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【摘 要】量化是重要的数学思维。量化思维成长作为隐性课程隐蔽于小学数学知识之中，发掘数学知识背后的量化思维隐性课程有助于小学生量化思维成长。本文概括了小学生量化思维成长的规律，并给出了研学后教理念下设计研学案以启发学生量化思维的范例。
【关键词】研学后教;量化思维;隐性课程
量化是重要的数学思维，是自然科学、社会学、经济学等实证研究建立的必要基础，也是人们合理分类、精确表达、准确决策的思维前提。例如，在集合的概念中，元素必须是确定的，可量化的，不会重复出现的。“小于100的偶数”可以被准确列举，且可以精确归类;而“我国传统思想”则无法准确归类，无法进行量化列举。使用精确概念准确表达命题是科学的主要特征之一，量化地描述事实则是概念的内涵与外延得以清晰界定的思维基础。因此，量化思维成长是学生数学能力、表述能力、命题能力、分类能力、研究能力成长的必要基础。
量化思维培养始终贯穿于小学数学教学的过程。但是，受传统课程观影响，教师在教学中更加注重数学知识理解，忽视了知识背后的思维能力发掘。新课程改革更强调数学教学的过程与方法，要求教师将教学重点放在引导学生发掘数学知识背后的思维方法上，重点是让学生体验数学知识创造的过程。在此背景下，如何从数学知识中发掘出量化思维成为教学研究需要解决的重点问题。番禺区实施“研学后教”课堂改革以来，学生探究问题先于教师授课而进行的教学模式已经成为番禺区课改的新常态，因此，使学生在研学中发现量化思维的优势，并乐于成长自身的量化思维，成为本文关注的焦点。
一、小学数学知识中的量化思维
杰克逊（P.W.Jackson）最早在《班级生活》一书中提出的“隐性课程”（hidden curriculum）概念可用于概括量化思维在数学课程中的作用。“思维”属于学生的内在能力，它不具备成为文本知识的可能性，它只能通过显性的知识来表达。量化思维正是这样一种隐性课程，它隐蔽于数学知识之中，期待着教师开发以为学生所用。透过显性知识发掘隐性能力并使之体现在学习中，这是教师设计教学活动的基本职责。因此，笔者对部分小学数学知识所隐含的量化思维隐性课程做了梳理。
通过分析可以看到，小学数学每个知识板块都隐含着量化思维培养的要求，量化思维不仅体现在课本知识上，更与学生的生活体验有密切的关系。具有良好的量化思维，不仅有助于知识学习，更有助于学生在生活中解决实际问题，使学生具备准确把握问题做出清晰决策的能力。
二、小学生量化思维成长规律
儿童心理学理论认为，儿童的思维成长是由具体向抽象、形象向运算逐渐成熟的过程，其量化思维能力也相应地由初级向高级递进发展。笔者根据组成量化思维几种思维能力分析了小学生量化思维的成长规律。具体地看，量化思维由几种思维能力组成：
1. 识别物品：能将物品与周围环境区别开来，能分辨相似物品，具有初步的类观念。
2. 描述物品：能从外观上描述同类物品的共同特征。
3. 数数能力：能正确数数，能在数同类物品时不把其他物品包括进来，初步具有量词概念。
4. 分类能力：能将不同的物品按照一定的特征分类。
5. 工具测量：知道感觉具有不准确性的特点，初步学会借助工具来比较长短、大小、快慢等关系。
6. 复杂分类能力：能给出复杂事物分类的标准，如“勤劳的学生”、“凉爽的风”、“炎热的天气”等。
7. 概念能力：知道一些简单概念的内涵和外延，理解概念的精确性，如三角形、平行四边形等。
8. 命题能力：具有初步的命题能力，能区分命题与非命题，如“三角形有三个角”（命题），“花谢预示着倒霉”（非命题）。
9. 计算与统计：能用数量表达事物，通过数量关系表达事物的变化形态（如加减等），能通过统计比较不同事物的数量关系。
10. 解决问题：能根据数量关系对问题做出精确判断，并制定准确的解决方案，如根据问题“粉刷一面墙需要多少钱的油漆”，能精确判断墙的面积和需要的油漆量，根据数量关系计算出购买油漆所需要的钱。
小学生量化思维能力基本上遵循以上1—10的规律成长，笔者选取了大量的样本评估了每个学年段学生量化思维能力的分布情况：
统计结果表明，1—10项量化思维能力的阶段设定基本上符合大多数学生的心理成熟度，80%的儿童能在量化思维能力的测定中达到75分以上。但是，统计也说明了另一个现象，随着年级上升，量化思维要求增高，学生的量化思维能力开始出现分化，越来越多的学生在量化思维能力测定中降到75分以下，说明现有的数学教学与量化思维培养之间开始出现脱节的现象。
三、基于“研学后教”理念的量化思维成长
根据小学生量化思维能力的成长规律，笔者主张数学教学要注重发掘隐含在知识之中的隐性问题，用以提高学生量化思维能力，以期完成每个阶段的成长目标。
传统课程观认为，知识（显性知识）是教学的核心，数学教学应围绕公式、概念、计算能力进行。基于“研学后教”理念的课程观则认为，教师更应注重数学知识背后的隐性内容，即学生思维能力的培养，教学应围绕启发学生思考而设计。因此，研学后教教学理念主张通过研学案的方式展开教学，由教师设计研学案，学生于教师授课之前探究研学案问题，进而自主构建知识，获得思维能力的成长。
研学案明显区别于例题，例题是给出数量关系的习题，其重点是向学生示范某一类数量关系的计算方法;研学案与学生生活体验有密切联系，通过提炼生活问题以引导学生探索解决方案的方式使学生获得成长。结合研学后教理念，笔者设计了一系列开发隐性量化思维的研学案，在此以加法为例加以说明：
教学内容：加法。
显性知识：加法的列式计算，应用题的加法使用。
隐性知识：加法的意义是什么？在没有量化的情况下能用加法吗？什么样的情况才能清楚地说多少加多少？
教学设计：
（1）4杯水加3杯水等于几杯水？
（2）将3杯水倒入4杯水中有几杯水？
（3）1杯水加1盆水等于多少？
（4）怎么描述1杯水加到1盆水中这个现象？
第一个环节，学生很快能列出式子：4 3=7。而第二个环节，有的学生列4 3=7，另一些学生则无法列出式子，产生困惑“为什么加在一起反而变4杯了？”，“空杯子怎么算？”经过研讨，学生明白，第一环节之所以答案是7，是因为计算时用的是量词“杯”。第二个环节之所以产生困难，是因为合在一起的水已经不能用量词“杯”来表达。
第三环节，学生无法列出式子，经过探讨，学生理解了，由于“杯”与“盆”是不同的量词，属于不同的类，故无法相加。教师继续给出问题“虽然不能用1 1=2，但是这杯水确实加到这盆水里了，盆里的水是变多了还是变少了？”，学生能准确回答“变多了。”教师继续引导“变多了，就应该用加啊！”随后，在教师的引导下，学生能说出，需要用秤来秤水的重量，以重量为单位就能用加法。
教学过程中，笔者注重引导学生思考量词本身的意义，思考使用不同量词描述水的变化情况的方法，激发了学生准确量化的思维。实践表明，这种设计研学案的方法较好地改善了学生量化思维测试的情况。
■参考文献
[1]P. W. Jackson. Life in Classroom [M].Holt Rinchart
【关键词】研学后教;量化思维;隐性课程
量化是重要的数学思维，是自然科学、社会学、经济学等实证研究建立的必要基础，也是人们合理分类、精确表达、准确决策的思维前提。例如，在集合的概念中，元素必须是确定的，可量化的，不会重复出现的。“小于100的偶数”可以被准确列举，且可以精确归类;而“我国传统思想”则无法准确归类，无法进行量化列举。使用精确概念准确表达命题是科学的主要特征之一，量化地描述事实则是概念的内涵与外延得以清晰界定的思维基础。因此，量化思维成长是学生数学能力、表述能力、命题能力、分类能力、研究能力成长的必要基础。
量化思维培养始终贯穿于小学数学教学的过程。但是，受传统课程观影响，教师在教学中更加注重数学知识理解，忽视了知识背后的思维能力发掘。新课程改革更强调数学教学的过程与方法，要求教师将教学重点放在引导学生发掘数学知识背后的思维方法上，重点是让学生体验数学知识创造的过程。在此背景下，如何从数学知识中发掘出量化思维成为教学研究需要解决的重点问题。番禺区实施“研学后教”课堂改革以来，学生探究问题先于教师授课而进行的教学模式已经成为番禺区课改的新常态，因此，使学生在研学中发现量化思维的优势，并乐于成长自身的量化思维，成为本文关注的焦点。
一、小学数学知识中的量化思维
杰克逊（P.W.Jackson）最早在《班级生活》一书中提出的“隐性课程”（hidden curriculum）概念可用于概括量化思维在数学课程中的作用。“思维”属于学生的内在能力，它不具备成为文本知识的可能性，它只能通过显性的知识来表达。量化思维正是这样一种隐性课程，它隐蔽于数学知识之中，期待着教师开发以为学生所用。透过显性知识发掘隐性能力并使之体现在学习中，这是教师设计教学活动的基本职责。因此，笔者对部分小学数学知识所隐含的量化思维隐性课程做了梳理。
通过分析可以看到，小学数学每个知识板块都隐含着量化思维培养的要求，量化思维不仅体现在课本知识上，更与学生的生活体验有密切的关系。具有良好的量化思维，不仅有助于知识学习，更有助于学生在生活中解决实际问题，使学生具备准确把握问题做出清晰决策的能力。
二、小学生量化思维成长规律
儿童心理学理论认为，儿童的思维成长是由具体向抽象、形象向运算逐渐成熟的过程，其量化思维能力也相应地由初级向高级递进发展。笔者根据组成量化思维几种思维能力分析了小学生量化思维的成长规律。具体地看，量化思维由几种思维能力组成：
1. 识别物品：能将物品与周围环境区别开来，能分辨相似物品，具有初步的类观念。
2. 描述物品：能从外观上描述同类物品的共同特征。
3. 数数能力：能正确数数，能在数同类物品时不把其他物品包括进来，初步具有量词概念。
4. 分类能力：能将不同的物品按照一定的特征分类。
5. 工具测量：知道感觉具有不准确性的特点，初步学会借助工具来比较长短、大小、快慢等关系。
6. 复杂分类能力：能给出复杂事物分类的标准，如“勤劳的学生”、“凉爽的风”、“炎热的天气”等。
7. 概念能力：知道一些简单概念的内涵和外延，理解概念的精确性，如三角形、平行四边形等。
8. 命题能力：具有初步的命题能力，能区分命题与非命题，如“三角形有三个角”（命题），“花谢预示着倒霉”（非命题）。
9. 计算与统计：能用数量表达事物，通过数量关系表达事物的变化形态（如加减等），能通过统计比较不同事物的数量关系。
10. 解决问题：能根据数量关系对问题做出精确判断，并制定准确的解决方案，如根据问题“粉刷一面墙需要多少钱的油漆”，能精确判断墙的面积和需要的油漆量，根据数量关系计算出购买油漆所需要的钱。
小学生量化思维能力基本上遵循以上1—10的规律成长，笔者选取了大量的样本评估了每个学年段学生量化思维能力的分布情况：
统计结果表明，1—10项量化思维能力的阶段设定基本上符合大多数学生的心理成熟度，80%的儿童能在量化思维能力的测定中达到75分以上。但是，统计也说明了另一个现象，随着年级上升，量化思维要求增高，学生的量化思维能力开始出现分化，越来越多的学生在量化思维能力测定中降到75分以下，说明现有的数学教学与量化思维培养之间开始出现脱节的现象。
三、基于“研学后教”理念的量化思维成长
根据小学生量化思维能力的成长规律，笔者主张数学教学要注重发掘隐含在知识之中的隐性问题，用以提高学生量化思维能力，以期完成每个阶段的成长目标。
传统课程观认为，知识（显性知识）是教学的核心，数学教学应围绕公式、概念、计算能力进行。基于“研学后教”理念的课程观则认为，教师更应注重数学知识背后的隐性内容，即学生思维能力的培养，教学应围绕启发学生思考而设计。因此，研学后教教学理念主张通过研学案的方式展开教学，由教师设计研学案，学生于教师授课之前探究研学案问题，进而自主构建知识，获得思维能力的成长。
研学案明显区别于例题，例题是给出数量关系的习题，其重点是向学生示范某一类数量关系的计算方法;研学案与学生生活体验有密切联系，通过提炼生活问题以引导学生探索解决方案的方式使学生获得成长。结合研学后教理念，笔者设计了一系列开发隐性量化思维的研学案，在此以加法为例加以说明：
教学内容：加法。
显性知识：加法的列式计算，应用题的加法使用。
隐性知识：加法的意义是什么？在没有量化的情况下能用加法吗？什么样的情况才能清楚地说多少加多少？
教学设计：
（1）4杯水加3杯水等于几杯水？
（2）将3杯水倒入4杯水中有几杯水？
（3）1杯水加1盆水等于多少？
（4）怎么描述1杯水加到1盆水中这个现象？
第一个环节，学生很快能列出式子：4 3=7。而第二个环节，有的学生列4 3=7，另一些学生则无法列出式子，产生困惑“为什么加在一起反而变4杯了？”，“空杯子怎么算？”经过研讨，学生明白，第一环节之所以答案是7，是因为计算时用的是量词“杯”。第二个环节之所以产生困难，是因为合在一起的水已经不能用量词“杯”来表达。
第三环节，学生无法列出式子，经过探讨，学生理解了，由于“杯”与“盆”是不同的量词，属于不同的类，故无法相加。教师继续给出问题“虽然不能用1 1=2，但是这杯水确实加到这盆水里了，盆里的水是变多了还是变少了？”，学生能准确回答“变多了。”教师继续引导“变多了，就应该用加啊！”随后，在教师的引导下，学生能说出，需要用秤来秤水的重量，以重量为单位就能用加法。
教学过程中，笔者注重引导学生思考量词本身的意义，思考使用不同量词描述水的变化情况的方法，激发了学生准确量化的思维。实践表明，这种设计研学案的方法较好地改善了学生量化思维测试的情况。
■参考文献
[1]P. W. Jackson. Life in Classroom [M].Holt Rinchart