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导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，对这部分内容的考查以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题，以及曲线的问题等，在此主要侧重知识之运用。运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，命题常以复合函数的形式出现。在教学过程中，我重点从以下几个方面进行了一些尝试。
一、 函数单调性的讨论
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断fx1-fx2正负时就较为困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出f′x，再考虑f′x的正负即可，此方法简单快捷而且适用面较广。
例1. 判定函数y1=x3-x和y2=x3+x在-∞，+∞上的增减性。
解：y′1=3x2-1=3x+153x-153
当y′10得x-153或x153
当y′10 得-153x153
所以y1=x3-x在-∞，-153和153，+∞内单调增加，在-153，153内单调减少。
y′2=3x2+10，故y2=x3+x在-∞，+∞上单调增加。
例2.求函数fx=sinx-xcosx的单调区间。
分析：这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这个题目中，需要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质.首先对fx求导，得到f′x=xsinx；再令f′x0或f′x0，通过解关于x的不等式，得到fx的单调递增（减）区间.根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上。
解：∵f′x=cosx+xsinx-cosx=xsinx
令f′x=xsinx0
解得x∈2kπ，2k+1π 或
x∈-2kπ，-2k+1πk=0，1，2，…
所以当x∈2kπ，2k+1π
∪ -2kπ，-2k+1πk=0，1，2，…时，fx是增函数.
再令f′x0解得x∈2k-1π，2kπ
或x∈-2kπ，-2k+1πk=1，2，…
所以当x∈2k-1π，2kπ
∪ -2kπ，-2k+1πk=1，2，…时，fx是减函数.
因此fx 单调减区间2k-1π，2kπ
∪ -2kπ，-2k+1πk=1，2，… ；
单调递增区间2kπ，2k+1π
∪ -2kπ，-2k+1πk=0，1，2，….
二 、函数的最值（极值）的求法
最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。
静的望着我。
生：虽然在树林里，我练琴仍像是在锯床腿，但是老人并没有像我的家人一样打击我，也没有走开，只是静静的坐着，平静的望着我。她是不想打扰我。
生：以后，在我练琴的时候，老人一直平静的望着我。老人可能是想让我坚持练下去，不管拉出来的是什么声音。我能从老人的眼神中感觉到一种鼓励。
师：对。在家人面前得不到鼓励，但是老人平静的眼神却是我最大的鼓励。老人的眼神似乎一直在说“我会用心去感受这音乐。”（学生朗读）
生：再后来，我看着老人慈祥地望着我，平静的眼神，像深深的潭水。以前我演奏的时候没有自信，而现在演奏的时候，更自信了。
师：他三次写到了老人平静地望着我，前两次有没有写到到他慈祥的眼神？有没有写到他平静眼神像深深的潭水？没有，因为他自信了。
师：平静的眼神，深深的潭水。你能读懂老人的心吗？后面的省略号包含着什么？你能读出点什么？
生：我觉得老人的眼神是在鼓励我，让我更加自信。
生：老人平静的眼神像深深的潭水，饱含了老人对我的无私的关爱，真诚的帮助。
……
感悟审美意蕴
一个文本，总有着许多“空白”和未定性，形成文本解读的张力，期待读者在与文本的对话中逐渐消除或减弱。例如，本文中三处省略号的出现，为师生留下了广阔的与文本对话的空间。教师可以借助三处省略号引导学生与文本进行心灵对话，感悟审美意蕴。
如第二次省略号的出现是在作者知晓老人原是一位颇有声望的教授，且是一位首席小提琴手之时。教师可引导学生思考：在作者得知老人身份后，再一次来到小树林，面对老人平静的眼神，他会怎么做呢？文末“不由得想起那位耳聋的老人，清晨唯一的听众”以及后面的省略号，都给人以广阔的遐想空间，引导学生对此展开对话，从而领略老人人格魅力对我的才成长产生的影响。一般地，函数fx闭区间[a，b]上可导，则fx在[a，b]上的最值求法：
①求函数fx在（a，b）上的驻点；
②计算fx在驻点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例1. 求函数y=cos2x+cosx+1的极值和最值。
解：y′=-2cosxsinx-sinx ，令y′=0 得sinx2cosx+1=0
解得sinx=0或cosx=-152， 由sinx=0 可得：
cosx=1或cosx=-1，因此，
当cosx=-152时，得y极小=354；
当cosx=1时， 得y极大=3；
当cosx=-1时，得y极大=1。
则ymax=3，ymin=354
例2. 已知函数fx=x3-152x2-2x-c2 若对x∈-1，2，fxc恒成立，求c的取值范围. 分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，本题的实质是确定新构造函数gx的最大值。
解：令gx=x3-152x2-2x故对任意x∈-1，2，gxc2+c恒成立。
∵g′（x）=3x2-x-2=（x-1）3x+2）
当x变化时，gx，g′x的变化情况如下表
∵g（-253）=22517，g（2）=2
∴ 对任意x∈-1，2，y=gx的最大值为g2=2。
∴2c2+c ∴c∈-∞，-2∪ 1，+∞。
三、函数的图象的作法
描点法作函数图象，作图比较粗糙不准确，一般只适用于简单的函数，但对比较复杂的函数就很难作出。现用导数的知识来作函数图象就相当的简便。作函数图象的一般程序：
1. 求出函数的定义域；
2.考察函数的奇偶性、周期性；
3.求函数的一些特殊点，如与两坐标轴的交点等， 列表；
4.确定函数的单调区间，极值点，凸性区间及拐点，列表；
5.考察渐进线；
6.画图
例1 作函数y=x3+6x2-15x-20 图象。
解：⑴函数的定义域-∞，+∞
⑵曲线与x，y轴交点分别为-5+10552，0，-1，0，-5+10552，0，0，-20
⑶令y′=3x2+12x-15=3x+5x-1=0 解得x=-5，x=1
令y″=6x+12=6x+2=0
解得x=-2
⑷现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点
⑸无渐进线
⑹作图：
例2. 利用导数的知识探究函数
y=ax+b5xa0，b0的图象。
解析：可以看出，y=ax+b5xa0，b0是奇函数，图象关于原点对称，其定义域为-∞，0∪ 0，+∞，不妨先考察函数在x∈0，+∞的图象。当x→0时，y=ax+b5x→+∞；当x→+∞时，y=ax+b5x→ax，预见在第一象限内图象介于y轴和y=ax之间。当x∈0，b5a时，y=ax+b5x的导数y′=a-bx-20，故y=ax+b5x在x∈0，b5a是减函数，当x∈b5a，+∞时，， 故y=ax+b5x在x∈b5a，+∞上是增函数；
当x∈0，+∞时，y=ax+b5x的二阶导数y″=2bx-30，函数图象向上凹，且y=ax+b5x≥2ax.b5x，即y=ax+b5x≥2ab，此时x=b5a，ymin=2ab根据上述分析，函数y=ax+b5xa0，b0的图象如上图所示。
从解决上述方面的应用中可以看到，导数在应对复杂的数学问题觉有入手易，过程简便的优势，特别近年来，高考卷对导数的要求逐渐成熟，求导过程并不难，也不是最终落脚点，它的最终目的还是考查函数的性质。所以我们不仅要掌握导数的概念，求导的公式和求导的法则及其简单应用，包括求函数的极值、单调区间。证明函数的增减性等，还要学会把导数与其它知识相结合，与寻找求一些复杂问题的简单解法，这样就能占得先机，虽然掌握导数方法需要花费一定的时间和精力，但“磨刀不误砍柴功”。所以加强导数的教与学，对高考会有相当大的作用。
参考文献：
[1]张崇芳编译《高中微积分300题演习》格致图书公司1990.3
[2]汤小梅《浅析高考导数应用中的几个问题》 数学通讯 2003.10现代教育实践与研究 2014年1月第1期
一、 函数单调性的讨论
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断fx1-fx2正负时就较为困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出f′x，再考虑f′x的正负即可，此方法简单快捷而且适用面较广。
例1. 判定函数y1=x3-x和y2=x3+x在-∞，+∞上的增减性。
解：y′1=3x2-1=3x+153x-153
当y′10得x-153或x153
当y′10 得-153x153
所以y1=x3-x在-∞，-153和153，+∞内单调增加，在-153，153内单调减少。
y′2=3x2+10，故y2=x3+x在-∞，+∞上单调增加。
例2.求函数fx=sinx-xcosx的单调区间。
分析：这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这个题目中，需要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质.首先对fx求导，得到f′x=xsinx；再令f′x0或f′x0，通过解关于x的不等式，得到fx的单调递增（减）区间.根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上。
解：∵f′x=cosx+xsinx-cosx=xsinx
令f′x=xsinx0
解得x∈2kπ，2k+1π 或
x∈-2kπ，-2k+1πk=0，1，2，…
所以当x∈2kπ，2k+1π
∪ -2kπ，-2k+1πk=0，1，2，…时，fx是增函数.
再令f′x0解得x∈2k-1π，2kπ
或x∈-2kπ，-2k+1πk=1，2，…
所以当x∈2k-1π，2kπ
∪ -2kπ，-2k+1πk=1，2，…时，fx是减函数.
因此fx 单调减区间2k-1π，2kπ
∪ -2kπ，-2k+1πk=1，2，… ；
单调递增区间2kπ，2k+1π
∪ -2kπ，-2k+1πk=0，1，2，….
二 、函数的最值（极值）的求法
最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。
静的望着我。
生：虽然在树林里，我练琴仍像是在锯床腿，但是老人并没有像我的家人一样打击我，也没有走开，只是静静的坐着，平静的望着我。她是不想打扰我。
生：以后，在我练琴的时候，老人一直平静的望着我。老人可能是想让我坚持练下去，不管拉出来的是什么声音。我能从老人的眼神中感觉到一种鼓励。
师：对。在家人面前得不到鼓励，但是老人平静的眼神却是我最大的鼓励。老人的眼神似乎一直在说“我会用心去感受这音乐。”（学生朗读）
生：再后来，我看着老人慈祥地望着我，平静的眼神，像深深的潭水。以前我演奏的时候没有自信，而现在演奏的时候，更自信了。
师：他三次写到了老人平静地望着我，前两次有没有写到到他慈祥的眼神？有没有写到他平静眼神像深深的潭水？没有，因为他自信了。
师：平静的眼神，深深的潭水。你能读懂老人的心吗？后面的省略号包含着什么？你能读出点什么？
生：我觉得老人的眼神是在鼓励我，让我更加自信。
生：老人平静的眼神像深深的潭水，饱含了老人对我的无私的关爱，真诚的帮助。
……
感悟审美意蕴
一个文本，总有着许多“空白”和未定性，形成文本解读的张力，期待读者在与文本的对话中逐渐消除或减弱。例如，本文中三处省略号的出现，为师生留下了广阔的与文本对话的空间。教师可以借助三处省略号引导学生与文本进行心灵对话，感悟审美意蕴。
如第二次省略号的出现是在作者知晓老人原是一位颇有声望的教授，且是一位首席小提琴手之时。教师可引导学生思考：在作者得知老人身份后，再一次来到小树林，面对老人平静的眼神，他会怎么做呢？文末“不由得想起那位耳聋的老人，清晨唯一的听众”以及后面的省略号，都给人以广阔的遐想空间，引导学生对此展开对话，从而领略老人人格魅力对我的才成长产生的影响。一般地，函数fx闭区间[a，b]上可导，则fx在[a，b]上的最值求法：
①求函数fx在（a，b）上的驻点；
②计算fx在驻点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例1. 求函数y=cos2x+cosx+1的极值和最值。
解：y′=-2cosxsinx-sinx ，令y′=0 得sinx2cosx+1=0
解得sinx=0或cosx=-152， 由sinx=0 可得：
cosx=1或cosx=-1，因此，
当cosx=-152时，得y极小=354；
当cosx=1时， 得y极大=3；
当cosx=-1时，得y极大=1。
则ymax=3，ymin=354
例2. 已知函数fx=x3-152x2-2x-c2 若对x∈-1，2，fxc恒成立，求c的取值范围. 分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，本题的实质是确定新构造函数gx的最大值。
解：令gx=x3-152x2-2x故对任意x∈-1，2，gxc2+c恒成立。
∵g′（x）=3x2-x-2=（x-1）3x+2）
当x变化时，gx，g′x的变化情况如下表
∵g（-253）=22517，g（2）=2
∴ 对任意x∈-1，2，y=gx的最大值为g2=2。
∴2c2+c ∴c∈-∞，-2∪ 1，+∞。
三、函数的图象的作法
描点法作函数图象，作图比较粗糙不准确，一般只适用于简单的函数，但对比较复杂的函数就很难作出。现用导数的知识来作函数图象就相当的简便。作函数图象的一般程序：
1. 求出函数的定义域；
2.考察函数的奇偶性、周期性；
3.求函数的一些特殊点，如与两坐标轴的交点等， 列表；
4.确定函数的单调区间，极值点，凸性区间及拐点，列表；
5.考察渐进线；
6.画图
例1 作函数y=x3+6x2-15x-20 图象。
解：⑴函数的定义域-∞，+∞
⑵曲线与x，y轴交点分别为-5+10552，0，-1，0，-5+10552，0，0，-20
⑶令y′=3x2+12x-15=3x+5x-1=0 解得x=-5，x=1
令y″=6x+12=6x+2=0
解得x=-2
⑷现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点
⑸无渐进线
⑹作图：
例2. 利用导数的知识探究函数
y=ax+b5xa0，b0的图象。
解析：可以看出，y=ax+b5xa0，b0是奇函数，图象关于原点对称，其定义域为-∞，0∪ 0，+∞，不妨先考察函数在x∈0，+∞的图象。当x→0时，y=ax+b5x→+∞；当x→+∞时，y=ax+b5x→ax，预见在第一象限内图象介于y轴和y=ax之间。当x∈0，b5a时，y=ax+b5x的导数y′=a-bx-20，故y=ax+b5x在x∈0，b5a是减函数，当x∈b5a，+∞时，， 故y=ax+b5x在x∈b5a，+∞上是增函数；
当x∈0，+∞时，y=ax+b5x的二阶导数y″=2bx-30，函数图象向上凹，且y=ax+b5x≥2ax.b5x，即y=ax+b5x≥2ab，此时x=b5a，ymin=2ab根据上述分析，函数y=ax+b5xa0，b0的图象如上图所示。
从解决上述方面的应用中可以看到，导数在应对复杂的数学问题觉有入手易，过程简便的优势，特别近年来，高考卷对导数的要求逐渐成熟，求导过程并不难，也不是最终落脚点，它的最终目的还是考查函数的性质。所以我们不仅要掌握导数的概念，求导的公式和求导的法则及其简单应用，包括求函数的极值、单调区间。证明函数的增减性等，还要学会把导数与其它知识相结合，与寻找求一些复杂问题的简单解法，这样就能占得先机，虽然掌握导数方法需要花费一定的时间和精力，但“磨刀不误砍柴功”。所以加强导数的教与学，对高考会有相当大的作用。
参考文献：
[1]张崇芳编译《高中微积分300题演习》格致图书公司1990.3
[2]汤小梅《浅析高考导数应用中的几个问题》 数学通讯 2003.10现代教育实践与研究 2014年1月第1期