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【摘要】 复习课，对于学生系统学好数学、发展思维能力是极为重要的，同时对教师弥补教学中的缺欠，提高教学质量，也是不可缺少的环节. 真正上好复习课并不是轻而易举的事，如果不认真安排，不精心设计，就达不到预期的效果. 总结出：在初中数学学习阶段，我们所能遇到的最值问题，包括这样三种情况，一是几何图形中的最值问题；二是与二次函数相关联的最值问题；三是有关方案设计问题的最值问题. 【关键词】 课堂有效教学；复习课；最值问题
《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识水平的知识经验基础上. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学教学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. ”新课程的课题学习让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的产生过程，进而了解社会，学会学习，学会交流，锻炼意志，培养分析问题、解决问题的能力和创新能力，提高学生对学习数学的兴趣. 数学是以量和量变为研究对象的科学，是内容具体、形式抽象、理论严谨、结论确定、应用广泛、方法精巧和地位特殊的一门基础学科. 数学教育的目的，从根本上来说，不在于或主要不在于培养未来的数学家，而在于培育人的数学思想和解决问题的方法，开拓头脑中的数学空间，进而促进人的全面发展和提高. 而且，《新课程标准》明确指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的. 也就是说，一定要让学生学习生活中的数学，促使数学学习更有意义.
复习课，对于学生系统学好数学，发展思维能力，是极为重要的；同时对教师弥补教学中的缺欠，提高教学质量，也是不可缺少的环节. 真正上好复习课并不是轻而易举的事. 因此，复习课需要精心备课，对知识点的梳理归纳清晰全面、条理分明、知识体系完善，对复习的重点难点要把握较准，才能有更强的针对性；复习课要重视能力的训练，做到讲练结合，复习扎实；另外，复习课要重视拓展宽度和深度，注意联系实际，做到课内外相结合，并呈现多样和灵活的教学方法，使得复习课的课堂氛围比较好，不会让学生觉得复习课就是单纯的罗列知识和“炒冷饭”.
因此，复习课要想成为有效的教学，应该达到几个目的：
第一，通过复习使学生对数学的基础知识能够准确熟练的掌握，并能灵活运用.
第二，通过复习把学过的知识系统化，形成知识网络.
第三，通过复习使学生在系统深入掌握知识的同时，能进一步提高思维能力，提高分析和解决问题的能力.
第四，通过复习使老师得到教学上更进一步的发展，提高融会贯通的能力，促进自身的成长，不断提高业务能力.
现以“初中数学中的最值问题”为例，简单阐述，并辅以例题和解说其在整个操作过程中的作用.
一、复习相关内容，引出课程方向
提出问题：
1. 已知二次函数y = 2（x + 1）2 + 1，当x = ____时，y有最___值，为______.
2. 已知一次函数y = 3x + 5（3 < x ≤ 5），则当x = _____时，y有最____值，为_______.
答案：1. -1，小，1；2. 5，大，20.
简单的两道小的函数题目，可以使学生的注意力集中起来，并对本节课的内容有所体现，展现函数、最值之间存在的联系，并能简单体会，初中数学中的最值问题在很多时候都是和函数息息相关的.
二、具体问题讲解，融会贯通知识
（一）几何图形中的最值问题
例1 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF + BF的最小值为（ ），并说明理由.
设置此题的目的是找到两定点间的距离最小值的模型，以对称点的思考方向讲解几何图形中的定点最值问题的解决方式，并形成思维的习惯，遇到这样的问题，即朝着此方向思考和求解. 此题目作为例题，教师需要讲解清楚，为几何图形中求最值问题明确思考的主线和方向. 以此作为同类问题的模型指引.
练习1：如图2，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB = 60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF + BF的最小值为（ ），并说明理由.
练习2：如图3，已知二次函数y = x2 - 4x + 5的图像与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）.若已知该函数图像的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.
练习1紧跟例题，是对知识的一个延续和实时情况的跟踪，也考查一下学生对于图形的深刻认识，正方形和菱形的共同点——对称性，在解决图形最值问题中有关键作用.
练习2是一个拓展，加入了函数的模型，但是函数只是一个背景，实际的类型仍然是例1.
（二）函数中的最值问题
例2 某商店经营T恤衫， 已知成批购进时单价是2元. 根据市场调查， 销售量与单价满足如下关系： 在某一时间内，单价是13元时， 销售量是200件， 而单价每降低1元，就可以多售出50件. 单价为多少时，利润最大？
解 设每件T恤衫降价x元，销售利润为y元，根据题意列式为：
y = （13 - 2 - x）（200 + 50x）
= -50x - ■2 + ■.
当x = ■ 时，利润最大.
因此单价为9.5元时，利润最大，最大值为2812.5元.
设置此题的目的是：找到第二种最值问题——二次函数中的最值问题的解决方法和过程. 因此例2采取耳熟能详的营销问题，（1）降低难度，会让大部分的学生有着落，能思考，能列式，并能得出结论；（2）容易总结出这类题目的通法，一举两得. 例3 某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.
（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式.
（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据：
请你分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？
解 （1）y = x + 150.
（2）根据题意，可列不等式组为
0.5x + 0.2（50 - x） ≤ 19，0.3x + 0.4（50 - x） ≤ 17.2.
解得28 ≤ x ≤ 30.
因为y = x + 150中的k = 1为正，所以y随x的增大而增大.
所以，当x = 28时，y的最小值为178.
所以，当配制甲种饮料28千克、乙种饮料22千克时，可以使两种饮料的配制成本最小，最小值为178元.
函数当中的第二种类型，方案设计问题，例3的设计采取分步表述，一是可以降低分析的门槛，降低难度；二是可以使学生明晰对于这类问题的思考方向，即先有函数关系式，才去求最大值或者最小值的问题，基本上懂得这一类题目的解题思路，才能真正达到总结模型有用的效果.
另外，此题的图表可以使形式更多样性，更清晰化.
这道题目以教师讲解为主，此题目理解简单，容易操作，但是书写过程需要加以分析，才能完整呈现此题的设计和思路，特别是对于一次函数中的最大值和最小值问题的表达需要规范.
三、归纳类型，深度思考
在本节课的最后，将上述所讲的内容总结归纳，总结出：在初中数学学习阶段，我们所能遇到的最值问题，包括这样三种情况，一是几何图形中的最值问题；二是与二次函数相关联的最值问题；三是有关方案设计问题的最值问题.
用余文森教授关于课堂有效性的认定来结束这篇浅显的论文，余文森教授认为：“课堂教学的有效性必然表现在不同层次上，但学生是否有进步或发展，是衡量教学有效性的唯一标准. 学生的进步不能仅限于知识的掌握，学生对专业知识的理解绝不能靠训练，而要靠思维过程，要靠个性化的思维. 知识转换为解题技能是要靠操练的. 这种操练能提高学生的解题技能和学业成绩，但同时，这种技能也是一把双刃剑，也能压抑人的创造性、想象力. ”“教学的有效性要关注学生的发展，从时间上来说，学生的发展有当下发展和终生发展，任何一个有效教学必定要促进学生当下发展，同时对学生长远发展也会有影响. 以前的教学太注重当下发展，实际上教学还要关注学生的未来发展、可持续发展. 有效的课堂教学活动沉淀下来的是一种思维方式和精神. ”
因此，我们教师在教授任何一类课程的时候，都要秉承着课堂有效性这个宗旨，真正能做到让学生在有限时间的课堂上，达成知识最大容量的接受和积累，特别是在复习课上，要能取得实质性的作用，有的放矢地进行教师的教与学生的学，完善课堂，使得课堂实用有效.
《数学课程标准》指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识水平的知识经验基础上. 教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学教学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. ”新课程的课题学习让学生通过自己收集、分析和处理信息来实际感受和体验知识的产生过程，进而了解社会，学会学习，学会交流，锻炼意志，培养分析问题、解决问题的能力和创新能力，提高学生对学习数学的兴趣. 数学是以量和量变为研究对象的科学，是内容具体、形式抽象、理论严谨、结论确定、应用广泛、方法精巧和地位特殊的一门基础学科. 数学教育的目的，从根本上来说，不在于或主要不在于培养未来的数学家，而在于培育人的数学思想和解决问题的方法，开拓头脑中的数学空间，进而促进人的全面发展和提高. 而且，《新课程标准》明确指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的. 也就是说，一定要让学生学习生活中的数学，促使数学学习更有意义.
复习课，对于学生系统学好数学，发展思维能力，是极为重要的；同时对教师弥补教学中的缺欠，提高教学质量，也是不可缺少的环节. 真正上好复习课并不是轻而易举的事. 因此，复习课需要精心备课，对知识点的梳理归纳清晰全面、条理分明、知识体系完善，对复习的重点难点要把握较准，才能有更强的针对性；复习课要重视能力的训练，做到讲练结合，复习扎实；另外，复习课要重视拓展宽度和深度，注意联系实际，做到课内外相结合，并呈现多样和灵活的教学方法，使得复习课的课堂氛围比较好，不会让学生觉得复习课就是单纯的罗列知识和“炒冷饭”.
因此，复习课要想成为有效的教学，应该达到几个目的：
第一，通过复习使学生对数学的基础知识能够准确熟练的掌握，并能灵活运用.
第二，通过复习把学过的知识系统化，形成知识网络.
第三，通过复习使学生在系统深入掌握知识的同时，能进一步提高思维能力，提高分析和解决问题的能力.
第四，通过复习使老师得到教学上更进一步的发展，提高融会贯通的能力，促进自身的成长，不断提高业务能力.
现以“初中数学中的最值问题”为例，简单阐述，并辅以例题和解说其在整个操作过程中的作用.
一、复习相关内容，引出课程方向
提出问题：
1. 已知二次函数y = 2（x + 1）2 + 1，当x = ____时，y有最___值，为______.
2. 已知一次函数y = 3x + 5（3 < x ≤ 5），则当x = _____时，y有最____值，为_______.
答案：1. -1，小，1；2. 5，大，20.
简单的两道小的函数题目，可以使学生的注意力集中起来，并对本节课的内容有所体现，展现函数、最值之间存在的联系，并能简单体会，初中数学中的最值问题在很多时候都是和函数息息相关的.
二、具体问题讲解，融会贯通知识
（一）几何图形中的最值问题
例1 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF + BF的最小值为（ ），并说明理由.
设置此题的目的是找到两定点间的距离最小值的模型，以对称点的思考方向讲解几何图形中的定点最值问题的解决方式，并形成思维的习惯，遇到这样的问题，即朝着此方向思考和求解. 此题目作为例题，教师需要讲解清楚，为几何图形中求最值问题明确思考的主线和方向. 以此作为同类问题的模型指引.
练习1：如图2，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB = 60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF + BF的最小值为（ ），并说明理由.
练习2：如图3，已知二次函数y = x2 - 4x + 5的图像与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）.若已知该函数图像的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标.
练习1紧跟例题，是对知识的一个延续和实时情况的跟踪，也考查一下学生对于图形的深刻认识，正方形和菱形的共同点——对称性，在解决图形最值问题中有关键作用.
练习2是一个拓展，加入了函数的模型，但是函数只是一个背景，实际的类型仍然是例1.
（二）函数中的最值问题
例2 某商店经营T恤衫， 已知成批购进时单价是2元. 根据市场调查， 销售量与单价满足如下关系： 在某一时间内，单价是13元时， 销售量是200件， 而单价每降低1元，就可以多售出50件. 单价为多少时，利润最大？
解 设每件T恤衫降价x元，销售利润为y元，根据题意列式为：
y = （13 - 2 - x）（200 + 50x）
= -50x - ■2 + ■.
当x = ■ 时，利润最大.
因此单价为9.5元时，利润最大，最大值为2812.5元.
设置此题的目的是：找到第二种最值问题——二次函数中的最值问题的解决方法和过程. 因此例2采取耳熟能详的营销问题，（1）降低难度，会让大部分的学生有着落，能思考，能列式，并能得出结论；（2）容易总结出这类题目的通法，一举两得. 例3 某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元.
（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式.
（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据：
请你分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？
解 （1）y = x + 150.
（2）根据题意，可列不等式组为
0.5x + 0.2（50 - x） ≤ 19，0.3x + 0.4（50 - x） ≤ 17.2.
解得28 ≤ x ≤ 30.
因为y = x + 150中的k = 1为正，所以y随x的增大而增大.
所以，当x = 28时，y的最小值为178.
所以，当配制甲种饮料28千克、乙种饮料22千克时，可以使两种饮料的配制成本最小，最小值为178元.
函数当中的第二种类型，方案设计问题，例3的设计采取分步表述，一是可以降低分析的门槛，降低难度；二是可以使学生明晰对于这类问题的思考方向，即先有函数关系式，才去求最大值或者最小值的问题，基本上懂得这一类题目的解题思路，才能真正达到总结模型有用的效果.
另外，此题的图表可以使形式更多样性，更清晰化.
这道题目以教师讲解为主，此题目理解简单，容易操作，但是书写过程需要加以分析，才能完整呈现此题的设计和思路，特别是对于一次函数中的最大值和最小值问题的表达需要规范.
三、归纳类型，深度思考
在本节课的最后，将上述所讲的内容总结归纳，总结出：在初中数学学习阶段，我们所能遇到的最值问题，包括这样三种情况，一是几何图形中的最值问题；二是与二次函数相关联的最值问题；三是有关方案设计问题的最值问题.
用余文森教授关于课堂有效性的认定来结束这篇浅显的论文，余文森教授认为：“课堂教学的有效性必然表现在不同层次上，但学生是否有进步或发展，是衡量教学有效性的唯一标准. 学生的进步不能仅限于知识的掌握，学生对专业知识的理解绝不能靠训练，而要靠思维过程，要靠个性化的思维. 知识转换为解题技能是要靠操练的. 这种操练能提高学生的解题技能和学业成绩，但同时，这种技能也是一把双刃剑，也能压抑人的创造性、想象力. ”“教学的有效性要关注学生的发展，从时间上来说，学生的发展有当下发展和终生发展，任何一个有效教学必定要促进学生当下发展，同时对学生长远发展也会有影响. 以前的教学太注重当下发展，实际上教学还要关注学生的未来发展、可持续发展. 有效的课堂教学活动沉淀下来的是一种思维方式和精神. ”
因此，我们教师在教授任何一类课程的时候，都要秉承着课堂有效性这个宗旨，真正能做到让学生在有限时间的课堂上，达成知识最大容量的接受和积累，特别是在复习课上，要能取得实质性的作用，有的放矢地进行教师的教与学生的学，完善课堂，使得课堂实用有效.