摘 要：化归思想方法是研究数学问题的一种基本方法。所谓化归是转化和归结的简称。其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A通过某种转化手段归结为另一个问题B，而问题B是相对易解决或已有固定解决程式的问题，且通过问题B的解决可得到原问题A的解答。其中问题B就是化归的目标或方向，转化的手段则为化归的途径或策略。
　　关键词：化归思想；数学问题
　　运用化归的方法关键在于如何实现所要解决的问题向已经解决的问题的转化。化归思想是我们分析问题、处理问题一种常用的方法。因此，我们在教学中要重视引导学生领悟，理解这种解决问题的思想方法，以此为研究数学问题的指导思想，通過不同的方法，手段和途径寻找问题的变换形式而实现化归。下面举例说明化归思想在实际中的应用：
　　一、几何问题和代数问题间相互化归
　　著名数学家拉格朗日曾经说过：只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取活力，从那以后就以快速的步伐走向完善。可见，代数和几何是密不可分的。
　　（1）解析几何是以坐标系为桥梁利用代数问题研究几何问题，使平面几何图形中任意点P与直角坐标系内的有序实数对（x，y）构成一一对应的关系。
　　我们研究椭圆的标准方程，将形转化成数。在椭圆定义的基础上，通过由曲线求方程的方法，首先建立适当的直角坐标平面作为化归的途径，坐标系里流动的点的坐标按某种规则连续变化，从而得到等式|p1|=|p2|，代入点的坐标化简得到椭圆的标准方程，然后用代数的方法研究椭圆的性质，最后翻译成几何语言，得出椭圆的性质，使“数”和“形”达到完美的统一和结合。
　　（2）数列问题的化归，我们将数转化成形。数列运算是纯粹的代数问题，可如果我们把数列的通项公式经过变形也可以化归成解析几何中的直线方程来解决。
　　例如，等比数列的通项公式an=a1·qn-1两边取对数lgan=n·lgq+（lga1-lgq），令k=lgq，b=lga1-lgq就变化成直线方程：y=kx+b，从而解决数列的一些问题，数形合一的典型例题。
　　可见，只要我们能寻找到合理的“中间媒介”将直观的图形和数学问题相互转化，运用化归的方法会使我们研究的对象更清晰，更明朗，更易于问题的解决。
　　二、化归思想在高等数学中的应用
　　（1）在高等数学学习阶段，知识更加深奥，与实际的联系更加广泛。学生在学习这部分知识时，由于与以往所学知识有所不同，感到难以理解。而高等数学知识的第一道“门坎”极限的知识是一个基础，它几乎充斥到整个微积分当中。换言之，微积分中一些重要的概念就可化归为极限问题来描述和解决。所以在教学中如何精心安排，巧妙布局使知识系统化，结构化显得尤为重要。
　　（2）早在三国时期，我国著名的数学家刘徽创造“割圆术”成功推算出圆的面积。对于一个圆先做内接正六边形得到面积A1，再做内接正十二边形得到面积A2，循此下去，每次边数成倍下去，得到一系列内接正多边形的面积A1，A2，A3……An构成一列有次序的数，可以想见“割之弥细，所失弥少”在几何直观上，当正多边形边数越多时，对应的内接正多边形面积就贴近于圆的面积，可以说解决圆面积所采用的方法其实质就是化归成极限的思想。
　　导数是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般性、也更抽象的概念，纯粹从数量方面刻画变化率的本质。如果让学生透彻理解导数所反映的因变量相对于自变量的变化快慢程度会有所困难。将导数反映的平均变化率如果化归成极限方法解决就容易理解得多了，也就是说导数的实质就是差商的极限。从实际意义上，使学生容易理解到，它可表示为曲线上某点切线的斜率。
　　再如，利用曲边梯形的面积是引入定积分概念行之有效的方法，更促进学生的理解和掌握。曲边梯形的面积在有限区间内划分若干个小区间得到窄边梯形，近似看成窄边矩形——求和，由n个矩形的面积之和的极限看成曲边梯形的面积。定积分就是抓住实际问题在数量关系分割求和这种共同的本质特征加以概括，通过极限抽象出定积分的概念。
　　哪怕是概率论的知识我们都可以化归成定积分来讲授。我们知道一维连续型随机变量分布函数F（x）=p（X≤x），从几何的角度去理解它——F（x）的值就是y=p（x）这条曲线与X轴在（-∞，x）所围曲边梯形的面積；则y=p（x）在（-∞，+∞）与X轴所围曲边梯形的面积就是“1”，满足分布函数的性质，同时也掌握概率密度的性质——；而这条曲线y=p（x）在区间（a，b）上与X轴所围曲边梯形的面积自然就是随机变量X落在这个区间的概率，由此可知完全可以利用定积分通过求图形的面积从而得到所求的概率。这一个几何解释不仅让学生理解分布函数的概念，更掌握分布函数与概率密度的关系，进一步求出区间的概率，达到事半功倍的效果。
　　正如恩格斯所说：“从有限中找到无限，从暂时中找到永远，并且使之确定下来。”的这种运动辩证的极限思想是微积分的基本思想。从重要概念的得到具体问题的解决，许多方面都可化归成极限思想来解决，因此我们要重视极限知识的教学。
　　（3）反之，极限问题也可化归成几何知识来掌握。
　　例：当时，有。其几何意义就是在单位圆中， 圆心角∠AOB=x，x取弧度，x∈（0，），显然，AC=sinx，=x，BD=tanx，且?AOB的面积<扇形AOB的面积<?DOB的面积，故，推出，从而由夹逼准则得到了重要极限。
　　总之，化归思想方法不仅在解决微积分问题，而且在解决代数问题、几何问题等许多方面的广泛应用实例不胜枚举。在指导学生的学习，解决数学问题时起着不容忽视的作用。教师要通过精心的设置，通过教学的诸多环节教会学生通过各种手段和策略，各个方面来思考和处理问题，使问题从未知领域向已知领域转化。通过变难为易、变繁为简的化归，来达到解决问题的效果，使问题的条件和结论和谐统一。
　　数学思想方法不仅仅局促化归思想方法，这些数学思想方法对于提高学生的思维水平和能力是非常有效的。因而，在数学教学中要重视对学生数学思想方法的培养，引导学生领悟理解数学的思想方法，形成良好的认知结构，并能将这些教学方法辐射到各学科，使学生体会到数学的价值。
　　作者简介：
　　黄剑（1969.4— ）女，汉族，天津市人，学历：大学本科，职称：副教授。研究方向：数学教学。