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【关键词】模型思想；主动建构；感悟；乘法分配律
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）21-0055-03
【作者简介】1.胡德运，江苏省无锡市洛社中心小学（江苏无锡，214187），一级教师，无锡市数学教学能手；2.陈燕，江苏省锡山高级中学实验学校小学部（江苏无锡，214177），一级教师，无锡市数学教学能手。
“乘法分配律”是乘法中的三大运算律之一，它有效沟通了乘法与加法、减法之间的联系，思维含量高，是一种非常重要的数学模型。与乘法交换律、结合律只包含单一的运算相比，乘法分配律中含有两种运算，这种形式上的变化与特殊结构往往会给学生造成一定的认知障碍。那么，乘法分配律的教学如何有效突破教学难点，引导学生走出思维的窠臼呢？笔者撷取苏教版四下《乘法分配律》一课的几个教学片段，谈谈自己的实践与思考。
一、从“解决问题”到“发现现象”
出示情境图：四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳。四、五年级一共要领多少根跳绳？学生列综合算式解答，教师组织全班交流。
生：先算出四、五年级一共有多少个班，再算一共要领多少根跳绳，列式（6 4）×24=240（根）。
生：先算出四、五年级各领多少根跳绳，再算一共要领多少根跳绳，列式6×24 4×24=240（根）。
师：同学们用两种不同的方法解决了这个实际问题，两个算式的计算结果都是240，这两个算式之间可以用哪个符号连接起来？
生：等号。
师：这样我们就得到一个等式：（6 4）×24=6×24 4×24，比一比，等号两边的算式各有什么特点？又有什么联系？
学生小组讨论，之后全班交流。
师：刚才同学们交流了自己的想法，其实我们还可以结合乘法的意义从运算的角度来思考。等号左边先算什么？表示几个24？
生：先算6加4等于10，10×24表示10个24。
师：等号右边呢？
生：6×24表示6个24，4×24表示4个24，加起来一共是10个24。
师：我们发现，等号两边的算式虽然各有特点，但都是在求几个24是多少？
生：都是在求10个24是多少。
从解决实际问题入手，引导学生列综合算式进行解答，在交流不同算式的实际意义和比较计算结果的基础上，得到“乘法分配律”研究的第一个实例的等式。然后，教师及时去情境化，引导学生观察、比较两个算式的不同特点，并结合乘法的意义从运算的角度来说明等号两边算式之间的联系，使学生了解等式表示的数学内容。学生在分析等式“现实意义”的过程中，初步感受到乘法分配律的合理性；在分析等式“数学意义”的过程中，初步认识了乘法分配律的基本结构和内涵。
二、从“个例分析”到“举例丰富”
师：刚才我们观察了一个等式，发现了等式中两个算式之间的联系。那么，具有这样特点的两个算式是不是一定能组成等式呢？请同学们在心里先想两个具有这样特点的算式。
生：我想的两个算式是（9 3）×5和9×5 3×5。
师：这两个算式能组成等式吗？
生：可以组成等式，两边的结果都等于60。
生：左边的算式先算9 3等于12，12×5表示12个5；右边的算式是算9个5加上3个5，也表示12个5，可以组成等式。
师：看来，无论是从计算结果上来比较，还是从乘法的意义上来思考，都可以确定（9 3）×5和9×5 3×5可以组成等式。
师：你也能像这样写出两个算式，并判断它们能否组成等式吗？
学生自主写算式，教师组织全班交流并相机板书例子。
师：有没有谁写的算式不能组成等式的？
生：没有。
师：像这样的一组算式还能写吗？写得完吗？
生：还能写，写不完，有无数个。
研究乘法分配律需要丰富的素材，因此，教师有意识地引导学生明确：从第一个实例中看到的数学现象并不能很快上升为一种普遍规律，还需要举出更多的例子在类似的情况中进行求证。教学中，教师遵循由扶到放的原则，按照“写出算式→算出得数→比较结果→形成等式”的基本思路引导学生正确地举例，同时注重引导学生结合乘法的意义，从运算的角度对每组算式能否组成等式进行验证。在举例的过程中，教师不仅注重引导学生关注举例的数量，还注重引导学生从反例的角度进行逆向思考。从单个例子的等式关系，类推到更多例子的若干同类现象的等式关系，教师在不断丰富学生数学学习感性材料的同时，无形中也传递了科学的认知方法和态度。
三、从“概括特征”到“建立模型”
师：仔细观察黑板上的这些等式，等号两边的算式有什么共同特点？
学生小组讨论，教师组织全班交流。
生：每组两个算式中的三个数是相同的，计算结果也相同。
生：等号左边的算式都是先算加法再算乘法，右边的算式都是先算两个乘法再算加法。
师：这两个乘法都是谁和谁相乘啊？
生：都是括号里的两个数分别与括号外面的数相乘。
师：如果用字母a、b、c分别表示这三个数，发现的规律可以怎样表示？
生：（a b）×c=a×c b×c。
师：这个字母表达式的左边和右边分别表示什么？
师：左边表示两个数的和与一个数相乘，也就是（a b）个c；右边表示两个加数分别与这个数相乘再相加，也就是“a个c b个c”。等式两边都是算（a b）个c是多少，所以结果不变。
师：我们发现的这个规律是乘法中又一条重要的运算律，叫乘法分配律。（板书课题）你觉得“分配”这个词是什么意思？ 生：“分配”就是括号里的数分别与括号外的数相乘。
师：没错，“分配”就是“分别配对”的意思。在这里，a和b分别与谁配对？
根据学生的回答，教师完成板书：
（a b）×c=a×c b×c
师：从左往右看这个字母式，乘法分配律表示两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数分别与这个数相乘，再把积相加，结果不变。那从右往左看呢？
生：两个加数分别与一个数相乘，再把积相加，就等于两个加数的和与这个数相乘。
在学生充分感悟等式左右两边算式特点的基础上，教师给予学生充分思考、交流的时空，引导他们用自己的语言描述发现的规律，用含有字母的式子抽象、概括发现的规律，不仅培养了学生的符号意识，还使学生初步感悟到归纳的数学思想方法。然后，教师引导学生根据乘法意义来分析乘法分配律，明晰（a b）×c与a×c b×c之间的联系，使学生从本质上理解乘法分配律。同时，教师紧紧围绕“分配”一词，引发学生展开深度思考，形象化地解释a与c配对得到a×c，b与c配对得到b×c，有助于学生建立乘法分配律的数学模型，使他们初步感悟模型思想。
四、从“反思研究”到“沟通联系”
师：回顾刚才的学习过程，我们是怎样研究出乘法分配律的？
生：我们先解决一个实际问题，得到了一个等式，然后举了更多例子进行观察比较。
生：在判断两个算式能不能组成等式时，我们不仅从计算结果上进行判断，还根据乘法的意义进行思考。
生：与以前学习运算律一样，我们用字母式子表示出了乘法分配律。
师：同学们总结得真好！其实，我们对乘法分配律并不陌生，在以前的学习中就曾接触过。（出示：12×3）这是两位数乘一位数，我们是怎样计算的？
生：我们把12分成10和2，先算10×3和2×3，再把两个积加起来。
师：把这种想法用等式表示出来就可以写成12×3=10×3 2×3，就运用了乘法分配律。
师（出示“长方形周长的计算”情境图）：三年级时，我们学习了长方形周长的计算，还记得长方形篮球场的周长是怎样求的吗？
生：用两条长加上两条宽，列式是28×2 15×2。
生：先算出一条长和一条宽的和，再乘2，列式是（28 15）×2。
师：这两道算式都是在求篮球场的周长，所以它们的结果是相等的。（板书：28×2 15×2=（28 15）×2）看着这个等式，你想到了什么？
生：我想到了乘法分配律。
数学学习不能仅仅满足于结论的获得，更重要的是探索结论的过程。一方面，教师引导学生回顾乘法分配律的研究过程，及时将学生通过探索获得的经验与结论进一步抽象、概括、提炼为数学认识与方法，让学生“知其然”更“知其所以然”。另一方面，教师引导学生回顾“两位数乘一位数”和“长方形周长的计算”的有关知识，让学生在“说理”中经历演绎论证的思维过程，有效沟通了新旧知识间的联系，进一步提升了他们数学学习的经验和水平。
在教学中，教师有意识地渗透模型思想，不仅可以促进学生的数学理解，发展其思维能力，提升其思维品质，还可以激发学生的学习兴趣，增强其应用意识，培养其积极的情感。“乘法分配律”的教学，需要教师合理利用学生已有的知识和经验，引导学生经历从具体到抽象的探索过程、从感性到理性的“数学化”过程，从而使学生在自主活动和积极思辨中完成对乘法分配律的意义建构，初步感悟数学模型思想。
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）21-0055-03
【作者简介】1.胡德运，江苏省无锡市洛社中心小学（江苏无锡，214187），一级教师，无锡市数学教学能手；2.陈燕，江苏省锡山高级中学实验学校小学部（江苏无锡，214177），一级教师，无锡市数学教学能手。
“乘法分配律”是乘法中的三大运算律之一，它有效沟通了乘法与加法、减法之间的联系，思维含量高，是一种非常重要的数学模型。与乘法交换律、结合律只包含单一的运算相比，乘法分配律中含有两种运算，这种形式上的变化与特殊结构往往会给学生造成一定的认知障碍。那么，乘法分配律的教学如何有效突破教学难点，引导学生走出思维的窠臼呢？笔者撷取苏教版四下《乘法分配律》一课的几个教学片段，谈谈自己的实践与思考。
一、从“解决问题”到“发现现象”
出示情境图：四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳。四、五年级一共要领多少根跳绳？学生列综合算式解答，教师组织全班交流。
生：先算出四、五年级一共有多少个班，再算一共要领多少根跳绳，列式（6 4）×24=240（根）。
生：先算出四、五年级各领多少根跳绳，再算一共要领多少根跳绳，列式6×24 4×24=240（根）。
师：同学们用两种不同的方法解决了这个实际问题，两个算式的计算结果都是240，这两个算式之间可以用哪个符号连接起来？
生：等号。
师：这样我们就得到一个等式：（6 4）×24=6×24 4×24，比一比，等号两边的算式各有什么特点？又有什么联系？
学生小组讨论，之后全班交流。
师：刚才同学们交流了自己的想法，其实我们还可以结合乘法的意义从运算的角度来思考。等号左边先算什么？表示几个24？
生：先算6加4等于10，10×24表示10个24。
师：等号右边呢？
生：6×24表示6个24，4×24表示4个24，加起来一共是10个24。
师：我们发现，等号两边的算式虽然各有特点，但都是在求几个24是多少？
生：都是在求10个24是多少。
从解决实际问题入手，引导学生列综合算式进行解答，在交流不同算式的实际意义和比较计算结果的基础上，得到“乘法分配律”研究的第一个实例的等式。然后，教师及时去情境化，引导学生观察、比较两个算式的不同特点，并结合乘法的意义从运算的角度来说明等号两边算式之间的联系，使学生了解等式表示的数学内容。学生在分析等式“现实意义”的过程中，初步感受到乘法分配律的合理性；在分析等式“数学意义”的过程中，初步认识了乘法分配律的基本结构和内涵。
二、从“个例分析”到“举例丰富”
师：刚才我们观察了一个等式，发现了等式中两个算式之间的联系。那么，具有这样特点的两个算式是不是一定能组成等式呢？请同学们在心里先想两个具有这样特点的算式。
生：我想的两个算式是（9 3）×5和9×5 3×5。
师：这两个算式能组成等式吗？
生：可以组成等式，两边的结果都等于60。
生：左边的算式先算9 3等于12，12×5表示12个5；右边的算式是算9个5加上3个5，也表示12个5，可以组成等式。
师：看来，无论是从计算结果上来比较，还是从乘法的意义上来思考，都可以确定（9 3）×5和9×5 3×5可以组成等式。
师：你也能像这样写出两个算式，并判断它们能否组成等式吗？
学生自主写算式，教师组织全班交流并相机板书例子。
师：有没有谁写的算式不能组成等式的？
生：没有。
师：像这样的一组算式还能写吗？写得完吗？
生：还能写，写不完，有无数个。
研究乘法分配律需要丰富的素材，因此，教师有意识地引导学生明确：从第一个实例中看到的数学现象并不能很快上升为一种普遍规律，还需要举出更多的例子在类似的情况中进行求证。教学中，教师遵循由扶到放的原则，按照“写出算式→算出得数→比较结果→形成等式”的基本思路引导学生正确地举例，同时注重引导学生结合乘法的意义，从运算的角度对每组算式能否组成等式进行验证。在举例的过程中，教师不仅注重引导学生关注举例的数量，还注重引导学生从反例的角度进行逆向思考。从单个例子的等式关系，类推到更多例子的若干同类现象的等式关系，教师在不断丰富学生数学学习感性材料的同时，无形中也传递了科学的认知方法和态度。
三、从“概括特征”到“建立模型”
师：仔细观察黑板上的这些等式，等号两边的算式有什么共同特点？
学生小组讨论，教师组织全班交流。
生：每组两个算式中的三个数是相同的，计算结果也相同。
生：等号左边的算式都是先算加法再算乘法，右边的算式都是先算两个乘法再算加法。
师：这两个乘法都是谁和谁相乘啊？
生：都是括号里的两个数分别与括号外面的数相乘。
师：如果用字母a、b、c分别表示这三个数，发现的规律可以怎样表示？
生：（a b）×c=a×c b×c。
师：这个字母表达式的左边和右边分别表示什么？
师：左边表示两个数的和与一个数相乘，也就是（a b）个c；右边表示两个加数分别与这个数相乘再相加，也就是“a个c b个c”。等式两边都是算（a b）个c是多少，所以结果不变。
师：我们发现的这个规律是乘法中又一条重要的运算律，叫乘法分配律。（板书课题）你觉得“分配”这个词是什么意思？ 生：“分配”就是括号里的数分别与括号外的数相乘。
师：没错，“分配”就是“分别配对”的意思。在这里，a和b分别与谁配对？
根据学生的回答，教师完成板书：
（a b）×c=a×c b×c
师：从左往右看这个字母式，乘法分配律表示两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数分别与这个数相乘，再把积相加，结果不变。那从右往左看呢？
生：两个加数分别与一个数相乘，再把积相加，就等于两个加数的和与这个数相乘。
在学生充分感悟等式左右两边算式特点的基础上，教师给予学生充分思考、交流的时空，引导他们用自己的语言描述发现的规律，用含有字母的式子抽象、概括发现的规律，不仅培养了学生的符号意识，还使学生初步感悟到归纳的数学思想方法。然后，教师引导学生根据乘法意义来分析乘法分配律，明晰（a b）×c与a×c b×c之间的联系，使学生从本质上理解乘法分配律。同时，教师紧紧围绕“分配”一词，引发学生展开深度思考，形象化地解释a与c配对得到a×c，b与c配对得到b×c，有助于学生建立乘法分配律的数学模型，使他们初步感悟模型思想。
四、从“反思研究”到“沟通联系”
师：回顾刚才的学习过程，我们是怎样研究出乘法分配律的？
生：我们先解决一个实际问题，得到了一个等式，然后举了更多例子进行观察比较。
生：在判断两个算式能不能组成等式时，我们不仅从计算结果上进行判断，还根据乘法的意义进行思考。
生：与以前学习运算律一样，我们用字母式子表示出了乘法分配律。
师：同学们总结得真好！其实，我们对乘法分配律并不陌生，在以前的学习中就曾接触过。（出示：12×3）这是两位数乘一位数，我们是怎样计算的？
生：我们把12分成10和2，先算10×3和2×3，再把两个积加起来。
师：把这种想法用等式表示出来就可以写成12×3=10×3 2×3，就运用了乘法分配律。
师（出示“长方形周长的计算”情境图）：三年级时，我们学习了长方形周长的计算，还记得长方形篮球场的周长是怎样求的吗？
生：用两条长加上两条宽，列式是28×2 15×2。
生：先算出一条长和一条宽的和，再乘2，列式是（28 15）×2。
师：这两道算式都是在求篮球场的周长，所以它们的结果是相等的。（板书：28×2 15×2=（28 15）×2）看着这个等式，你想到了什么？
生：我想到了乘法分配律。
数学学习不能仅仅满足于结论的获得，更重要的是探索结论的过程。一方面，教师引导学生回顾乘法分配律的研究过程，及时将学生通过探索获得的经验与结论进一步抽象、概括、提炼为数学认识与方法，让学生“知其然”更“知其所以然”。另一方面，教师引导学生回顾“两位数乘一位数”和“长方形周长的计算”的有关知识，让学生在“说理”中经历演绎论证的思维过程，有效沟通了新旧知识间的联系，进一步提升了他们数学学习的经验和水平。
在教学中，教师有意识地渗透模型思想，不仅可以促进学生的数学理解，发展其思维能力，提升其思维品质，还可以激发学生的学习兴趣，增强其应用意识，培养其积极的情感。“乘法分配律”的教学，需要教师合理利用学生已有的知识和经验，引导学生经历从具体到抽象的探索过程、从感性到理性的“数学化”过程，从而使学生在自主活动和积极思辨中完成对乘法分配律的意义建构，初步感悟数学模型思想。