论文部分内容阅读
【摘要】 学生学习与应用配方法有障碍，教师需要进行分析与思考，组织学生拉伸配方过程，放大、放慢配方步调，领悟其本质与属性，提升学生的学力.
【关键词】 配方法；教材编排；教学处理
配方法是中学数学的一种重要方法，在新人教版九年级数学上册中最先出现；它是一种恒等变形，背后隐含了丰富的数学思想，学生学习它有障碍、影响大，值得教师分析与思考. 一、配方法的编排与分析
新人教版九年级数学主要呈现的数学方法是配方法. 它出现的背景是合理的，分为两个阶段：
1. 背景、描述性概念与应用
上册，学完利用平方根降次解一元二次方程后，配方法在教材的Ｐ３０－３４通过一系列的安排，最终以带描述性的概念形式出现——先思考“设法把ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０化为具有（ｘ ＋ ｎ） ２ ＝ ｐ或（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ ≥ ０）的形式”；接着通过直观、程序化的思维“框图”（移常数项→配方→改写→降次→求解）引领学生利用配方（使左边配成ｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｂ２形式）降次求根；然后思考：“为什么要在方程ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０两边加９？加其他数行吗？”最后归纳：“像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. ”之后是举例与练习.
2. 在二次函数中的再应用
下册Ｐ１１－１２，配方法的再应用以跨越式出现——先思考“我们知道，像ｙ ＝ ａ（ｘ － ｈ）２ ＋ ｋ这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（ｈ，ｋ），二次函数ｙ ＝ ■ｘ２ － ６ｘ ＋ ２１也能化成这样的形式吗？”接着省略配方过程，“配方可得：ｙ ＝ ■（ｘ － ６）２ ＋ ３”；然后归纳：“一般地，我们可以用配方法求抛物线ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的顶点与对称轴. ”最后是相关练习.
可见，教材以降次解方程为主线，以程序化、规范化的解答模式为母体重点介绍配方法解方程，对学习解方程无疑具有最明了的示范作用；对于用配方法求抛物线的顶点以及推导顶点坐标公式，教材刻意省略. 这种编排具有很强的主体性、拓展性.
就解方程而言，学生有教材中的框图模仿，解类似ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０或ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程不难学；就推导二次函数的顶点公式而言就难了. 因为配方法不只是用来解方程，它用在求抛物线的顶点与最值时的思路、步骤、程序与解方程有明显的差别，学生找不到相应的配方过程或框图作参考，一头雾水. 说明解方程时设定的思维框图和程序化的步骤容易掩盖配方的本质、淡化配方的重点，学生的配方方法与思路受束于起初的、程序化的、解方程的步骤. 这种编排也有一定的断裂性、局限性.
二、学生学习配方法的状况
１. 学生解形如ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的一元二次方程，容易习惯性地移项后就直接配方（没有先将二次项系数化为１）或二次项系数化为１时漏除常数项.
２. 学生解形如（ａｘ）２ ＋ ２ａｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程，往往仍然按移项、二次项系数化为１、配方等程序进行（学生对那种解答程序的记忆太深）.
３. 学生解决形如（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ < ０）的方程，错解为ｍｘ ＋ ｎ ＝±■；很难进行求根公式的推导，容易错把■等成２ａ.
４. 配方法求最值或推导抛物线的顶点坐标公式，思维和表达方式混乱.
５. 其他的配方恒等变形，配方的综合能力弱.
三、配方法的教学处理
其实，配方的核心是从不是完全平方的代数式或等式的一边中，选定要配的对象（要有两个），通过恒等变形，把其中的某些项配成一个或几个完全平方式；配方的原则是维持数式的恒等（代数式不存在移项或两边加配问题）. 为此，教师除了要引导学生利用完全平方与二次根式的非负性等功能规避配方法解方程过程中的错误外，更需要根据教材编排，创新教学设计，组织学生拉伸配方学习的过程，放大配方的切入点，放慢配方思维的步调，使之领悟配方的思路，突破配方的重点，理清配方的本质，发展学生的思维.
处理方式一：通过置换系数、改变形态，从特殊到一般去理解配方. 例如设计带梯度的组题：①ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０；② ｘ２ － ｂｘ ＝ ４；③ ２ｘ２ － ２ ＝ ３ｘ；④ ３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ；⑤ ａｘ２ － ｂｘ ＋ ４ ＝ ０……实现从单一的数字系数逐步过渡到字母系数的置换，使学生深刻领悟配方的过程与核心，走出程序化的困扰——解决配方应用在解方程的难点问题.
处理方式二：以方程的一边的恒等变形为抓手，改换解题的思路与程序，换种形式来配方. 例如从方程的左边看，ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０可以变形为（ｘ ＋ ４）２ － １６ － １ ＝ ０；３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ可以变形为３ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■ ＝ ｃ……引导学生统一方程中的变形程序与二次多项式的变形程序，超脱解方程的配方框图——解决配方的过程与形式问题.
处理方式三：以配方的对象作为切入点，多层次、多角度地拓展配方学习. 如对于任意的ａ，ｂ，当ａ２ ＋ ｂ２用（ａ ＋ ｂ）２ － ２ａｂ配方，当ａｘ２ ＋ ｂｘ用ａｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■配方——解决配方的本质与思路问题.
处理方式四：列举配方法在初中数学的其他应用. 如：①判断关于ｘ的一元二次方程（ｋ － １）ｘ２ － ２ｋｘ ＋ ３ ＝ ０的根的情况；②求证：无论ｘ，ｙ取任何实数，多项式ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ｘ － ４ｙ ＋ １６总是正数；③已知实数ｘ，ｙ满足ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０，求ｘ ＋ ｙ的最大值等——解决配方用途与蕴含的数学思想问题.
总之，新课标下的教学，教师不但要“吃”透教材，还要分析学生的学习状况，更要创造性地设计好数学的感知、理解、思考与拓展过程，通过放大、拉伸、放慢等处理方式，“延伸知识的发现与领悟的链条，实现知识的有效内化，达到绿色的教学追求，发展学生的思维，提升学生的学力”.
【关键词】 配方法；教材编排；教学处理
配方法是中学数学的一种重要方法，在新人教版九年级数学上册中最先出现；它是一种恒等变形，背后隐含了丰富的数学思想，学生学习它有障碍、影响大，值得教师分析与思考. 一、配方法的编排与分析
新人教版九年级数学主要呈现的数学方法是配方法. 它出现的背景是合理的，分为两个阶段：
1. 背景、描述性概念与应用
上册，学完利用平方根降次解一元二次方程后，配方法在教材的Ｐ３０－３４通过一系列的安排，最终以带描述性的概念形式出现——先思考“设法把ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０化为具有（ｘ ＋ ｎ） ２ ＝ ｐ或（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ ≥ ０）的形式”；接着通过直观、程序化的思维“框图”（移常数项→配方→改写→降次→求解）引领学生利用配方（使左边配成ｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｂ２形式）降次求根；然后思考：“为什么要在方程ｘ２ ＋ ６ｘ - １６ ＝ ０两边加９？加其他数行吗？”最后归纳：“像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. ”之后是举例与练习.
2. 在二次函数中的再应用
下册Ｐ１１－１２，配方法的再应用以跨越式出现——先思考“我们知道，像ｙ ＝ ａ（ｘ － ｈ）２ ＋ ｋ这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（ｈ，ｋ），二次函数ｙ ＝ ■ｘ２ － ６ｘ ＋ ２１也能化成这样的形式吗？”接着省略配方过程，“配方可得：ｙ ＝ ■（ｘ － ６）２ ＋ ３”；然后归纳：“一般地，我们可以用配方法求抛物线ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）的顶点与对称轴. ”最后是相关练习.
可见，教材以降次解方程为主线，以程序化、规范化的解答模式为母体重点介绍配方法解方程，对学习解方程无疑具有最明了的示范作用；对于用配方法求抛物线的顶点以及推导顶点坐标公式，教材刻意省略. 这种编排具有很强的主体性、拓展性.
就解方程而言，学生有教材中的框图模仿，解类似ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０或ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程不难学；就推导二次函数的顶点公式而言就难了. 因为配方法不只是用来解方程，它用在求抛物线的顶点与最值时的思路、步骤、程序与解方程有明显的差别，学生找不到相应的配方过程或框图作参考，一头雾水. 说明解方程时设定的思维框图和程序化的步骤容易掩盖配方的本质、淡化配方的重点，学生的配方方法与思路受束于起初的、程序化的、解方程的步骤. 这种编排也有一定的断裂性、局限性.
二、学生学习配方法的状况
１. 学生解形如ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的一元二次方程，容易习惯性地移项后就直接配方（没有先将二次项系数化为１）或二次项系数化为１时漏除常数项.
２. 学生解形如（ａｘ）２ ＋ ２ａｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）的方程，往往仍然按移项、二次项系数化为１、配方等程序进行（学生对那种解答程序的记忆太深）.
３. 学生解决形如（ｍｘ ＋ ｎ）２ ＝ ｐ（ｐ < ０）的方程，错解为ｍｘ ＋ ｎ ＝±■；很难进行求根公式的推导，容易错把■等成２ａ.
４. 配方法求最值或推导抛物线的顶点坐标公式，思维和表达方式混乱.
５. 其他的配方恒等变形，配方的综合能力弱.
三、配方法的教学处理
其实，配方的核心是从不是完全平方的代数式或等式的一边中，选定要配的对象（要有两个），通过恒等变形，把其中的某些项配成一个或几个完全平方式；配方的原则是维持数式的恒等（代数式不存在移项或两边加配问题）. 为此，教师除了要引导学生利用完全平方与二次根式的非负性等功能规避配方法解方程过程中的错误外，更需要根据教材编排，创新教学设计，组织学生拉伸配方学习的过程，放大配方的切入点，放慢配方思维的步调，使之领悟配方的思路，突破配方的重点，理清配方的本质，发展学生的思维.
处理方式一：通过置换系数、改变形态，从特殊到一般去理解配方. 例如设计带梯度的组题：①ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０；② ｘ２ － ｂｘ ＝ ４；③ ２ｘ２ － ２ ＝ ３ｘ；④ ３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ；⑤ ａｘ２ － ｂｘ ＋ ４ ＝ ０……实现从单一的数字系数逐步过渡到字母系数的置换，使学生深刻领悟配方的过程与核心，走出程序化的困扰——解决配方应用在解方程的难点问题.
处理方式二：以方程的一边的恒等变形为抓手，改换解题的思路与程序，换种形式来配方. 例如从方程的左边看，ｘ２ ＋ ８ｘ － １ ＝ ０可以变形为（ｘ ＋ ４）２ － １６ － １ ＝ ０；３ｘ２ ＋ ｂｘ ＝ ｃ可以变形为３ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■ ＝ ｃ……引导学生统一方程中的变形程序与二次多项式的变形程序，超脱解方程的配方框图——解决配方的过程与形式问题.
处理方式三：以配方的对象作为切入点，多层次、多角度地拓展配方学习. 如对于任意的ａ，ｂ，当ａ２ ＋ ｂ２用（ａ ＋ ｂ）２ － ２ａｂ配方，当ａｘ２ ＋ ｂｘ用ａｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ － ■配方——解决配方的本质与思路问题.
处理方式四：列举配方法在初中数学的其他应用. 如：①判断关于ｘ的一元二次方程（ｋ － １）ｘ２ － ２ｋｘ ＋ ３ ＝ ０的根的情况；②求证：无论ｘ，ｙ取任何实数，多项式ｘ２ ＋ ｙ２ － ２ｘ － ４ｙ ＋ １６总是正数；③已知实数ｘ，ｙ满足ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ｙ － ３ ＝ ０，求ｘ ＋ ｙ的最大值等——解决配方用途与蕴含的数学思想问题.
总之，新课标下的教学，教师不但要“吃”透教材，还要分析学生的学习状况，更要创造性地设计好数学的感知、理解、思考与拓展过程，通过放大、拉伸、放慢等处理方式，“延伸知识的发现与领悟的链条，实现知识的有效内化，达到绿色的教学追求，发展学生的思维，提升学生的学力”.