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[摘 要] 一切学习在本质上都是自我学习，教学要基于学生. 数学家加德纳说：“数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法证明定理和数学问题. ”教师通过恰当地设问和追问与学生对话，并通过对话暴露学生的思维过程，然后生成的东西才是学生真正所拥有的、长久的知识.
[关键词] 函数的奇偶性；教学设计
最近上了一堂赛课，课题是《函数的奇偶性》（教材：苏教版必修1第41至43页），下午4：00以后公布课题，次日上午上课. 时间很短，紧张思考，仓促准备，上完课，感觉无论是学生还是听课的教师和评委都被吸引住了，应该不差. 可没想到的是得到的评价却是“毁誉参半”！有人认为这是一堂精彩的课，也有人认为这堂课犯了“科学性错误”. 这让笔者思考良久……
[?] 回顾
1. 教学实录
日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，泰姬陵和她在水中的倒影，徽章和风车……（PPT演示）
图1
教师：这些对称可以分为两类，大家可以说说是哪两类吗？
学生：关于直线对称和关于点中心对称.
问题1：在已经学过的函数中，也有一些函数的图像是对称的，大家能否举出一些例子？
学生：f（x）=x2， f（x）=（x-1）2， f（x）=x，f（x）=x 1， f（x）=（几何画板绘图）.
教师：
对称关于直线对称——关于y轴对称，
关于点对称——关于原点对称.
我们把图像关于y轴对称的函数叫偶函数，图像关于原点对称的函数叫奇函数.
比如说，刚才大家举的例子中，哪些是偶函数，哪些是奇函数？
学生：偶函数有f（x）=x2，奇函数有f（x）=x，f（x）=.
问题2：函数f（x）=x 的奇偶性是怎样的？
学生：……（面面相觑）
教师：大家之所以感到为难，是因为不清楚f（x）=x 的图像的特征. 因此，我们有必要从代数的角度来理解函数图像的对称性.
问题3：请大家观察函数f（x）=x2的图像，函数值对应表是如何体现图像关于y轴对称的[1]？
学生：f（-2）=4=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=9=f（3）……
教师：那是否对所有x0，都有f（x0）=f（-x0）？
学生：是的， f（-x）=x2=f（x）.
教师：请大家看课本第34页例2，函数y=x的图像是关于y轴对称的，有类似的性质吗？哪位同学来说说[2]？
学生：f（-2）=2=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=3=f（3）……一般地，对任意x0，都有 f（x0）=
x0
=f（-x0）.
问题4：一般地，对任意一个图像关于y轴对称的函数来说，都有f（-x）=f（x）吗？
学生：是的.
教师：一般地，从代数角度来理解函数图像关于y轴对称的方法是f（-x）=f（x）.
一般地，如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数y=f（x）的图像关于y轴对称，此时也称函数y=f（x）为偶函数.
板演：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A.
偶函数：对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x）.
注：偶函数的图像关于y轴对称.
问题5：请大家观察函数f（x）=的图像，函数值对应表是如何体现图像关于原点对称的？
学生： f（-3）=-=-f（3）， f（-2）= -=-f（2）， f（-1）=-1=-f（1）……
一般地， f（-x）=-=-f（x）.
教師：f（x）=x的图像也是关于原点对称的，有类似的性质吗？
学生：……
问题6：你能类比偶函数得出一个定义吗？
学生：一般地，如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）的图像关于原点对称，此时也称函数f（x）为奇函数.
板演：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A.
奇函数：对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）.
注：奇函数的图像关于原点对称.
教师：我们从代数的角度来理解了函数图像的对称性. 再看问题2（函数f（x）=x 的奇偶性）.
学生：奇函数，因为f（-x）=-x-= -f（x）.
辨析题（课本第43页练习4）：对于定义在R上的函数f（x），下列判断是否正确？
（1）若f（x）是偶函数，则f（-2）=f（2）；
（2）若f（-2）=f（2），则f（x）是偶函数；
（3）若f（-2）≠f（2），则f（x）不是偶函数.
有些学生对（2）的判断有误，追问：若f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），…，f（-n）=f（n）（n∈N*），则f（x）是偶函数吗？由此强调定义中的关键字“任意的”.
对（3）学生用反证法说明了理由，追问：还有其他的否定方法吗？ 学生：（沉默）
教师：随便x取什么值，都有f（-x）=f（x）. 这个结论怎么否定？
学生（齐）：举反例.
教师：这也是生活中常用的方法，比如说怎么否定“天下乌鸦一般黑”？
学生：只要找到一只乌鸦不是黑的就行了.
问题7：下列函数具有奇偶性吗？（如图4）由此，有何结论？
学生：没有奇偶性.
教师：对于f（x）=x2，x∈[-3，2]而言，不是有f（-x）=f（x）么？怎么沒有奇偶性呢？
学生：f（3）无意义.
教师：那么奇（偶）函数的定义域有何特征？
学生：区间端点互为相反数.
教师：很好，能不能也用“对称”的说法来刻画？
学生：奇（偶）函数的定义域关于原点对称.
教师：非常精彩！不仅奇（偶）函数的图像对称，而且其定义域也是关于原点对称的.
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=x2-1；
（2）f（x）=2x；
（3）f（x）=（x-1）2；
（4）f（x）=.
小结：（1）判断函数奇偶性的两种方法：定义和图像.
（2）用定义判断函数奇偶性的步骤：先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；再确定f（x）与f（-x）的关系，得出结论. （40分钟到，下课铃声响，匆忙小结）
教师（课堂小结）：本节课数形结合思想贯穿始终，从图像的特征发现了点坐标之间的关系，从而得出了数学结论. 这种研究函数性质的方法还要延续.
2. 设计说明
虽然准备时间仓促，但笔者还是认真阅读了教材§2.2.2《函数的奇偶性》三遍才开始写教案. 两小时完工后再回看，感觉不自然，重新细看教材后发现教材的思路“日常生活中的对称现象→基本函数图像中类似的对称性→数量关系刻画→定义→例题和说明”不自然，特别是对难点“如何用数量关系来刻画函数图像的对称性”的突破显得混乱. 先由图像感知（教材旁注中还插图折纸演示），下面又由特值举例说明，似乎不符合认知规律. “应该先由特值感知到结论，再从图像进行一般说明才对啊！”抱着疑问，笔者又翻开了人教版教材，果然是先从列表画图中发现了数量关系f（-2）=4=f（2）……再由两个特例y=x2，y=x得到了偶函数的定义. 整个流程比苏教版自然流畅，更符合高一新生的学情，因此笔者设计了问题3和问题4. 另一方面，苏教版的情境引入又给人美感，所以设计了问题1和问题2. 但万没想到的是这两个自认为精彩的设计成了评委的争议！
3. 评价点评
评委意见分为两类，一类认为：问题设计别致，整堂课由问题驱动，自然生成了几乎所有结论，学生积极思考，课堂结构完整（也是唯一一位把例题教学和课堂小结都完成的选手）. 另一类认为：选手是通过两个特例y=x2，y=x来说明“一般地，对任意一个图像关于y轴对称的函数都有f（-x）=f（x）”这个数量关系的，仅凭归纳猜想得出结论，是科学性错误，应该一票否决；另外，在引入时，选手说“图像关于y轴对称的函数叫偶函数，图像关于原点对称的函数叫奇函数”，如此给函数的奇偶性下定义，书上没有，欠妥. 这节课成为争议，真是毁誉参半.
[?] 思考
1. 陷入困惑
反思自己：为了使课堂引入出彩，努力抓住学生的注意力，设计了问题1和问题2，结果得到了一个“不符合教材说法，欠妥”的评论；为了使课堂自然流畅，从学情出发，设计了问题3和问题4，结果弄出了“科学性错误”. 那么试问什么课堂才是精彩？四平八稳、千篇一律、因循守旧的教学设计才可能是优质课吗？难道创新就会导致错误？想了几天还是不能接受，大胆提出一个猜想：也许自己是对的呢？事实上也只是一部分评委反对而已！
2. 深入思考
“图像关于y轴对称的函数叫偶函数，图像关于原点对称的函数叫奇函数”这个说法是否“欠妥”？教材定义：如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数. 这个定义是怎么来的？不还是根据函数图像关于y轴对称，用数量关系刻画得出的吗？根本原因还是函数图像关于y轴对称. 事实上，“函数图像关于y轴对称”的充要条件就是“对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）”. 因此，笔者认为这个说法完全正确，没有“欠妥”！
通过两个特例y=x2，y=x来说明“一般地，对任意一个图像关于y轴对称的函数都有f（-x）=f（x）”这个数量关系，用归纳猜想得出的结论，是科学性错误？言外之意，就是必须严格论证了. 让我们看看教材：“观察函数f（x）=x2的图像，我们发现，函数f（x）=x2的图像关于y轴对称（并附了一张图）”“f（-2）=4=f（2）……实际上，对于函数f（x）=x2定义域R内任意一个x，都有f（-x）=x2=f（x）. 这时我们称函数f（x）=x2为偶函数”. 教师用书旁注：“用数学符号语言刻画函数图像的对称性，可以先从点的对称出发（如点（x0，y0）关于y轴的对称点是（-x0，y0），关于原点的对称点是（-x0，-y0）等），再过渡到点在函数图像上y0如何用x0表示，最后归纳到奇偶性的概念.”这也只是教学参考，不是教学必须遵循的标准答案（唯一的教学方案）. 更何况无论是苏教版还是人教版教材，正文根本没有给出任何严格的论证，都是由特例得到偶函数的定义的. 教材中类似的论述还有很多，比如复合函数求导法则，这些都是科学性错误吗？肯定不是，只是针对学生目前知识不够的权宜之计，是基于学情的不得已. 这种教学处理方法最多只是“有待商讨”，谈不上“科学性错误”.
现在就商讨要不要给出严格论证呢？初中数学教材中将“轴对称图形”描述为“沿某一直线翻折后与其另一部分完全重合的图形”[3]，事实上，苏教版教材旁注了一张折纸演示函数f（x）=x2图像的对称性，知道高一新生对对称性仅仅是“描述性定义”[3]的认知水平. 要实现教师用书的教学建议，也许对重点高中学生还行，但是对于这个普通高中的学生是不合适的，设计的问题3和问题4正是基于学情的. 事实表明，基于人教版教材的问题3和问题4使课堂自然流畅. 相反，采用教师用书建议的课堂是低效的，没有有效突破教学的重点、难点. 因此，笔者的教学处理方案不仅没有科学性错误，反而是明智的选择.
3. 在路上
经常听同行说，每个人的教学观念和经验不同，对同一个教学内容往往有不同的教学处理方法，也没有唯一正确的教学方案可言. 这句话在很大程度上是对的，笔者也一直在学习各种不同的教学处理方案和评价，在对比中汲取营养不断成长. 笔者尊重与自己相左的教学处理方案和评价，因为他们给了笔者思考；也非常欣赏与笔者相同的教学处理方案和评价，因为他们给了笔者鼓舞. 但是，每当笔者对比各种不同的教学处理方案和评价时，常常发现总是有一种比较好的，并不是样样都行. 到底哪种方案最好？需要我们不断地追问、思考、钻研和学习. 让我们一起走在专业成长的路上……
参考文献：
[1] 普通高中课程标准试验教科书数学必修1（人教版）. 人民教育出版社，2013.
[2] 普通高中课程标准试验教科书数学必修1（苏教版）教师用书. 人民教育出版社，2015.
[3] 陈姝妮. 由图形的对称性讲函数的“奇偶性”一课[J].上海中学数学，2012，（12）：9-11.
[关键词] 函数的奇偶性；教学设计
最近上了一堂赛课，课题是《函数的奇偶性》（教材：苏教版必修1第41至43页），下午4：00以后公布课题，次日上午上课. 时间很短，紧张思考，仓促准备，上完课，感觉无论是学生还是听课的教师和评委都被吸引住了，应该不差. 可没想到的是得到的评价却是“毁誉参半”！有人认为这是一堂精彩的课，也有人认为这堂课犯了“科学性错误”. 这让笔者思考良久……
[?] 回顾
1. 教学实录
日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，泰姬陵和她在水中的倒影，徽章和风车……（PPT演示）
图1
教师：这些对称可以分为两类，大家可以说说是哪两类吗？
学生：关于直线对称和关于点中心对称.
问题1：在已经学过的函数中，也有一些函数的图像是对称的，大家能否举出一些例子？
学生：f（x）=x2， f（x）=（x-1）2， f（x）=x，f（x）=x 1， f（x）=（几何画板绘图）.
教师：
对称关于直线对称——关于y轴对称，
关于点对称——关于原点对称.
我们把图像关于y轴对称的函数叫偶函数，图像关于原点对称的函数叫奇函数.
比如说，刚才大家举的例子中，哪些是偶函数，哪些是奇函数？
学生：偶函数有f（x）=x2，奇函数有f（x）=x，f（x）=.
问题2：函数f（x）=x 的奇偶性是怎样的？
学生：……（面面相觑）
教师：大家之所以感到为难，是因为不清楚f（x）=x 的图像的特征. 因此，我们有必要从代数的角度来理解函数图像的对称性.
问题3：请大家观察函数f（x）=x2的图像，函数值对应表是如何体现图像关于y轴对称的[1]？
学生：f（-2）=4=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=9=f（3）……
教师：那是否对所有x0，都有f（x0）=f（-x0）？
学生：是的， f（-x）=x2=f（x）.
教师：请大家看课本第34页例2，函数y=x的图像是关于y轴对称的，有类似的性质吗？哪位同学来说说[2]？
学生：f（-2）=2=f（2）， f（-1）=1=f（1），f（-3）=3=f（3）……一般地，对任意x0，都有 f（x0）=
x0
=f（-x0）.
问题4：一般地，对任意一个图像关于y轴对称的函数来说，都有f（-x）=f（x）吗？
学生：是的.
教师：一般地，从代数角度来理解函数图像关于y轴对称的方法是f（-x）=f（x）.
一般地，如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数y=f（x）的图像关于y轴对称，此时也称函数y=f（x）为偶函数.
板演：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A.
偶函数：对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x）.
注：偶函数的图像关于y轴对称.
问题5：请大家观察函数f（x）=的图像，函数值对应表是如何体现图像关于原点对称的？
学生： f（-3）=-=-f（3）， f（-2）= -=-f（2）， f（-1）=-1=-f（1）……
一般地， f（-x）=-=-f（x）.
教師：f（x）=x的图像也是关于原点对称的，有类似的性质吗？
学生：……
问题6：你能类比偶函数得出一个定义吗？
学生：一般地，如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）的图像关于原点对称，此时也称函数f（x）为奇函数.
板演：一般地，设函数y=f（x）的定义域为A.
奇函数：对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）.
注：奇函数的图像关于原点对称.
教师：我们从代数的角度来理解了函数图像的对称性. 再看问题2（函数f（x）=x 的奇偶性）.
学生：奇函数，因为f（-x）=-x-= -f（x）.
辨析题（课本第43页练习4）：对于定义在R上的函数f（x），下列判断是否正确？
（1）若f（x）是偶函数，则f（-2）=f（2）；
（2）若f（-2）=f（2），则f（x）是偶函数；
（3）若f（-2）≠f（2），则f（x）不是偶函数.
有些学生对（2）的判断有误，追问：若f（-1）=f（1），f（-2）=f（2），…，f（-n）=f（n）（n∈N*），则f（x）是偶函数吗？由此强调定义中的关键字“任意的”.
对（3）学生用反证法说明了理由，追问：还有其他的否定方法吗？ 学生：（沉默）
教师：随便x取什么值，都有f（-x）=f（x）. 这个结论怎么否定？
学生（齐）：举反例.
教师：这也是生活中常用的方法，比如说怎么否定“天下乌鸦一般黑”？
学生：只要找到一只乌鸦不是黑的就行了.
问题7：下列函数具有奇偶性吗？（如图4）由此，有何结论？
学生：没有奇偶性.
教师：对于f（x）=x2，x∈[-3，2]而言，不是有f（-x）=f（x）么？怎么沒有奇偶性呢？
学生：f（3）无意义.
教师：那么奇（偶）函数的定义域有何特征？
学生：区间端点互为相反数.
教师：很好，能不能也用“对称”的说法来刻画？
学生：奇（偶）函数的定义域关于原点对称.
教师：非常精彩！不仅奇（偶）函数的图像对称，而且其定义域也是关于原点对称的.
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=x2-1；
（2）f（x）=2x；
（3）f（x）=（x-1）2；
（4）f（x）=.
小结：（1）判断函数奇偶性的两种方法：定义和图像.
（2）用定义判断函数奇偶性的步骤：先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；再确定f（x）与f（-x）的关系，得出结论. （40分钟到，下课铃声响，匆忙小结）
教师（课堂小结）：本节课数形结合思想贯穿始终，从图像的特征发现了点坐标之间的关系，从而得出了数学结论. 这种研究函数性质的方法还要延续.
2. 设计说明
虽然准备时间仓促，但笔者还是认真阅读了教材§2.2.2《函数的奇偶性》三遍才开始写教案. 两小时完工后再回看，感觉不自然，重新细看教材后发现教材的思路“日常生活中的对称现象→基本函数图像中类似的对称性→数量关系刻画→定义→例题和说明”不自然，特别是对难点“如何用数量关系来刻画函数图像的对称性”的突破显得混乱. 先由图像感知（教材旁注中还插图折纸演示），下面又由特值举例说明，似乎不符合认知规律. “应该先由特值感知到结论，再从图像进行一般说明才对啊！”抱着疑问，笔者又翻开了人教版教材，果然是先从列表画图中发现了数量关系f（-2）=4=f（2）……再由两个特例y=x2，y=x得到了偶函数的定义. 整个流程比苏教版自然流畅，更符合高一新生的学情，因此笔者设计了问题3和问题4. 另一方面，苏教版的情境引入又给人美感，所以设计了问题1和问题2. 但万没想到的是这两个自认为精彩的设计成了评委的争议！
3. 评价点评
评委意见分为两类，一类认为：问题设计别致，整堂课由问题驱动，自然生成了几乎所有结论，学生积极思考，课堂结构完整（也是唯一一位把例题教学和课堂小结都完成的选手）. 另一类认为：选手是通过两个特例y=x2，y=x来说明“一般地，对任意一个图像关于y轴对称的函数都有f（-x）=f（x）”这个数量关系的，仅凭归纳猜想得出结论，是科学性错误，应该一票否决；另外，在引入时，选手说“图像关于y轴对称的函数叫偶函数，图像关于原点对称的函数叫奇函数”，如此给函数的奇偶性下定义，书上没有，欠妥. 这节课成为争议，真是毁誉参半.
[?] 思考
1. 陷入困惑
反思自己：为了使课堂引入出彩，努力抓住学生的注意力，设计了问题1和问题2，结果得到了一个“不符合教材说法，欠妥”的评论；为了使课堂自然流畅，从学情出发，设计了问题3和问题4，结果弄出了“科学性错误”. 那么试问什么课堂才是精彩？四平八稳、千篇一律、因循守旧的教学设计才可能是优质课吗？难道创新就会导致错误？想了几天还是不能接受，大胆提出一个猜想：也许自己是对的呢？事实上也只是一部分评委反对而已！
2. 深入思考
“图像关于y轴对称的函数叫偶函数，图像关于原点对称的函数叫奇函数”这个说法是否“欠妥”？教材定义：如果对于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数. 这个定义是怎么来的？不还是根据函数图像关于y轴对称，用数量关系刻画得出的吗？根本原因还是函数图像关于y轴对称. 事实上，“函数图像关于y轴对称”的充要条件就是“对于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x）”. 因此，笔者认为这个说法完全正确，没有“欠妥”！
通过两个特例y=x2，y=x来说明“一般地，对任意一个图像关于y轴对称的函数都有f（-x）=f（x）”这个数量关系，用归纳猜想得出的结论，是科学性错误？言外之意，就是必须严格论证了. 让我们看看教材：“观察函数f（x）=x2的图像，我们发现，函数f（x）=x2的图像关于y轴对称（并附了一张图）”“f（-2）=4=f（2）……实际上，对于函数f（x）=x2定义域R内任意一个x，都有f（-x）=x2=f（x）. 这时我们称函数f（x）=x2为偶函数”. 教师用书旁注：“用数学符号语言刻画函数图像的对称性，可以先从点的对称出发（如点（x0，y0）关于y轴的对称点是（-x0，y0），关于原点的对称点是（-x0，-y0）等），再过渡到点在函数图像上y0如何用x0表示，最后归纳到奇偶性的概念.”这也只是教学参考，不是教学必须遵循的标准答案（唯一的教学方案）. 更何况无论是苏教版还是人教版教材，正文根本没有给出任何严格的论证，都是由特例得到偶函数的定义的. 教材中类似的论述还有很多，比如复合函数求导法则，这些都是科学性错误吗？肯定不是，只是针对学生目前知识不够的权宜之计，是基于学情的不得已. 这种教学处理方法最多只是“有待商讨”，谈不上“科学性错误”.
现在就商讨要不要给出严格论证呢？初中数学教材中将“轴对称图形”描述为“沿某一直线翻折后与其另一部分完全重合的图形”[3]，事实上，苏教版教材旁注了一张折纸演示函数f（x）=x2图像的对称性，知道高一新生对对称性仅仅是“描述性定义”[3]的认知水平. 要实现教师用书的教学建议，也许对重点高中学生还行，但是对于这个普通高中的学生是不合适的，设计的问题3和问题4正是基于学情的. 事实表明，基于人教版教材的问题3和问题4使课堂自然流畅. 相反，采用教师用书建议的课堂是低效的，没有有效突破教学的重点、难点. 因此，笔者的教学处理方案不仅没有科学性错误，反而是明智的选择.
3. 在路上
经常听同行说，每个人的教学观念和经验不同，对同一个教学内容往往有不同的教学处理方法，也没有唯一正确的教学方案可言. 这句话在很大程度上是对的，笔者也一直在学习各种不同的教学处理方案和评价，在对比中汲取营养不断成长. 笔者尊重与自己相左的教学处理方案和评价，因为他们给了笔者思考；也非常欣赏与笔者相同的教学处理方案和评价，因为他们给了笔者鼓舞. 但是，每当笔者对比各种不同的教学处理方案和评价时，常常发现总是有一种比较好的，并不是样样都行. 到底哪种方案最好？需要我们不断地追问、思考、钻研和学习. 让我们一起走在专业成长的路上……
参考文献：
[1] 普通高中课程标准试验教科书数学必修1（人教版）. 人民教育出版社，2013.
[2] 普通高中课程标准试验教科书数学必修1（苏教版）教师用书. 人民教育出版社，2015.
[3] 陈姝妮. 由图形的对称性讲函数的“奇偶性”一课[J].上海中学数学，2012，（12）：9-11.