高中数学人教A版必修4第100页探究题为：当 时，点P的坐标是什么？由此不难得出P点的横坐标 （ ）。我们进一步研究 和 的联系，上式变形为 ，这是一个反比例型函数，其图象为
　　（ ） （ ）
　　根据图象的特征，我们可得到
　　性质：平面内两定点 ，不妨设 ， （i=1，2，3……）满足 ，对于不同的i，j，有
　　（1） 若 ，则 ，且点 比 距B点近；
　　（2） 若 ，则 ，且点 比 距B点远；
　　（3）若 ，则 ，且点 在点B左（右），点 在点B右（左）；
　　证明：（1）
　　又 ，
　　（ ） ，由图象知，点 比 距B点近。（2），（3）同理可证。（略）
　　我们利用上述性质，常可应用于下列几何问题：
　　1.用于比较值的大小
　　例1.已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小。
　　分析：此题常规法利用函数单调性解。根据数字的结构特征，可化为 形式的式子，再利用性质能较方便的得出大小关系。
　　解：设 ， 满足 ，令 ， ， ，此时 ， ， ，且 根据性质（1）得 。
　　上题可推广到更一般化情形：
　　设 且 ，b，t，s ，试比较 与 的大小。
　　分析：将原式变形为 与 ，设 ， 满足 ，令 ， ，当 时， ，有 ， ，又 ，所以 ，由性质1知，前者比后者大。当 时，同理可得。（略）
　　例2.已知 且 ， ，判断 与 的大小。
　　分析：根据分式结构关系，分子三倍角正切可化单角的正切，再化简转化为需要的形式。
　　解： ， ，
　　设 ， 满足
　　令 ， ，
　　（i）当 时， ， ，
　　， ，由性质（1）知 ；
　　（ii） 当 时，有 ，由性质（1）知 ；
　　（iii）当 时，有 ，由性质（3）知
　　2.应用于解不等式
　　例3.解不等式：
　　解：令 ， ， 满足 ， ，则不等式转化为 ，即点 在点 与 之间（包括端点）变动，而 满足 时对应的 ，所以
　　即
　　（1）当 时， ，即原不等式的解集为 ；
　　（2）当 时， ，即原不等式的解集为 。
　　3.应用于证明不等式
　　例4. 若 ，则 。
　　证明： ，
　　设点 ， 满足 ，令 ， ，由 知 ，所以 ，即
　　由性质（3）知 ，且点 在点B左边，点 在点B右边，所以 即 。
　　例5.若 ，求证 不能介于 与 之间。
　　证明： ， ， ，
　　设点 ， 满足 ，令满足 ， ， ，因为 ， ，所以 ， ， ，
　　即 。
　　当 时，
　　当 时，
　　即 不能介于 与 之间。
　　由上述几方面的解题思路不难看出，任何一道看似繁难的课外题目，它的解题知识点和思想方法其实都在课本内。因此，加强对课本知识的深挖细析是提高解题能力的关键。
　　参考文獻：
　　【1】林国钦.构造定比分点坐标解题.中学数学月刊，1999.6.
　　【2】满多博.构造函数解不等式问题的若干方法.数学教学研究，2002.2.
　　【3】宋海永.挖掘课本素材，成就精彩教学.中学数学月刊，2012.8.
　　【4】王淼生.数学美本质上终究是简单.数学教学，2013.8.