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电路一方面以部分电路欧姆定律为中心，包括六个基本物理量（电压、电流、电阻、电功、电功率、电热），三条定律（部分电路欧姆定律、电阻定律和焦耳定律），以及若干基本规律（串、并联电路特点等）；另一方面是以闭合电路欧姆定律为中心，讨论电动势的概念，闭合电路中的电流、路端电压以及閉合电路中能量的转化；其三，对不同类别的电路进行比较，即恒定电流电路、变压器电路、远距离输电电路.
电磁感应要求充分理解法拉第电磁感应定律的内容，熟练两种形式电动势的计算（动生电动势和感生电动势），能综合力学、电学相关知识处理常见的电磁导轨问题和图象问题.
一、含电容电路的分析
例1 如图1的电路中，电源的电动势[E=]10V，内阻忽略不计，电阻的阻值分别为[R1=R2=20Ω]，[R3=10Ω]，滑动变阻器的最大阻值[R=40Ω]，电容器的电容[C=20μF.]
图1
（1）将滑动触头[P]置于[ab]中点，合上电键[S]，待电路稳定后再断开[S]. 求断开[S]的瞬间，通过[R1]的电流大小和方向；
（2）闭合电键[S]，当滑动触头[P]缓慢地从[a]点移到[b]点的过程中，通过导线[BM]的电量为多大？
解析 （1）电键[S]闭合，电路稳定时
[BD]两点的电势差[UBD=R2ER1+R2]
[PD]两点的电势差[UPD=RPbER+R3]
则[BP]两点的电势差 [UBP=UBC-UPC]
故断开[S]的瞬间，通过[R1]的电流方向向左；
电流大小[I1=UBPR1+R3+RaP]
代入数据，解得[I1=0.02]A
（2）[P]在[a]点时，有[UPD=RabER+R3]
[UBP=UBD-UPD]
电容器[M]板带电量[QM=CUBP]
[P]在[b]点时，有[UBP=UBD]
电容器[M]板带电量[QM=CUBP]
通过导线[BM]的电量[Q=QM-QM]
由以上各式，解得[Q=1.6×10-4]C
点拨 对闭合电路中的含有电容器的问题，要注意分清电路是稳定状态还是动态变化的. 当电路处于稳定状态时，电容器相当于断路，可以从等效电路中去掉，求电容器的带电量时再接回到电路中. 当电路处于动态变化时，在含有电容器的支路会出现瞬时的充放电电流，如果要计算该电流，就要知道电容器变化前后的带电量，求出[△Q]，则充放电流为[I=△Q△t].
二、电磁感应中的双导体棒问题
例2 如图2，间距为[l]、电阻不计的两根平行金属导轨[MN、PQ]（足够长）被固定在同一水平面内，质量为[m]、电阻均为[R]的两根相同导体棒[a、b]垂直于导轨放在导轨上. 一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与[a]棒相连，其下端悬挂一个质量为[M]的物体[C]，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度为[B]的匀强磁场中. 开始时使[a、b、C]都处于静止状态. 现释放[C]，经过时间[t，C]的速度为[v1]，[b]的速度为[v2]，不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为[g]. 求：
图2
（1）[t]时刻[C]的加速度；
（2）[t]时刻[a、b]与导轨所组成的闭合回路消耗的总功率.
解析 （1）画出等效电路图3，两棒切割磁场均产生电动势，相当于反接，根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势
[E=ΔΦΔt=Ea-Eb=Bl(v1-v2)]
回路中的感应电流为[I=E2R]，对[a]，据牛顿第二定律，有[FT-BIl=ma]
图3
对[C]，据牛顿第二定律，有[Mg-FT=Ma]
联立以上各式，得[a=2MgR-B2l2(v1-v2)2R(M+m)] ，说明[C]与[a]一起匀加速运行.
（2）解法一：从图中可以看出，单位时间内，安培力对[a]棒做负功，把[C]物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为[b]棒的动能，所以[t]时刻回路消耗的总功率等于[a]棒克服安培力做功的功率，即[P=BIlv1=B2l2(v1-v2)v12R]
解法二：[a]棒可等效为发电机，[b]棒可等效为电动机
[A]棒的感应电动势为[E=Blv1]，闭合回路的总电功率为[P=EaI]，联立解得
[P=B2l2(v1-v2)v12R]
解法三：闭合电路消耗的热功率为
[P热=E22R=B2l2(v1-v2)22R]
[B]棒的机械功率为[P机=BIl⋅v2=B2l2(v1-v2)v22R]
故回路消耗的总电功率为
[P=P热+P机=B2l2(v1-v2)v12R]
点拨 安培力对[a]棒做负功，产生的电能[E电=-WF安a]，同时对[b]棒做正功，产生的动能[Ek=WF安b]，由于[xa>xb]，则[E电>Ek]，多余的即为电路中焦耳热. 此双杆模型如果撤除[C]物体拉动，给[a]棒初速度使之运行，则与在光滑水平面上子弹打击木块模型有类似性. 由于子弹的位移大，摩擦力对子弹做的负功多，子弹减少的动能就多，木块的位移小，摩擦力对木块做的正功就少，获得的动能也少. 系统减少的一部分机械能即转化为内能，即系统能量守恒，动量也守恒.
三、导体框中的能量问题
例3 如图4，两平行光滑的金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨足够长，间距为[l]且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为[α]. 条形匀强磁场的宽度为[d]，磁感应强度为[B]、方向与导轨平面垂直. 长度为[2d]的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为[m]，置于导轨上. 导体棒中通以大小恒为[I]的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）. 线框的边长为[d(d [绝缘杆][导体棒][线框]
图4
（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热[Q]；
（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间[t]；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离[xm].
解析 （1）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为[W]，从图5中甲至乙位置，由动能定理，有[mgsinα⋅4d+W-BIld=0]
导线框上的安培力做功全部转化为电能，最后在框上变为内能，有[Q=-W]
解得[Q=4mgdsinα-BIld]
甲 乙 丙 丁
图5
（2）设线框刚离开磁场下边界（图5中丙位置）时的速度为[v]，则接着向下运动[2d]（图中乙位置）静止，导线框上的安培力做功为0. 对装置，由动能定理，有
[mgsinα⋅2d-BIld=0-12mv2]
[v=2(BIld-2mgdsinα)m]
装置在磁场中运动时受到的合力 [∑F=mgsinα-F安]，其中[F安]是导体棒受力，为变力，线框第一次穿越磁场区域所需的时间[t]，有
感应电流[I′=ER]，安培力
[F安=BI′d=BERd=BΔΦRΔtd=BB2d2Rtd=B22d3Rt]
从最初静止开始，在线框第一次穿越磁场的时间内，从图中位置甲至位置丙，设沿斜面向下为正，由动量定理，有[（mgsinα-F安）t=mv-0]
解得[t=2m(BIld-2mgdsinα)mgsinα+2B2d3mgsinα⋅R]
（3）经过足够长的时间后，线框在磁场下边界与最大距离[xm]之间往复运动，即5图中位置丙至丁之间. 由动能定理，有
[mgsinα⋅xm-BIld-(2d-xm)=0]
解得[xm=BIldBIl-mgsinα]
点拨 此题涉及过程、状态很多，要辨别清楚. 尤其要充分理解“经过足够长时间后”的含意，对全过程做出完整的分析，同时要画好草图，并在草图上准确标明条件，列出符合题意的原始表达式.
[【考点专练·必考5.1】]
1. 美国科学家Willard S. Boyle与George E. Snith 因电荷耦合器件(CCD)的重要发明获得2009年度诺贝尔物理学奖. CCD是将光学量转变成电学量的传感器. 下列器件可作为传感器的有（ ）
A. 发光二极管 B. 热敏电阻
C. 霍尔元件 D. 干电池
2. 如图6，[E]为内阻不能忽略的电池，[R1]、[R2]、[R3]为定值电阻，[S0]、[S]为开关，V与A分别为电压表与电流表. 初始时[S0]与[S]均闭合，现将[S]断开，则（ ）
[A] [V]
图6
A. V的读数变大，A的读数变小
B. V的读数变大，A的读数变大
C. V的读数变小，A的读数变小
D. V的读数变小，A的读数变大
3. 如图7的电路，滑动变阻器的触头[P]向[c]移动时，则（ ）
[A1] [A2] [V1] [V2] [V3]
图7
A. 通过滑动变阻器的电流变小
B. 电压表[V1] 的示数增大
C. 电流表[A1] 的示数增大
D. 电阻[R2]消耗的电功率增大
4. 电饭锅工作时有两种状态:一种是锅内水烧干前的加热状态，另一种是锅内水烧干后的保温状态. 图8是电饭锅的电路原理示意图，[S]是用感温材料制造的开关，则（ ）
图8
A. 其中[R2]是供加热用的电阻丝
B. 当开关[S]接通时电饭锅为加热状态，[S]断开时为保温状态
C. 要使[R2]在保温状态时的功率为加热状态时功率的一半，[R1R2]应为2∶1
D. 要使[R2]在保温状态时的功率为加热状态时的一关，[R1R2]应为[(2-1)∶1]
5. 图9是一个电阻暗盒，盒内有三个电阻，[A、B、C、D]分别为四根引线. 现在用多用电表测量电阻得到:[RAD=2Ω]，[RCD=5Ω]，[RAC=3Ω]. 若用导线把[B、D]端连接后，测得[A、C]间电阻[RAC=2Ω]，如果不用导线把[B、D]端连接，则[RBD]的大小为（ ）
图9
A. 4Ω B. 5Ω C. 6Ω D. 9Ω
6. 两个电源[a、b]的伏安特性图线如图10，由图可知（ ）
图10
A. 电源[a]的内电阻较小，电动势较大
B. 电源[a]的内电阻较大，电动势较大
C. 电源[b]的内电阻较小，电动势较小
D. 电源[b]的内电阻较大，电动势较大
7. 图11是对两个电源测电源电动势和内电阻实验的电流和路端电压关系图，则（ ）
图11
A. 当[I1=I2]时，电源电功率[P1=P2]
B. 当[I1=I2]时，外电阻[R1=R2]
C. 当[U1=U2]时，电源输出功率[P出1 D. 当[U1=U2]时，电源内部消耗的电功率[P内1 8. 图12的电路中，电容[C1=C2]，电阻[R1>R2]，电源电动势为[E]，内阻不计，当开关[S]接通时（ ）
图12
A. [C1]的电量增多，[C2]的电量减少
B. [C1]的电量减少，[C2]的电量增多
C. [C1、C2]的电量都增多
D. [C1、C2]的电量都减少
9. 如图13，直线[OAC]为某一直流电源的总功率[P总]随着电流[I]变化的图线，抛物线[OBC]为同一直流电源內部的热功率[Pr]随电流[I]变化的图线，若[A、B]对应的横坐标为2A，则（ ）
[1 2 3 4]
图13
A. 电源电动势为3V，内阻为1Ω
B. 线段[AB]表示的功率为2W
C. 电流为2A时，外电路电阻为0. 5Ω
D. 电流为3A时，外电路电阻为2Ω
10. 图14的电路中，电池的电动势为[E]，内阻为[r]，电阻[R1、R2]和[R3]的阻值都相同. 在电键[S1]处于闭合的状态下，将电键[S2]由位置1切换到位置2，则（ ）
[V]
图14
A. 电压表的示数变大
B. 电池内部消耗的功率变大
C. 电阻[R2]两端的电压变大
D. 电池的效率变大
11. 如图15，在[A、B]两点间接一电动势为4V，内电阻为1Ω的直流电源，电阻[R1、R2、R3]的阻值均为4Ω，电容器[C]的电容为[30μF]，电流表的内阻不计，求:
[A]
图15
（1）电流表的读数;
（2）电容器所带的电量;
（3）断开电源后，通过[R2]的电量.
12. 如图16，[E1=3V]，[r1=0.5Ω]，[R1=R2=5.5Ω]，平行板电容器的两板距离[d=1cm]. 当电键[K]接通时，极板中的一个质量[m=]4×10-3g，电量为[q=]1.0×10-7C的带电微粒恰好处于静止状态. 求：
图16
（1）[K]断开后，微粒向什么方向运动，加速度多大？
（2）若电容为1000pF，[K]断开后，流过[R2]的电荷的电量.
13. 角速度计可测量航天器自转的角速度[ω]，其结构如图17. 当系统绕[OO′]转动时，元件[A]在光滑杆上发生滑动，并输出电压信号成为航天器的制导信号源. 已知[A]的质量为[m]，弹簧的劲度系数为[k]，原长为[L0]，电源电动势为[E]，内阻不计. 滑动变阻器总长为[L]，电阻分布均匀，系统静止时滑动变阻器滑动头[P]在中点，与固定接点[Q]正对，当系统以角速度[ω]转动时，求:
[V][-][+]
图17
（1）弹簧形变量[x]与[ω]的关系式;
（2）电压表的示数[U]与角速度[ω]的函数关系.
14. 如图18，理想变压器原线圈中输入电压[U1]=3300V，副线圈两端电压[U2]=220V，输出端连有完全相同的两个灯泡[L1]和[L2]，绕过铁芯的导线所接的电压表V的示数[U=]2V，求:
[A1] [A2] [V]
图18
（1）原线圈[n1]的匝数；
（2）当开关[S]断开时，表[A2] 的示数[I2=]5A，则表[A1] 的示数[I1]为多少?
（3）当开关[S]闭合时，表[A1] 的示数[I1]等于多少?
15. 一个允许通过最大电流为2A的电源和一个滑线变阻器连接成图19甲的电路，变阻器最大阻值[R0=]22Ω，电源路端电压[U]随外阻[R]变化的规律如图19乙，图中[U=]12V的直线为图线的渐近线. 求：
甲 乙
图19
（1）电源的电动势和内电阻；
（2）[A、B]空载时输出电压的范围；
（3）要保证变阻器的滑片能任意滑动，[A、B]两端所接负载的最小电阻是多大？
[【考点专练·必考5.2】]
1. 了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要. 以下符合事实的是（ ）
A. 焦耳发现了电流热效应的规律
B. 库仑总结出了点电荷间相互作用的规律
C. 楞次发现了电流的磁效应，拉开了研究电与磁相互关系的序幕
D. 牛顿将斜面实验的结论合理外推，间接证明了自由落体运动是匀变速直线运动
2. 如图20，固定的水平长直导线中通有电流[I]，矩形线框与导线在同一竖直平面内，且一边与导线平行. 线框由静止释放，在下落过程中（ ）
图20
A. 穿过线框的磁通量保持不变
B. 线框中感应电流方向保持不变
C. 线框所受安掊力的合力为零
D. 线框的机械能不断增大
3. 电磁轨道炮工作原理如图21. 待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触. 电流[I]从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回. 轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面得磁场（可视为匀强磁场），磁感应强度的大小与[I]成正比. 通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出. 现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍，理论上可采用的方法是（ ）
图21
A. 只将轨道长度[L]变为原来的2倍
B. 只将电流[I]增加至原来的2倍
C. 只将弹体质量减至原来的一半
D. 将弹体质量减至原来的一半，轨道长度[L]变为原来的2倍，其他量不变
4. 正方形闭合导线框处在磁感应强度恒定的匀强磁场中，[C、E、D、]F为线框中的四个顶点，图22甲中的线框绕[E]点转动，图22乙中的线框向右平动，磁场足够大. 则（ ）
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× × × ×
× × × ×] [× × × ×
× × × ×
× × × ×
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甲 乙
图22
A. 圖甲线框中有感应电流产生，[C]点电势比[D]点低
B. 图甲线框中无感应电流产生，[C、D]两点电势相等
C. 图乙线框中有感应电流产生，[C]点电势比[D]点低
D. 图乙线框中无感应电流产生，[C、D]两点电势相等
5. 如图23，水平面内两根光滑的平行金属导轨，左端与电阻[R]相连接，匀强磁场[B]竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直于导轨并与导轨接触良好. 现对金属棒施加一个水平向右的外力[F]，使金属棒从[a]位置由静止开始向右做匀加速运动并依次通过位置[b]和[c]. 若导轨与金属棒的电阻不计，[a]到[b]与[b]到[c]的距离相等，则金属棒（ ）
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× × × × ×
× × × × ×
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图23
A. 通过[b、c]两位置时，电阻[R]的电功率之比为1∶2
B. 通过[b、c]两位置时，外力[F]的大小之比为[1∶2]
C. 在从[a]到[b]与从[b]到[c]的两个过程中，电阻[R]上产生的热量之比为1∶1
D. 在从[a]到[b]与从[b]到[c]的两个过程中，通过金属棒的横截面的电量之比为1∶2
6. 如图24，在匀强磁场中有一个矩形单匝线圈[ABCD]，[AB]边与磁场垂直，[MN]边始终与金属滑环[K]相连，[PQ]边始终与金属滑环[L]相连. 金属滑环[L]、交流电流表A、定值电阻[R]、金属滑环[K]通过导线串联. 使矩形线圈以恒定角速度绕过[BC、AD]中点的轴旋转. 则（ ）
[A]
图24
A. 交流电流表A的示数随时间按余弦规律变化
B. 线圈转动的角速度越大，交流电流表A的示数越小
C. 线圈平面与磁场平行时，流经定值电阻[R]的电流最大
D. 线圈平面与磁场垂直时，流经定值电阻[R]的电流最大
7. 图25甲中理想变压器原、副线圈的匝数之比[n1:n2=5∶1]，电阻[R=]20[Ω]，[L1、L2]为规格相同的两只小灯泡，[S1]为单刀双掷开关. 原线圈接正弦交变电源，输入电压[u]随时间[t]的变化关系如图25乙. 现将[S1]接1，[S2]闭合，此时[L2]正常发光. 则（ ）
[0.01][0.02]
甲 乙
图25
A. 输入电压的表达式[u=][202sin(50πt)V]
B. 只断开[S2]后，[L1、L2]均正常发光
C. 只断开[S2]后，原线圈的输入功率增大
D. 若[S1]换接到2后，[R]消耗的电功率为0.8W
8. 如图26，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计. 匀强磁场与导轨平面垂直. 阻值为[R]的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触. [t=0]时，将开关[S]由1掷到2. [q、i、v]和[a]分别表示电容器所带的电荷量、导体棒中的电流、导体棒的速度和加速度. 以下图象正确的是（ ）
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图26
[A B C D]
9. 如图27，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计. 两质量、长度均相同的导体棒[c]、[d]，置于边界水平的匀强磁场上方同一高度[h]处. 磁场宽为3[h]，方向与导轨平面垂直. 先由静止释放[c]，[c]刚进入磁场即匀速运动，此时再由静止释放[d]，两导体棒与导轨始终保持良好接触. 用[ac]表示[c]的加速度，[Ekd]表示[d]的动能，[xc]、[xd]分别表示[c]、[d]相对释放点的位移. 以下图象正确的是（ ）
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图27
[A B][C D]
10. 如图28，足够长的[U]型光滑金属导轨平面与水平面成[θ]（[0＜θ＜90°]），其中[MN]与[PQ]平行且间距为[L]，导轨平面与磁感应强度为[B]的匀强磁场垂直，导轨电阻不计. 金属棒[ab]由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，[ab]棒接入电路的电阻为[R]，当流过[ab]棒某一横截面的电量为[q]时，棒的速度大小为[v]，则金属棒[ab]在这一过程中（ ）
图28
A. 平均速度的大小为[12v]
B. 下滑位移的大小为[qRBL]
C. 产生的焦耳热为[qBLv]
D. 受到的最大安培力的大小为[B2L2vRsinθ]
11. 图29甲为一理想变压器，[ab]为原线圈，[ce]为副线圈，[d]为副线圈引出的一个接头. 原线圈输入正弦式交变电压的[uab-t]图象如图29乙. 若只在[ce]间接一只[Rce=]400Ω的电阻，或只在[de]间接一只[Rde=]225Ω的电阻，两种情况下电阻消耗的功率均为80W.
[0.01][0.02]
甲 乙
图29
（1）写出原线圈输入电压瞬时值[uab]的表达式；
（2）只在[ce]間接400Ω的电阻时，求原线圈中的电流[I1]；
（3）求[ce]和[de]间线圈的匝数比[ncende].
12. 如图30，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距[L=]1m. 导轨平面与水平面成[θ＝37°]，下端连接阻值为[R]的电阻. 匀强磁场方向垂直于导轨平面向上，磁感应强度为[B=0].4T. 质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直且保持良好接触，它们间的动摩擦因数为[μ=]0.25. 金属棒沿导轨由静止开始下滑，当下滑速度达到稳定时，速度大小为10m/s. 取[g]＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8. 求：
图30
（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；
（2）金属棒下滑速度达到稳定时电阻[R]消耗的功率；
（3）电阻[R]的阻值.
13. 如图31，[ab]和[cd]是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，[MN]和[MN]是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为[m]和[2m]. 竖直向上的外力[F]作用在杆[MN]上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触； 两杆的总电阻为[R]，导轨间距为[l]. 整个装置处在磁感应强度为[B]的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直. 导轨电阻可忽略，重力加速度为[g]. 在[t=0]时刻将细线烧断，保持[F]不变，金属杆和导轨始终接触良好. 求：
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图31
（1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；
（2）两杆分别达到的最大速度.
14. 如图32，矩形单匝导线框[abcd]竖直放置，其下方有一磁感应强度为[B]的有界匀强磁场区域，该区域的上边界[PP′]水平，并与线框的[ab]边平行，磁场方向与线框平面垂直. 已知线框[ab]边长为[L1]，[ad]边长为[L2]，线框质量为[m]，总电阻为[R]. 现无初速地释放线框，在下落过程中线框所在平面始终与磁场垂直，且[ab]边始终与[PP′]平行. 重力加速度为[g]. 若线框恰好匀速进入磁场，求：
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图32
（1）[dc]边刚进入磁场时，线框受安培力的大小；
（2）[dc]边刚进入磁场时，线框速度的大小；
（3）在线框从开始下落到[ab]边刚进入磁场的过程中，重力做的功.
15. 磁悬浮列车动力原理如图33，在水平地面上放有两根平行直导轨，导轨间存在着等距离的正方形匀强磁场[B1]和[B2]，有[B1=B2=1T]，方向相反. 导轨间距[L=]0.4m，其上放有金属框[abcd]，电阻[R=]2Ω. 当磁场[B1]、[B2]同时以[v=]5m/s的速度向右匀速运动时，求：
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× × ×][· · ·
· · ·
· · ·][· · ·
· · ·
· · ·][· · ·
· · ·
· · ·]
图33
（1）如果导轨和金属框均光滑，金属框对地是否运动?若不运动，说明理由；若运动，原因是什么，运动性质如何?
（2）如果金属框运动中所受到的阻力恒为其对地速度的[K]倍，且[K=]0.18，它所能达到的最大速度[vm]；
（3）如果金属框要维持（2）中的最大速度运动，它每秒钟要消耗多少磁场能?
电磁感应要求充分理解法拉第电磁感应定律的内容，熟练两种形式电动势的计算（动生电动势和感生电动势），能综合力学、电学相关知识处理常见的电磁导轨问题和图象问题.
一、含电容电路的分析
例1 如图1的电路中，电源的电动势[E=]10V，内阻忽略不计，电阻的阻值分别为[R1=R2=20Ω]，[R3=10Ω]，滑动变阻器的最大阻值[R=40Ω]，电容器的电容[C=20μF.]
图1
（1）将滑动触头[P]置于[ab]中点，合上电键[S]，待电路稳定后再断开[S]. 求断开[S]的瞬间，通过[R1]的电流大小和方向；
（2）闭合电键[S]，当滑动触头[P]缓慢地从[a]点移到[b]点的过程中，通过导线[BM]的电量为多大？
解析 （1）电键[S]闭合，电路稳定时
[BD]两点的电势差[UBD=R2ER1+R2]
[PD]两点的电势差[UPD=RPbER+R3]
则[BP]两点的电势差 [UBP=UBC-UPC]
故断开[S]的瞬间，通过[R1]的电流方向向左；
电流大小[I1=UBPR1+R3+RaP]
代入数据，解得[I1=0.02]A
（2）[P]在[a]点时，有[UPD=RabER+R3]
[UBP=UBD-UPD]
电容器[M]板带电量[QM=CUBP]
[P]在[b]点时，有[UBP=UBD]
电容器[M]板带电量[QM=CUBP]
通过导线[BM]的电量[Q=QM-QM]
由以上各式，解得[Q=1.6×10-4]C
点拨 对闭合电路中的含有电容器的问题，要注意分清电路是稳定状态还是动态变化的. 当电路处于稳定状态时，电容器相当于断路，可以从等效电路中去掉，求电容器的带电量时再接回到电路中. 当电路处于动态变化时，在含有电容器的支路会出现瞬时的充放电电流，如果要计算该电流，就要知道电容器变化前后的带电量，求出[△Q]，则充放电流为[I=△Q△t].
二、电磁感应中的双导体棒问题
例2 如图2，间距为[l]、电阻不计的两根平行金属导轨[MN、PQ]（足够长）被固定在同一水平面内，质量为[m]、电阻均为[R]的两根相同导体棒[a、b]垂直于导轨放在导轨上. 一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与[a]棒相连，其下端悬挂一个质量为[M]的物体[C]，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度为[B]的匀强磁场中. 开始时使[a、b、C]都处于静止状态. 现释放[C]，经过时间[t，C]的速度为[v1]，[b]的速度为[v2]，不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为[g]. 求：
图2
（1）[t]时刻[C]的加速度；
（2）[t]时刻[a、b]与导轨所组成的闭合回路消耗的总功率.
解析 （1）画出等效电路图3，两棒切割磁场均产生电动势，相当于反接，根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势
[E=ΔΦΔt=Ea-Eb=Bl(v1-v2)]
回路中的感应电流为[I=E2R]，对[a]，据牛顿第二定律，有[FT-BIl=ma]
图3
对[C]，据牛顿第二定律，有[Mg-FT=Ma]
联立以上各式，得[a=2MgR-B2l2(v1-v2)2R(M+m)] ，说明[C]与[a]一起匀加速运行.
（2）解法一：从图中可以看出，单位时间内，安培力对[a]棒做负功，把[C]物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为[b]棒的动能，所以[t]时刻回路消耗的总功率等于[a]棒克服安培力做功的功率，即[P=BIlv1=B2l2(v1-v2)v12R]
解法二：[a]棒可等效为发电机，[b]棒可等效为电动机
[A]棒的感应电动势为[E=Blv1]，闭合回路的总电功率为[P=EaI]，联立解得
[P=B2l2(v1-v2)v12R]
解法三：闭合电路消耗的热功率为
[P热=E22R=B2l2(v1-v2)22R]
[B]棒的机械功率为[P机=BIl⋅v2=B2l2(v1-v2)v22R]
故回路消耗的总电功率为
[P=P热+P机=B2l2(v1-v2)v12R]
点拨 安培力对[a]棒做负功，产生的电能[E电=-WF安a]，同时对[b]棒做正功，产生的动能[Ek=WF安b]，由于[xa>xb]，则[E电>Ek]，多余的即为电路中焦耳热. 此双杆模型如果撤除[C]物体拉动，给[a]棒初速度使之运行，则与在光滑水平面上子弹打击木块模型有类似性. 由于子弹的位移大，摩擦力对子弹做的负功多，子弹减少的动能就多，木块的位移小，摩擦力对木块做的正功就少，获得的动能也少. 系统减少的一部分机械能即转化为内能，即系统能量守恒，动量也守恒.
三、导体框中的能量问题
例3 如图4，两平行光滑的金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨足够长，间距为[l]且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为[α]. 条形匀强磁场的宽度为[d]，磁感应强度为[B]、方向与导轨平面垂直. 长度为[2d]的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“
图4
（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热[Q]；
（2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间[t]；
（3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离[xm].
解析 （1）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为[W]，从图5中甲至乙位置，由动能定理，有[mgsinα⋅4d+W-BIld=0]
导线框上的安培力做功全部转化为电能，最后在框上变为内能，有[Q=-W]
解得[Q=4mgdsinα-BIld]
甲 乙 丙 丁
图5
（2）设线框刚离开磁场下边界（图5中丙位置）时的速度为[v]，则接着向下运动[2d]（图中乙位置）静止，导线框上的安培力做功为0. 对装置，由动能定理，有
[mgsinα⋅2d-BIld=0-12mv2]
[v=2(BIld-2mgdsinα)m]
装置在磁场中运动时受到的合力 [∑F=mgsinα-F安]，其中[F安]是导体棒受力，为变力，线框第一次穿越磁场区域所需的时间[t]，有
感应电流[I′=ER]，安培力
[F安=BI′d=BERd=BΔΦRΔtd=BB2d2Rtd=B22d3Rt]
从最初静止开始，在线框第一次穿越磁场的时间内，从图中位置甲至位置丙，设沿斜面向下为正，由动量定理，有[（mgsinα-F安）t=mv-0]
解得[t=2m(BIld-2mgdsinα)mgsinα+2B2d3mgsinα⋅R]
（3）经过足够长的时间后，线框在磁场下边界与最大距离[xm]之间往复运动，即5图中位置丙至丁之间. 由动能定理，有
[mgsinα⋅xm-BIld-(2d-xm)=0]
解得[xm=BIldBIl-mgsinα]
点拨 此题涉及过程、状态很多，要辨别清楚. 尤其要充分理解“经过足够长时间后”的含意，对全过程做出完整的分析，同时要画好草图，并在草图上准确标明条件，列出符合题意的原始表达式.
[【考点专练·必考5.1】]
1. 美国科学家Willard S. Boyle与George E. Snith 因电荷耦合器件(CCD)的重要发明获得2009年度诺贝尔物理学奖. CCD是将光学量转变成电学量的传感器. 下列器件可作为传感器的有（ ）
A. 发光二极管 B. 热敏电阻
C. 霍尔元件 D. 干电池
2. 如图6，[E]为内阻不能忽略的电池，[R1]、[R2]、[R3]为定值电阻，[S0]、[S]为开关，V与A分别为电压表与电流表. 初始时[S0]与[S]均闭合，现将[S]断开，则（ ）
[A] [V]
图6
A. V的读数变大，A的读数变小
B. V的读数变大，A的读数变大
C. V的读数变小，A的读数变小
D. V的读数变小，A的读数变大
3. 如图7的电路，滑动变阻器的触头[P]向[c]移动时，则（ ）
[A1] [A2] [V1] [V2] [V3]
图7
A. 通过滑动变阻器的电流变小
B. 电压表[V1] 的示数增大
C. 电流表[A1] 的示数增大
D. 电阻[R2]消耗的电功率增大
4. 电饭锅工作时有两种状态:一种是锅内水烧干前的加热状态，另一种是锅内水烧干后的保温状态. 图8是电饭锅的电路原理示意图，[S]是用感温材料制造的开关，则（ ）
图8
A. 其中[R2]是供加热用的电阻丝
B. 当开关[S]接通时电饭锅为加热状态，[S]断开时为保温状态
C. 要使[R2]在保温状态时的功率为加热状态时功率的一半，[R1R2]应为2∶1
D. 要使[R2]在保温状态时的功率为加热状态时的一关，[R1R2]应为[(2-1)∶1]
5. 图9是一个电阻暗盒，盒内有三个电阻，[A、B、C、D]分别为四根引线. 现在用多用电表测量电阻得到:[RAD=2Ω]，[RCD=5Ω]，[RAC=3Ω]. 若用导线把[B、D]端连接后，测得[A、C]间电阻[RAC=2Ω]，如果不用导线把[B、D]端连接，则[RBD]的大小为（ ）
图9
A. 4Ω B. 5Ω C. 6Ω D. 9Ω
6. 两个电源[a、b]的伏安特性图线如图10，由图可知（ ）
图10
A. 电源[a]的内电阻较小，电动势较大
B. 电源[a]的内电阻较大，电动势较大
C. 电源[b]的内电阻较小，电动势较小
D. 电源[b]的内电阻较大，电动势较大
7. 图11是对两个电源测电源电动势和内电阻实验的电流和路端电压关系图，则（ ）
图11
A. 当[I1=I2]时，电源电功率[P1=P2]
B. 当[I1=I2]时，外电阻[R1=R2]
C. 当[U1=U2]时，电源输出功率[P出1
图12
A. [C1]的电量增多，[C2]的电量减少
B. [C1]的电量减少，[C2]的电量增多
C. [C1、C2]的电量都增多
D. [C1、C2]的电量都减少
9. 如图13，直线[OAC]为某一直流电源的总功率[P总]随着电流[I]变化的图线，抛物线[OBC]为同一直流电源內部的热功率[Pr]随电流[I]变化的图线，若[A、B]对应的横坐标为2A，则（ ）
[1 2 3 4]
图13
A. 电源电动势为3V，内阻为1Ω
B. 线段[AB]表示的功率为2W
C. 电流为2A时，外电路电阻为0. 5Ω
D. 电流为3A时，外电路电阻为2Ω
10. 图14的电路中，电池的电动势为[E]，内阻为[r]，电阻[R1、R2]和[R3]的阻值都相同. 在电键[S1]处于闭合的状态下，将电键[S2]由位置1切换到位置2，则（ ）
[V]
图14
A. 电压表的示数变大
B. 电池内部消耗的功率变大
C. 电阻[R2]两端的电压变大
D. 电池的效率变大
11. 如图15，在[A、B]两点间接一电动势为4V，内电阻为1Ω的直流电源，电阻[R1、R2、R3]的阻值均为4Ω，电容器[C]的电容为[30μF]，电流表的内阻不计，求:
[A]
图15
（1）电流表的读数;
（2）电容器所带的电量;
（3）断开电源后，通过[R2]的电量.
12. 如图16，[E1=3V]，[r1=0.5Ω]，[R1=R2=5.5Ω]，平行板电容器的两板距离[d=1cm]. 当电键[K]接通时，极板中的一个质量[m=]4×10-3g，电量为[q=]1.0×10-7C的带电微粒恰好处于静止状态. 求：
图16
（1）[K]断开后，微粒向什么方向运动，加速度多大？
（2）若电容为1000pF，[K]断开后，流过[R2]的电荷的电量.
13. 角速度计可测量航天器自转的角速度[ω]，其结构如图17. 当系统绕[OO′]转动时，元件[A]在光滑杆上发生滑动，并输出电压信号成为航天器的制导信号源. 已知[A]的质量为[m]，弹簧的劲度系数为[k]，原长为[L0]，电源电动势为[E]，内阻不计. 滑动变阻器总长为[L]，电阻分布均匀，系统静止时滑动变阻器滑动头[P]在中点，与固定接点[Q]正对，当系统以角速度[ω]转动时，求:
[V][-][+]
图17
（1）弹簧形变量[x]与[ω]的关系式;
（2）电压表的示数[U]与角速度[ω]的函数关系.
14. 如图18，理想变压器原线圈中输入电压[U1]=3300V，副线圈两端电压[U2]=220V，输出端连有完全相同的两个灯泡[L1]和[L2]，绕过铁芯的导线所接的电压表V的示数[U=]2V，求:
[A1] [A2] [V]
图18
（1）原线圈[n1]的匝数；
（2）当开关[S]断开时，表[A2] 的示数[I2=]5A，则表[A1] 的示数[I1]为多少?
（3）当开关[S]闭合时，表[A1] 的示数[I1]等于多少?
15. 一个允许通过最大电流为2A的电源和一个滑线变阻器连接成图19甲的电路，变阻器最大阻值[R0=]22Ω，电源路端电压[U]随外阻[R]变化的规律如图19乙，图中[U=]12V的直线为图线的渐近线. 求：
甲 乙
图19
（1）电源的电动势和内电阻；
（2）[A、B]空载时输出电压的范围；
（3）要保证变阻器的滑片能任意滑动，[A、B]两端所接负载的最小电阻是多大？
[【考点专练·必考5.2】]
1. 了解物理规律的发现过程，学会像科学家那样观察和思考，往往比掌握知识本身更重要. 以下符合事实的是（ ）
A. 焦耳发现了电流热效应的规律
B. 库仑总结出了点电荷间相互作用的规律
C. 楞次发现了电流的磁效应，拉开了研究电与磁相互关系的序幕
D. 牛顿将斜面实验的结论合理外推，间接证明了自由落体运动是匀变速直线运动
2. 如图20，固定的水平长直导线中通有电流[I]，矩形线框与导线在同一竖直平面内，且一边与导线平行. 线框由静止释放，在下落过程中（ ）
图20
A. 穿过线框的磁通量保持不变
B. 线框中感应电流方向保持不变
C. 线框所受安掊力的合力为零
D. 线框的机械能不断增大
3. 电磁轨道炮工作原理如图21. 待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触. 电流[I]从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回. 轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面得磁场（可视为匀强磁场），磁感应强度的大小与[I]成正比. 通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出. 现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍，理论上可采用的方法是（ ）
图21
A. 只将轨道长度[L]变为原来的2倍
B. 只将电流[I]增加至原来的2倍
C. 只将弹体质量减至原来的一半
D. 将弹体质量减至原来的一半，轨道长度[L]变为原来的2倍，其他量不变
4. 正方形闭合导线框处在磁感应强度恒定的匀强磁场中，[C、E、D、]F为线框中的四个顶点，图22甲中的线框绕[E]点转动，图22乙中的线框向右平动，磁场足够大. 则（ ）
[× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×] [× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×]
甲 乙
图22
A. 圖甲线框中有感应电流产生，[C]点电势比[D]点低
B. 图甲线框中无感应电流产生，[C、D]两点电势相等
C. 图乙线框中有感应电流产生，[C]点电势比[D]点低
D. 图乙线框中无感应电流产生，[C、D]两点电势相等
5. 如图23，水平面内两根光滑的平行金属导轨，左端与电阻[R]相连接，匀强磁场[B]竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直于导轨并与导轨接触良好. 现对金属棒施加一个水平向右的外力[F]，使金属棒从[a]位置由静止开始向右做匀加速运动并依次通过位置[b]和[c]. 若导轨与金属棒的电阻不计，[a]到[b]与[b]到[c]的距离相等，则金属棒（ ）
[× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×]
图23
A. 通过[b、c]两位置时，电阻[R]的电功率之比为1∶2
B. 通过[b、c]两位置时，外力[F]的大小之比为[1∶2]
C. 在从[a]到[b]与从[b]到[c]的两个过程中，电阻[R]上产生的热量之比为1∶1
D. 在从[a]到[b]与从[b]到[c]的两个过程中，通过金属棒的横截面的电量之比为1∶2
6. 如图24，在匀强磁场中有一个矩形单匝线圈[ABCD]，[AB]边与磁场垂直，[MN]边始终与金属滑环[K]相连，[PQ]边始终与金属滑环[L]相连. 金属滑环[L]、交流电流表A、定值电阻[R]、金属滑环[K]通过导线串联. 使矩形线圈以恒定角速度绕过[BC、AD]中点的轴旋转. 则（ ）
[A]
图24
A. 交流电流表A的示数随时间按余弦规律变化
B. 线圈转动的角速度越大，交流电流表A的示数越小
C. 线圈平面与磁场平行时，流经定值电阻[R]的电流最大
D. 线圈平面与磁场垂直时，流经定值电阻[R]的电流最大
7. 图25甲中理想变压器原、副线圈的匝数之比[n1:n2=5∶1]，电阻[R=]20[Ω]，[L1、L2]为规格相同的两只小灯泡，[S1]为单刀双掷开关. 原线圈接正弦交变电源，输入电压[u]随时间[t]的变化关系如图25乙. 现将[S1]接1，[S2]闭合，此时[L2]正常发光. 则（ ）
[0.01][0.02]
甲 乙
图25
A. 输入电压的表达式[u=][202sin(50πt)V]
B. 只断开[S2]后，[L1、L2]均正常发光
C. 只断开[S2]后，原线圈的输入功率增大
D. 若[S1]换接到2后，[R]消耗的电功率为0.8W
8. 如图26，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计. 匀强磁场与导轨平面垂直. 阻值为[R]的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触. [t=0]时，将开关[S]由1掷到2. [q、i、v]和[a]分别表示电容器所带的电荷量、导体棒中的电流、导体棒的速度和加速度. 以下图象正确的是（ ）
[× × × ×
× × × ×
× × × ×]
图26
[A B C D]
9. 如图27，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计. 两质量、长度均相同的导体棒[c]、[d]，置于边界水平的匀强磁场上方同一高度[h]处. 磁场宽为3[h]，方向与导轨平面垂直. 先由静止释放[c]，[c]刚进入磁场即匀速运动，此时再由静止释放[d]，两导体棒与导轨始终保持良好接触. 用[ac]表示[c]的加速度，[Ekd]表示[d]的动能，[xc]、[xd]分别表示[c]、[d]相对释放点的位移. 以下图象正确的是（ ）
[× × × ×
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× × × ×]
图27
[A B][C D]
10. 如图28，足够长的[U]型光滑金属导轨平面与水平面成[θ]（[0＜θ＜90°]），其中[MN]与[PQ]平行且间距为[L]，导轨平面与磁感应强度为[B]的匀强磁场垂直，导轨电阻不计. 金属棒[ab]由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，[ab]棒接入电路的电阻为[R]，当流过[ab]棒某一横截面的电量为[q]时，棒的速度大小为[v]，则金属棒[ab]在这一过程中（ ）
图28
A. 平均速度的大小为[12v]
B. 下滑位移的大小为[qRBL]
C. 产生的焦耳热为[qBLv]
D. 受到的最大安培力的大小为[B2L2vRsinθ]
11. 图29甲为一理想变压器，[ab]为原线圈，[ce]为副线圈，[d]为副线圈引出的一个接头. 原线圈输入正弦式交变电压的[uab-t]图象如图29乙. 若只在[ce]间接一只[Rce=]400Ω的电阻，或只在[de]间接一只[Rde=]225Ω的电阻，两种情况下电阻消耗的功率均为80W.
[0.01][0.02]
甲 乙
图29
（1）写出原线圈输入电压瞬时值[uab]的表达式；
（2）只在[ce]間接400Ω的电阻时，求原线圈中的电流[I1]；
（3）求[ce]和[de]间线圈的匝数比[ncende].
12. 如图30，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距[L=]1m. 导轨平面与水平面成[θ＝37°]，下端连接阻值为[R]的电阻. 匀强磁场方向垂直于导轨平面向上，磁感应强度为[B=0].4T. 质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直且保持良好接触，它们间的动摩擦因数为[μ=]0.25. 金属棒沿导轨由静止开始下滑，当下滑速度达到稳定时，速度大小为10m/s. 取[g]＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8. 求：
图30
（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；
（2）金属棒下滑速度达到稳定时电阻[R]消耗的功率；
（3）电阻[R]的阻值.
13. 如图31，[ab]和[cd]是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，[MN]和[MN]是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为[m]和[2m]. 竖直向上的外力[F]作用在杆[MN]上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触； 两杆的总电阻为[R]，导轨间距为[l]. 整个装置处在磁感应强度为[B]的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直. 导轨电阻可忽略，重力加速度为[g]. 在[t=0]时刻将细线烧断，保持[F]不变，金属杆和导轨始终接触良好. 求：
[× × × ×
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图31
（1）细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；
（2）两杆分别达到的最大速度.
14. 如图32，矩形单匝导线框[abcd]竖直放置，其下方有一磁感应强度为[B]的有界匀强磁场区域，该区域的上边界[PP′]水平，并与线框的[ab]边平行，磁场方向与线框平面垂直. 已知线框[ab]边长为[L1]，[ad]边长为[L2]，线框质量为[m]，总电阻为[R]. 现无初速地释放线框，在下落过程中线框所在平面始终与磁场垂直，且[ab]边始终与[PP′]平行. 重力加速度为[g]. 若线框恰好匀速进入磁场，求：
[× × × × ×
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图32
（1）[dc]边刚进入磁场时，线框受安培力的大小；
（2）[dc]边刚进入磁场时，线框速度的大小；
（3）在线框从开始下落到[ab]边刚进入磁场的过程中，重力做的功.
15. 磁悬浮列车动力原理如图33，在水平地面上放有两根平行直导轨，导轨间存在着等距离的正方形匀强磁场[B1]和[B2]，有[B1=B2=1T]，方向相反. 导轨间距[L=]0.4m，其上放有金属框[abcd]，电阻[R=]2Ω. 当磁场[B1]、[B2]同时以[v=]5m/s的速度向右匀速运动时，求：
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图33
（1）如果导轨和金属框均光滑，金属框对地是否运动?若不运动，说明理由；若运动，原因是什么，运动性质如何?
（2）如果金属框运动中所受到的阻力恒为其对地速度的[K]倍，且[K=]0.18，它所能达到的最大速度[vm]；
（3）如果金属框要维持（2）中的最大速度运动，它每秒钟要消耗多少磁场能?