F2 m2t0＝2.5 s.
（2）t0=2.5 s以后,对A:9-2t=m1a1,所以a1=9-2t.
对B：3+2t=m2a2，所以a2=（3+2t）/2=1.5+t；据此作图.
所以两物块的加速度a1、a2随时间的变化图象如图2(2)所示.
（3）等于其速度的变化量Δv;
（4）等于图中阴影部分的“面积”大小，即vBA＝6 m/s.
三、F-x的“面积”表示力所做的功
图象与横轴所围成的“面积”为什么可以表示变力所做的功?对于这点可结合匀变速直线运动中的v—t图象与横轴所围成“面积”表示位移来辅助理解．从而可以判断F-x的图象即使是一条曲线，这个“面积”仍是变力在相应过程中所做的功.
例3 一条长度为L，质量为m且分布均匀长绳，绳子有一段放置在光滑的水平桌面上，另一段垂于桌面下方且长度为a.则从绳子下滑到全部离开桌面的过程中重力所做的功是多少？
解析：开始使绳下滑的力是a段绳所受的重力
a lmg，此后下垂的绳逐渐变长，使绳下滑的力也逐渐增大，且随下垂段绳长均匀增大.当绳全部离开桌面时，绳下滑的位移为l-a，此时使绳下滑的力是整条绳所受的重力mg，这是一个变力做功的问题，可用用F-x图象来分析.
可得：W=1 2(a lmg+mg)•(l-a)=
mg(l2-a2) 2l.
点评：根据力F随位移x变化的关系，作出F-x关系图象，（纵坐标表示位移方向上的力F，横坐标表示物体的位移）并利用这个图象求解变力F所做的功．
四、I-t图象与横轴所围成的面积表示电流通过导体某一横截面的电荷量
I-t图象与横轴所围成的面积是不是也可以表示某一个物理量呢？对于这个问题我们从恒定电流出发，由电荷量的定义式q=It可知，I-t图象与横轴围成的面积表示这段时间内通过导体横截面的电荷量，利用微元法进一步可得当电流变化时I-t图象与坐标轴所包围的面积所具有的意义，计算面积时可以利用数格法，多于半格的算一格，少于半格的舍去.
例4 如图4甲所示是利用高电阻放电测电容的实验装置电路图，当该电容器两端的电势差为U时，电容器所带的电荷量为Q，从而再求出待测电容器的电容C．小明同学处理该实验的具体步骤如下：
（1）按图4甲所示电路连接好实验电路；
（2）闭合开关S，调节电阻R，使电流计的指针尽可能达到最大刻度线，记录此时电流计的读数I1＝490 μA及电压表的读数U1 ＝6.2 V，I1、U1 是该电容器放电时的初始电流和电压；
（3）将s断开并同时计时，每10 s（或5 s）进行测量一次电流I的数值，并将测出的数据记录在表格中，并依据表格中的数据（8组），以电流（I）为纵轴，时间（t）为横轴建立直角坐标系，并将几组数据描绘在坐标系中，如图乙所示．在乙图中用平滑曲线描绘出该电容器放电时的I-t图象,利用所描绘的图象估算该电容器两极板间的电势差为U1时所带的电荷量Q1及其电容C分别为多少？
解析：本题是有关电容器充放电的问题.处理该题的具体思路是：用平滑曲线连接各点，查出所画的曲线与从标轴所围的格数以求得面积．因ΔQ=I•Δt=t即为曲线与从标轴所围的格数的面积：
则该电容器两端的电压为U0时所带的电量Q约为：（8.0-9.0 ）×10-3 C
该电容器的电容C约为：C=q u=（1.29-1.45）×10-3 F.
点评：明确图象的物理意义，巧用数学方法处理物理问题，往往会给人一种耳目一新的感觉.
明确图形中的“几何面积”的实际意义，不仅可以帮助我们进一步理解物理基本概念和基本规律，更能很好的多角度、直观、高效地处理物理问题.其实，有关图象的特点与规律不仅仅是“几何面积”，还有图象的斜率、纵横轴的截距等等.无论是什么图象只要把握住其中的解题与分析规律，所有的问题都会迎刃而解.