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现代课程观认为：课程是一个由教材、其他教学材料、教师与学生、教学情景和教学环境构成的一个生态系统。新课程标准理念指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习。高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造过程”。
新课程体系下的数学教学主张学习活动不再是单一的由教师向学生传递知识，而是学生根据外界信息，通过自己的背景知识，建构数学知识的过程，其教学基本原则是：从提出与学生关注的、能引起学生兴趣的问题开始，围绕基本概念在情景中进行活动。可见新课程和新教材非常注重围绕基本概念在情景中引出问题，在情景中探究问题。
在数学教学中如何加强理论联系实际，从学生出发，合理组织运用情景进行教学，培养学生的创新精神和数学思维能力呢？我认为可从以下几个方面着手。
1.创设生活情景，激发学生的兴趣和探究数学奥妙的欲望
日常生活中，有很多具有较强的启发性、代表性和应用性的事例，可以将其转化为数学问题，使之走入课堂。这不但能使数学教学贴近生活、生动具体、深入浅出，而且更能体现数学的本质与内涵，同时也很容易引起学生的共鸣，引发学生的好奇，激发学生的兴趣和探究数学奥妙的欲望。
案例1 比萨饼店的售货员喜欢把比萨饼切成各式形状出售。他发现一刀最多可以把比萨饼切成两块，两刀最多可以切成4块，三刀最多切成7块。则8刀最多能切成几块?
对于刚学数列的高一学生来讲，既感兴趣又无从下手。
师：“怎样用数列知识来解决这个问题？”
生：“从题目的已知条件可知数列{an}中，a1＝2，a2=4，a3=7，要求的是a8的值。”
师：“那么，第四刀最多可以切成几块？”
生：“最多可以切成11块。”
师：“请同学们观察a1、a2、a3、a4间的关系并找出规律。”
生：“a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，由此可得an-an-1=n(n≥2)。”
师：“我们可以用什么方法求an呢?”
生：“用累加法求得：an=a1 +2+3+…+n=n(n+1)/2+1
所以a8=37”
通过这个切比萨饼的小问题，引出数列问题，引导学生学会用“数列的递推公式”来解决生活中遇到的问题，以激发学生的学习兴趣，轻松愉快地领悟了数列的相关知识。
2.创设实验情景，培养学生探究数学问题的科学方法
在高中数学教学中，教师不仅要培养学生严谨的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力，还要培养学生数学建模能力与数据处理能力，培养学生探究数学问题的科学方法。最好方式就是用《几何画板》、《数学实验室》等工具软件，为学生创设数学实验情境。其基本目的，是使学生掌握数学实验的基本思想和方法，即不把数学看成先验的逻辑体系，而是把它视为一门“实验科学”，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律并掌握科学的探究方法。让学生充分享受“创造”的乐趣，体现数学的实用价值。事实证明，让学生在实践中学习数学知识，会使学生越来越聪明，学生的创造欲望越来越强烈。正如陶行知先生所说：“新时代的学生，应该'用活书'，'活用书'，'书用活'，让他们自己拿钥匙打开智慧的大门”。
案例2椭圆定义的引进
(1)折纸活动：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心的一点，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点。折叠数次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓；
(2)观察、猜想：众多折痕围出一个椭圆；
(3)“几何画板”动态演示折纸过程及形成的椭圆；
(4)探究本质特征，发现并形成定义：椭圆上的点到点Ｃ、点Ｏ的距离和等于圆半径。
通过以上折纸活动，使原本单调、枯燥的数学变得生动有趣，规律和概念是学生自己发现得出的，使學生经历了动手实验－观察猜想－发现规律-形成概念-掌握方法的过程。
3.创设纠错情境，培养学生探究数学的品质
学生在解题时，常常不顾条件或研究范围的变化，出现这样或那样的错误。对此，我们应针对学生常犯的一些错误，引导他们分析研究产生错误的原因，寻找根治错误的良方，在知错中改错，在改错中防错，以弥补学生知识的缺陷和逻辑推理的不足，提高解题的准确性，增强思维的严谨性。故在学生易出错之处，让学生充分暴露问题，去“碰壁”和“跌跤”，然后顺其错误剖析引导，使学生恍然大悟，留下深刻印象。
案例3 设函数y=f(x)的定义域为全体实数，则函数y=f(x-1)，y=f(1-x)的图象关于
A.直线y=0对称.B.直线x=0对称.
C.直线y=1对称. D.直线x=1对称.
师：这是一道高考选择题，题虽不难，但错误率很高。下面就此题的选择请大家各抒己见，以理晓人，悟出个中道理。
生A：先做y=f(x)关于y轴的对称图象，得到y=f(－x)的图象，再把y=f(－x)的图象向左平移1个单位，即得y=f(1-x)的图象。故选B。
生B：A同学在第二步作“平移变换”时，方向错了，应把y=f(－x)的图象向右平移1个单位，即得y=f［－(x-1)］的图象，即 y=f(1-x)。也选B。
生C：我是“先平移后对称”，即把y=f(x)的图象向右平移1个单位，得到y=f(x-1)的图象，再作y=f(x-1)的图象关于y轴的对称，得到y=f［－(x-1)］的图象，即y=f(1-x)的图象。还选B。
生D：由于f(x-1)=f(1-x)，因此y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称，我也选B。
生E：我认为选B不对，我们说y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，即关于直线x=0对称，类比可知y=f(x-1)与y=f［－(x-1)］的图象关于直线x-1=0对称，即关于直线x=1对称，故应选D。
师：E同学用类比的方法，得出了正确的答案！由于平移理解错了，A同学确实犯了“方向”性的错误，B同学又错在哪里?
生B：听了E同学的发言，我知道了选B的错误在于：将y=f(x)与y=f(-x)的图象都向右平移1个单位后，未注意到对称轴(即直线x=0)已被直线x-1=0替换了，应选D。
师：这样理解就对了。这说明不能机械地照搬法则，而应弄清实质。谁说说C的错误在何处，D的错误又在哪里?
生A：C同学和B同学犯了类似的错误——第二步应作y=f(x-1)的图象关于直线x-1=0对称，即关于直线x=1对称。而D同学的错因在于增加了f(x-1)=f(1-x)这一条件。
生F：用D同学的想法(但不能增加条件)也可以走上“正道”，只要注意到y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称，就可知y=f(x-1) 与y=f(1-x)的图象关于直线x-1=1-x对称，故选D。
师：今天的讨论很有意义，大家的发言积极热烈，既阐明了道理，又找到了原因……
从学生“有错”入手，引导他们进行验证，让学生在争论中“纠错”，在研究、验证、总结、反思的过程中建构正确的知识体系，这样的学习活动，学生获取的不仅仅是知识本身，更重要的是态度、思想、方法，养成的是探究的品质，提高的是探究的能力，这对他们后续知识的学习将有较大的影响，也可为学生的终身学习奠定基础。
4. 创设过程情景，激发学生自主探索的欲望
高中数学课程标准明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。教学过程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵其中的思想方法。”所以，我们要从知识产生的过程引发学生独立思考，激发学生自主探索的欲望，并在思考、探索和交流的过程中使学生获得对数学较为全面的体验和理解。
案例4 数学归纳法的教学过程
4.1 设置障碍，激发学生自主探索的欲望。
为了激发学生的学习兴趣，我选取了用其他方法证明比较困难的题目：
“证明：当n=1，2，3，4，5，…的一切自然数时都有1+22+33+44+…+nn<(n+1)n成立”
学生互相讨论片刻觉得无从下手，这时我启发他们从特殊值入手，n=1，2，3，4，5来验证。
n=1时，原不等式为1<2，成立。
n=2时，原不等式为1+22<(2+1)2，通过计算成立。
n=3时，原不等式为1+22+33<(3+1)3，通过计算成立。
n=4时，原不等式为1+22+33+44<(4+1)4，通过计算成立。
n=5时，原不等式为1+22+33+44+55<(5+1)5，通过计算成立。
4.2 通过比较，引出递推思想
学生窃窃私语觉得计算太繁，此时应把握时机引导学生由繁到简，激发学生的学习兴趣。学生通过观察比较n=4，5时两个不等式的左边，不难发现都有1+22+33+44这些项，自然就想到利用“1+22+33+44<(4+1)4”来证明“1+22+33+44+55<(5+1)5”这个不等式成立。由于学生已掌握了放缩法，于是这个问题引发了他们探索的兴趣和热情，马上有学生讲：“因为1+22+33+44+55＜54+55=6×54<6×64，所以该不等式成立。”那么n=6时怎么证呢？学生在动手证明的过程中发现了问题：“难道我们一个一个验证？”“何时能验证完呢？”这就激发了学生强烈的求知欲和高涨的学习热情。这时我说：“很好。验证过程是无限的，但我们观察一下上面的过程就会发现：n=4时结论成立，推出n=5时结论也成立，n=5时结论成立，也可以推出n=6时结论成立，而且推导方法是一样的。”引导学生想到能否把推导过程一般化？由n=k时结论成立，能否推出n=k+1时结论也成立呢？由此引出数学归纳法。
这样的教学设计就给学生的自主探索留下了充分的空间。在教学过程中适度的形式化是必要的，但我们不必急于得出形式化，而应通过引导学生在探究数学概念和结论形成的过程中努力追求水到渠成的教学效果。只有这样，才能激发学生自主探究和独立思考的热情，促使学生全面发展，真正体现新课标的理念。
5.创设想象情境，提高思维灵活性
想象是思维探索的翅膀。让学生在两个看似无关的事物之间进行想象，如同给了学生一片自由驰骋的天地。在教学中应充分利用一切可供想象的空间，挖掘发展想象力的因素，发挥学生的想象力，引导学生由单一思维向多向思维拓展。数学想象一般有以下几个基本要素：第一，要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二，要有迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。第三，要有执著追求的精神和强烈的求知欲。因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好相关基础知识。其次，根据教材，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。
案例5 三垂线定理
教师在和学生一起完成对三垂线定理的证明后，正準备进行下面的内容，此时有一名学生举手。
生1：老师，这个定理为什么叫三垂线定理呢？
师：问得好，大家能够结合图3就三垂线定理的名称谈一谈自己的想法吗？
生2：在图3中，直线a分别垂直直线AB、AC、BC这三条直线，所以命名为三垂线定理。而直线AC只与直线a垂直；AB只与直线BC、a垂直；BC只与直线a、AB垂直。
师：大家有什么看法呢？
生3：在证明这个定理的过程中，证明了三次垂直，第一次证明了AB⊥a (线面垂直→线线垂直)，第二次由AB⊥a，BC⊥a证明了直线a⊥面ABC(线线垂直→线面垂直)，第三次由直线a⊥面ABC，证明了直线a⊥AC(线面垂直→线线垂直)。所以命名为三垂线定理。
全班同学若有所悟，频频点头。
师：不错，对证明过程领悟透彻，分析精辟。还有其它见解吗?
生4：在图3中，直线AB、BC，直线a三条直线两两垂直，而且分别代表了三个不同的维度，由此甚至可以建立空间坐标系，所以大家才把这个定理命名为三垂线定理。
师：对图形的特征认识深刻入微，联想丰富。还有哪位同学要发言？
生5：我不同意他们的观点。三垂线定理的实质是判断斜线和它在平面内的射影必定同时垂直于平面内的某条直线，也就是说，斜线和它在平面内的射影，对于平面内的一条直线是否在垂直关系上具有一致性。重点在这三条直线，定理的叙述中也只提及这三条直线。至于平面α的垂线AB，在这个定理中它不是我们的研究对象，它为射影的做出提供辅助，给证明过程提供帮助。
师：抓住了主要矛盾，解决了问题要害，非常好。
问题至此似乎已经解决。但学生6仍在举手，此时全班同学都静静地望着他。
生6：在图3中，有线线垂直（包括相交直线与异面直线的垂直），线面垂直（直线ＡＢ与平面α，直线a与平面ABC）和面面垂直（平面ABC和平面α）三种不同的垂直类型，所以命名为三垂线定理。
大家随着他的叙述都在图3中仔细地寻找、思考。
师：这位同学对“三垂”的理解具有超前意识，说明他已经超前自学了，很好！但他只注意了“垂直”，而没有考虑到“线”，所以他对三垂线定理的理解，还有待斟酌。
案例5中，从学生1的提问开始，以及学生2到学生6的精彩表现告诉我们，学生的潜力是无限的。如果教师能够把握恰当的教育时机，给他们提供独立思考、合作交流的条件，也许他们的聪明才智就更能够得以淋漓尽致的发挥。其中如学生3发现的证明过程中的三次垂直，学生4观察到的三条直线两两垂直的三维空间，学生6领悟到的三种不同垂直类型都是比较出乎意料的看法或认识，具有一定的新颖性和“再创造”的特点，这不是教师的讲授所能包办和代替的。学生的思维正如培根所说的：“我们是富于创造的，因为我们一无所知。”因而教师不应当做学生思维的禁锢者，学生不应当只是被老师教出来的。
教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲，调动学生学习的积极性和主动性，提高学生运用知识解决实际问题的能力。总之，实施情境教学是新课程背景下培养学生创新精神和数学思维的有效途径，充分发挥教师主导，学生主体的功能，从而使我们的数学课堂成为学生张扬个性、翱翔思想的天空。
收稿日期：2010-11-16
新课程体系下的数学教学主张学习活动不再是单一的由教师向学生传递知识，而是学生根据外界信息，通过自己的背景知识，建构数学知识的过程，其教学基本原则是：从提出与学生关注的、能引起学生兴趣的问题开始，围绕基本概念在情景中进行活动。可见新课程和新教材非常注重围绕基本概念在情景中引出问题，在情景中探究问题。
在数学教学中如何加强理论联系实际，从学生出发，合理组织运用情景进行教学，培养学生的创新精神和数学思维能力呢？我认为可从以下几个方面着手。
1.创设生活情景，激发学生的兴趣和探究数学奥妙的欲望
日常生活中，有很多具有较强的启发性、代表性和应用性的事例，可以将其转化为数学问题，使之走入课堂。这不但能使数学教学贴近生活、生动具体、深入浅出，而且更能体现数学的本质与内涵，同时也很容易引起学生的共鸣，引发学生的好奇，激发学生的兴趣和探究数学奥妙的欲望。
案例1 比萨饼店的售货员喜欢把比萨饼切成各式形状出售。他发现一刀最多可以把比萨饼切成两块，两刀最多可以切成4块，三刀最多切成7块。则8刀最多能切成几块?
对于刚学数列的高一学生来讲，既感兴趣又无从下手。
师：“怎样用数列知识来解决这个问题？”
生：“从题目的已知条件可知数列{an}中，a1＝2，a2=4，a3=7，要求的是a8的值。”
师：“那么，第四刀最多可以切成几块？”
生：“最多可以切成11块。”
师：“请同学们观察a1、a2、a3、a4间的关系并找出规律。”
生：“a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，由此可得an-an-1=n(n≥2)。”
师：“我们可以用什么方法求an呢?”
生：“用累加法求得：an=a1 +2+3+…+n=n(n+1)/2+1
所以a8=37”
通过这个切比萨饼的小问题，引出数列问题，引导学生学会用“数列的递推公式”来解决生活中遇到的问题，以激发学生的学习兴趣，轻松愉快地领悟了数列的相关知识。
2.创设实验情景，培养学生探究数学问题的科学方法
在高中数学教学中，教师不仅要培养学生严谨的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力，还要培养学生数学建模能力与数据处理能力，培养学生探究数学问题的科学方法。最好方式就是用《几何画板》、《数学实验室》等工具软件，为学生创设数学实验情境。其基本目的，是使学生掌握数学实验的基本思想和方法，即不把数学看成先验的逻辑体系，而是把它视为一门“实验科学”，通过学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律并掌握科学的探究方法。让学生充分享受“创造”的乐趣，体现数学的实用价值。事实证明，让学生在实践中学习数学知识，会使学生越来越聪明，学生的创造欲望越来越强烈。正如陶行知先生所说：“新时代的学生，应该'用活书'，'活用书'，'书用活'，让他们自己拿钥匙打开智慧的大门”。
案例2椭圆定义的引进
(1)折纸活动：在一张圆形纸片内部设置一个不同于圆心的一点，折叠纸片，使圆的周界上有一点落于设置点。折叠数次，形成一系列折痕，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓；
(2)观察、猜想：众多折痕围出一个椭圆；
(3)“几何画板”动态演示折纸过程及形成的椭圆；
(4)探究本质特征，发现并形成定义：椭圆上的点到点Ｃ、点Ｏ的距离和等于圆半径。
通过以上折纸活动，使原本单调、枯燥的数学变得生动有趣，规律和概念是学生自己发现得出的，使學生经历了动手实验－观察猜想－发现规律-形成概念-掌握方法的过程。
3.创设纠错情境，培养学生探究数学的品质
学生在解题时，常常不顾条件或研究范围的变化，出现这样或那样的错误。对此，我们应针对学生常犯的一些错误，引导他们分析研究产生错误的原因，寻找根治错误的良方，在知错中改错，在改错中防错，以弥补学生知识的缺陷和逻辑推理的不足，提高解题的准确性，增强思维的严谨性。故在学生易出错之处，让学生充分暴露问题，去“碰壁”和“跌跤”，然后顺其错误剖析引导，使学生恍然大悟，留下深刻印象。
案例3 设函数y=f(x)的定义域为全体实数，则函数y=f(x-1)，y=f(1-x)的图象关于
A.直线y=0对称.B.直线x=0对称.
C.直线y=1对称. D.直线x=1对称.
师：这是一道高考选择题，题虽不难，但错误率很高。下面就此题的选择请大家各抒己见，以理晓人，悟出个中道理。
生A：先做y=f(x)关于y轴的对称图象，得到y=f(－x)的图象，再把y=f(－x)的图象向左平移1个单位，即得y=f(1-x)的图象。故选B。
生B：A同学在第二步作“平移变换”时，方向错了，应把y=f(－x)的图象向右平移1个单位，即得y=f［－(x-1)］的图象，即 y=f(1-x)。也选B。
生C：我是“先平移后对称”，即把y=f(x)的图象向右平移1个单位，得到y=f(x-1)的图象，再作y=f(x-1)的图象关于y轴的对称，得到y=f［－(x-1)］的图象，即y=f(1-x)的图象。还选B。
生D：由于f(x-1)=f(1-x)，因此y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x=0对称，我也选B。
生E：我认为选B不对，我们说y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，即关于直线x=0对称，类比可知y=f(x-1)与y=f［－(x-1)］的图象关于直线x-1=0对称，即关于直线x=1对称，故应选D。
师：E同学用类比的方法，得出了正确的答案！由于平移理解错了，A同学确实犯了“方向”性的错误，B同学又错在哪里?
生B：听了E同学的发言，我知道了选B的错误在于：将y=f(x)与y=f(-x)的图象都向右平移1个单位后，未注意到对称轴(即直线x=0)已被直线x-1=0替换了，应选D。
师：这样理解就对了。这说明不能机械地照搬法则，而应弄清实质。谁说说C的错误在何处，D的错误又在哪里?
生A：C同学和B同学犯了类似的错误——第二步应作y=f(x-1)的图象关于直线x-1=0对称，即关于直线x=1对称。而D同学的错因在于增加了f(x-1)=f(1-x)这一条件。
生F：用D同学的想法(但不能增加条件)也可以走上“正道”，只要注意到y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称，就可知y=f(x-1) 与y=f(1-x)的图象关于直线x-1=1-x对称，故选D。
师：今天的讨论很有意义，大家的发言积极热烈，既阐明了道理，又找到了原因……
从学生“有错”入手，引导他们进行验证，让学生在争论中“纠错”，在研究、验证、总结、反思的过程中建构正确的知识体系，这样的学习活动，学生获取的不仅仅是知识本身，更重要的是态度、思想、方法，养成的是探究的品质，提高的是探究的能力，这对他们后续知识的学习将有较大的影响，也可为学生的终身学习奠定基础。
4. 创设过程情景，激发学生自主探索的欲望
高中数学课程标准明确指出：“在数学教学中，学习形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。教学过程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵其中的思想方法。”所以，我们要从知识产生的过程引发学生独立思考，激发学生自主探索的欲望，并在思考、探索和交流的过程中使学生获得对数学较为全面的体验和理解。
案例4 数学归纳法的教学过程
4.1 设置障碍，激发学生自主探索的欲望。
为了激发学生的学习兴趣，我选取了用其他方法证明比较困难的题目：
“证明：当n=1，2，3，4，5，…的一切自然数时都有1+22+33+44+…+nn<(n+1)n成立”
学生互相讨论片刻觉得无从下手，这时我启发他们从特殊值入手，n=1，2，3，4，5来验证。
n=1时，原不等式为1<2，成立。
n=2时，原不等式为1+22<(2+1)2，通过计算成立。
n=3时，原不等式为1+22+33<(3+1)3，通过计算成立。
n=4时，原不等式为1+22+33+44<(4+1)4，通过计算成立。
n=5时，原不等式为1+22+33+44+55<(5+1)5，通过计算成立。
4.2 通过比较，引出递推思想
学生窃窃私语觉得计算太繁，此时应把握时机引导学生由繁到简，激发学生的学习兴趣。学生通过观察比较n=4，5时两个不等式的左边，不难发现都有1+22+33+44这些项，自然就想到利用“1+22+33+44<(4+1)4”来证明“1+22+33+44+55<(5+1)5”这个不等式成立。由于学生已掌握了放缩法，于是这个问题引发了他们探索的兴趣和热情，马上有学生讲：“因为1+22+33+44+55＜54+55=6×54<6×64，所以该不等式成立。”那么n=6时怎么证呢？学生在动手证明的过程中发现了问题：“难道我们一个一个验证？”“何时能验证完呢？”这就激发了学生强烈的求知欲和高涨的学习热情。这时我说：“很好。验证过程是无限的，但我们观察一下上面的过程就会发现：n=4时结论成立，推出n=5时结论也成立，n=5时结论成立，也可以推出n=6时结论成立，而且推导方法是一样的。”引导学生想到能否把推导过程一般化？由n=k时结论成立，能否推出n=k+1时结论也成立呢？由此引出数学归纳法。
这样的教学设计就给学生的自主探索留下了充分的空间。在教学过程中适度的形式化是必要的，但我们不必急于得出形式化，而应通过引导学生在探究数学概念和结论形成的过程中努力追求水到渠成的教学效果。只有这样，才能激发学生自主探究和独立思考的热情，促使学生全面发展，真正体现新课标的理念。
5.创设想象情境，提高思维灵活性
想象是思维探索的翅膀。让学生在两个看似无关的事物之间进行想象，如同给了学生一片自由驰骋的天地。在教学中应充分利用一切可供想象的空间，挖掘发展想象力的因素，发挥学生的想象力，引导学生由单一思维向多向思维拓展。数学想象一般有以下几个基本要素：第一，要有扎实的基础知识和丰富的经验支持。第二，要有迅速摆脱表象干扰的敏锐的洞察力和丰富的想象力。第三，要有执著追求的精神和强烈的求知欲。因此，培养学生的想象力，首先要使学生学好相关基础知识。其次，根据教材，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。
案例5 三垂线定理
教师在和学生一起完成对三垂线定理的证明后，正準备进行下面的内容，此时有一名学生举手。
生1：老师，这个定理为什么叫三垂线定理呢？
师：问得好，大家能够结合图3就三垂线定理的名称谈一谈自己的想法吗？
生2：在图3中，直线a分别垂直直线AB、AC、BC这三条直线，所以命名为三垂线定理。而直线AC只与直线a垂直；AB只与直线BC、a垂直；BC只与直线a、AB垂直。
师：大家有什么看法呢？
生3：在证明这个定理的过程中，证明了三次垂直，第一次证明了AB⊥a (线面垂直→线线垂直)，第二次由AB⊥a，BC⊥a证明了直线a⊥面ABC(线线垂直→线面垂直)，第三次由直线a⊥面ABC，证明了直线a⊥AC(线面垂直→线线垂直)。所以命名为三垂线定理。
全班同学若有所悟，频频点头。
师：不错，对证明过程领悟透彻，分析精辟。还有其它见解吗?
生4：在图3中，直线AB、BC，直线a三条直线两两垂直，而且分别代表了三个不同的维度，由此甚至可以建立空间坐标系，所以大家才把这个定理命名为三垂线定理。
师：对图形的特征认识深刻入微，联想丰富。还有哪位同学要发言？
生5：我不同意他们的观点。三垂线定理的实质是判断斜线和它在平面内的射影必定同时垂直于平面内的某条直线，也就是说，斜线和它在平面内的射影，对于平面内的一条直线是否在垂直关系上具有一致性。重点在这三条直线，定理的叙述中也只提及这三条直线。至于平面α的垂线AB，在这个定理中它不是我们的研究对象，它为射影的做出提供辅助，给证明过程提供帮助。
师：抓住了主要矛盾，解决了问题要害，非常好。
问题至此似乎已经解决。但学生6仍在举手，此时全班同学都静静地望着他。
生6：在图3中，有线线垂直（包括相交直线与异面直线的垂直），线面垂直（直线ＡＢ与平面α，直线a与平面ABC）和面面垂直（平面ABC和平面α）三种不同的垂直类型，所以命名为三垂线定理。
大家随着他的叙述都在图3中仔细地寻找、思考。
师：这位同学对“三垂”的理解具有超前意识，说明他已经超前自学了，很好！但他只注意了“垂直”，而没有考虑到“线”，所以他对三垂线定理的理解，还有待斟酌。
案例5中，从学生1的提问开始，以及学生2到学生6的精彩表现告诉我们，学生的潜力是无限的。如果教师能够把握恰当的教育时机，给他们提供独立思考、合作交流的条件，也许他们的聪明才智就更能够得以淋漓尽致的发挥。其中如学生3发现的证明过程中的三次垂直，学生4观察到的三条直线两两垂直的三维空间，学生6领悟到的三种不同垂直类型都是比较出乎意料的看法或认识，具有一定的新颖性和“再创造”的特点，这不是教师的讲授所能包办和代替的。学生的思维正如培根所说的：“我们是富于创造的，因为我们一无所知。”因而教师不应当做学生思维的禁锢者，学生不应当只是被老师教出来的。
教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲，调动学生学习的积极性和主动性，提高学生运用知识解决实际问题的能力。总之，实施情境教学是新课程背景下培养学生创新精神和数学思维的有效途径，充分发挥教师主导，学生主体的功能，从而使我们的数学课堂成为学生张扬个性、翱翔思想的天空。
收稿日期：2010-11-16