观察题目的结构特征，对已有知识、方法、技能等进行联想、回忆，从中选取解题所需要的素材，经过加工整理，以便找到突破口，进而寻找思路进行解题.这是数学解题的一种重要思维方法.
　　1.观察数式特征，联想概念，探究解题
　　例1设f（x）=4x[]4x+2，求和式f11001+f21001+…+f10001001的值.
　　分析观察代数式的数字特征： 11001+10001001=1，21001+9991001=1，…，5001001+5011001=1.从而启发联想，寻求解题思路： f（x）=4x[]4x+2有何结构特点？
　　因为f（x）+f（1-x）=4x[]4x+2+41-x[]41-x+2=4x[]4x+2+4[]4+2·4x=4x[]4x+2+2[]4x+2=1，
　　所以，据此可发现“自变量之和为1的二次函数值之和也为1”这一特点.
　　故原式=f11001+f（10001001）+f21001+f9991001+…+ f5001001+f5011001=1+1+…+1500个=500.
　　2.观察外形特征，联想性质，转换解题
　　例2求函数y=x2-12x+72+x2+36的最小值及此时x的值.
　　分析观察外形，原式可变为（6-x）2+62+x2+62，因此联想复数模并转换用模的性质|Z1|+|Z2|≥|Z1+Z2| 解题.
　　这样，y=x2-12x+72+x2+36=（6-x）2+62+x2+62.
　　设Z1=（6-x）+6i，Z2 =x+6i，则y=|Z1|+|Z2| ≥|Z1+Z2|=|6+12i|=65，
　　故ymin =65，当等号成立时必须6-x=x，从而x=3.
　　3.观察等式特征，联想公式，对比解题
　　例3求征：若对常数m和任意的x，f（x+m）=1+f（x）[]1-f（x）成立，则 f（x）是周期函数.
　　分析 细观等式f（x+m）=1+f（x）[]1-f（x），联想我们熟知的三角函数正切公式tanx+π4=1+tanx[]1-tanx，而tanx的周期是π，恰为π4的4倍，这样联想到f（x）是以4m为周期的函数，故得如下证法.
　　证明∵f（x+2m）=f＼[（x+m）+m＼]=1+f（x+m）1-f（x+m）=…=-1f（x），
　　∴f（x+4m）=f＼[（x+2m）+2m＼]=-1f（x+2m）=-1[]f（x）=f（x）.
　　故f（x）是以4m为周期的周期函数.
　　4.观察结构特征，联想意义，数形解题
　　例4求函数y=x2-2x+2+x2-10x+34的最小值.
　　分析观察函数关系式的结构特征，将式子变形为（x-1）2+12+（x-5）2+32.联想其几何意义，将问题转换为：在x 轴上求一点使到A（1，1）和B（5，3）的距离之和为最小.
　　解（如图）作点A关于x 轴的对称点A1（1，-1），
　　连接A1B，则A1B与x 轴交于C（2，0），那么AC+BC=A1B，
　　显然C就是所求的点，故
　　ymin=（2-1）2+12+（2-5）2+32=42.
　　5.观察信息特征，联想反面，逆向解题
　　例5抛物线y=（ k-2）x2-4kx+2k-6与x轴有两个交点，其中至少有一个在x轴负半轴上，求实数k的取值范围.
　　分析从题目的已知条件“抛物线与x轴有两个交点”获得信息，应有
　　k-2≠0，
　　16k2-4（k-2）（2k-6）>0，这是前提条件.又由“至少有一个交点在x轴负半轴上” 获得信息，它包括：（1）两个交点均在x轴负半轴上；（2）一个交点在x轴负半轴上.这样后面情形需要分类讨论，分别求出k的范围，再取其并集，显然运算量较大.事实上，我们只要细观题目所提供的信息特征，从而“一反常态”，联想到它的反面，进而从反面入手，求其补集，便可大大优化解题程序.
　　解已知“抛物线与x轴有两个交点”，故必须：k-2≠0，
　　16k2-4（k-2）（2k-6）>0），
　　解得k≠2，
　　k>1或k<-6，
　　即k<-6，或12.（1）
　　再从反面出发，由“两交点都不在x轴负半轴上”，得
　　4kk-2>0，
　　2k-6k-2≥0，
　　解得k<0或k>2，
　　k<2或k≥3，即k<0，或k≥3.
　　从而满足“至少有一个交点在x轴负半轴上”的k的范围是：0≤k<3.（2）
　　最后，由（1）（2）求交集，得满足题意的k的范围是：0