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摘 要：高效课堂，教学高效是所有致力于教育事业的教师毕生追求的目标.课堂的主体是学生，教学的主体仍然是学生.《课标》强调：“不同的人在数学上得到不同的发展.”这表明学生在数学学习活动中的主体地位不可替代.数学教学是师生思维的交往和对话，从信息论的角度看，这种交往和对话就是指数学信息的接受、加工、传递、整合的动态过程.在这一过程中充满了师生之间的数学交流的信息转换，离开了学生的参与，整个过程就难以畅通；从认知心理学来看，建构主义学习观把数学学习看成是在每个学生的不同数学世界里，通过自身的内化、重组、操作和交流、主动进行建构的过程.
关键词：参与； 教学； 高效
高效课堂，教学高效是所有致力于教育事业的教师毕生追求的目标。何为高效课堂？怎样的教学才算得上是高效的教学呢？这方面的论述很多，但有个基本的描述，即：以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果。可以简单的概括成：轻负担，低消耗，全维度，高质量。在此笔者仅以数学教学为例，谈谈一些认识和做法：
课堂的主体是学生，教学的主体仍然是学生。就数学教学而言，《课标》强调：“不同的人在数学上得到不同的发展。”这表明学生在数学学习活动中的主体地位不可替代。高效课堂，教学高效必须依赖学生这一主体的参与。长期以来，“知识本位”的价值取向占据着课堂，注重知识的整体性和完备性，注重教师的讲解，学生处于被动状态，参与度很低，出现低效或负效现象。众所周知，参与是人的一种本能，主动参与、学会思考是现代人不可缺少的，具有可持续发展意义的基本素质。对教学而言，参与是学生在学习中的一种权利。因此，当代教育家十分强调教学中学生的参与，他们指出：21世纪的数学教学更多的是一门学习思考的学问。数学教学是师生思维的交往和对话，从信息论的角度看，这种交往和对话就是指数学信息的接受、加工、传递、整合的动态过程。在这一过程中充满了师生之间的数学交流的信息转换，离开了学生的参与，整个过程就难以畅通；从认知心理学来看，建构主义学习观把数学学习看成是在每个学生的不同数学世界里，通过自身的内化、重组、操作和交流、主动进行建构的过程。这一学习观，要求教师在教学中，树立“以人（生）为本”的思想，让学生积极参与课堂教学，促使学生思维能力的提升；从认知学习论的角度上看，数学学习过程乃是新的学习内容与学生的数学原认知间相互作用，不断形成新的知识结构的过程，这个过程是主体的一种自主行为，而数学又是逻辑严密性强且具有高度抽象性的学科，所以数学教学更需要学生的参与，数学学习更需要学生的积极思考，深入理解。
在数学教学中在如何激发学生参与？
一、培养积极主动的参与意识是前提
具有参与意识是主动参与的前提。学生没有参与意识，就很难有积极的参与行为；参与意识越强，参与行为就越主动。心理学观点认为学生意识的形成是内因作用的结果，而教师作用是参与意识形成的外因，两者都不是被动的。学生参与意识的形成，需要外因不断作用于内因。因此，教师在教学中要认真研究教育教学规律和学生心理发展特点的共性和个性，结合教学内容和真实生动的现实情境，以丰富的活动为载体和表现形式，让学生认识到通过自己参与才能获得知识，所获得的知识，不仅“对学习有用”，而且“对未来有用”，从而较大限度地激发其求知欲望，从根本上解决参与意识的培养问题。
二、创设有吸引力的问题情境是关键
前苏联著名教育家苏霍姆林斯基指出：“如果教师不想法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么不动感情的脑力劳动就成为学生的心理负担。”现代教育理论认为：一个教师的真正本领不是传授知识，而是激发起学生强烈的求知欲望，使他们主动参与到教学的全过程中来，这是课堂教学的理想境界。如果学生能始终积极主动地参与到教师的教学中来，那么这个教师不仅仅是个出色的教师，还是一个伟大的艺术家和卓越的向导。要使课堂教学达到这种理想境界是有一定难度的，数学课堂教学则更困难，因为数学课的特点决定了，内容不可能有惊险离奇的故事情节，也不可能有生动活泼而富有艺术的语言，缺少了引起和激发学习兴趣与求知欲望的两大支柱。所以，教师在教学中就得深挖教材，把知识的产生与发展，知识内部的联系与区别弄通透，明确学生的认识规律和认知特点，找准最近发展区和知识的生长点，精心设计课堂环节，把问题起点放低，坡度放缓，力求使问题串生动活泼，层层递进和深入，多方整合教学资源，把利于课堂教学的资源整合优化，调动各种教学资源的积极因素，服务于课堂使之最优化，发挥教育者自身的特长和优势，或用幽默风趣、情感丰富的语言来感动学生，或以飘逸潇洒、刚劲有力的书写来吸引学生，或用严谨缜密、论据充分的阐释来引领学生。这样时时让学生有惊奇、兴趣、疑问、悬念、新鲜等情绪，处处有成功的体验而又无时不面临新的挑战，使教学过程始终对学生有一种强大的吸引力，吸引他们主动去探索问题，发现问题、解决问题。学生一旦对学习有了兴趣，就会在大脑中形成最优的兴奋中心，促进各种感官处于最活跃的状态，引起对学习的高度注意，为主动参与学习提供了最佳的心理准备。
三、形成能参与、会参与的能力是目标
学生的主观能动作用发挥是否充分是衡量教师主导作用效果的标尺。离开了学生的主动参与，教师的主导也随之失去意义。教师的导不仅要有实践性、科学性和启发性，还要有艺术性，能充分激发学生的积极思维活动。就数学教学而言，由于数学中的概念建立，公式定理本质的揭示和知识的发展和运用，无不集中着人类勇于开拓，积极进取的科学精神，教师要启发引导学生参与到这种创造性的活动中来，达到开发智力，培养能力，提升思维品质，增强创造本领的目的。因此，教师要设计好课堂环节，要引导学生参与到课堂教学的全过程，从而提高学生的参与程度。在数学教学中学生怎样参与？参与的内容又是什么？
1.参与数学概念的建立过程
数学概念是数学的灵魂。由于从降低难度的角度考虑，教材中常常隐去了概念形成的思维过程。这就要求教师要有所挖掘和拓展，引导学生积极参与到寻求概念内涵，把握概念外延的活动中来，弄清概念的产生与成型，延伸与深化，真正把握概念的本质，如教学“同类项”这一概念时，首先用游戏“给动物找家”引入，让学生对“类”有一个感性的认识。将“动物”换成三组式子：-a与3a；2ab2与b2a；-4a2b与a2b，让学生观察、讨论，分别指出这三组式子的异同，导出“所有字母相同，相同字母的指数也相同”的本质；第三步揭示本质，给出定义；第四步通过正反实例准确把握概念外延。在此基础上进一步得出“两相同，两无关，所有常数项都是同类项”的本质概括。学生经历了操作、讨论、归纳后对同类项的实质能很好掌握。 2.参与公式定理的再发现过程
公式定理的教学应是学生再发现的教学。公式的形成过程大致有两种：一种是经过观察、分析，用不完全归纳法、类比等提出猜想，然后从理论上加以证明；另一种是从理论推导得出结论。数学教学中的每个公式定理，都是数学家辛勤探索研究的结晶，他们的探索和研究都蕴藏着极其深刻的数学思维过程，而现行教材中只有公式定理的结论和推导过程，缺少发现的过程，因此，引导学生参与公式、定理的再发现过程，对培养学生的创造能力有着十分重要的意义。例如：平方差公式的推导，将学生分成四组，要求计算：（x+2）（x-2）；（2x+1）（）；（3y-2x）（3y+2x）；（0.5x+0.4y）（0.5x-0.4y）。算出结果后，（1）观察、讨论，得出结果有两项分别是括号里两个式子的平方；（2）提出假设，由（x+2）（x-2）=x2-22得出（a+b）（a-b）=a2-b2的假设；（3）验证结论。用如图所示的平面图形，引导学生发现它们各部分面积与整体面积的关系：
各部分的面积=总面积，利用等积变换让学生领会到以上式子成立的道理。平方差公式的推导过程，学生从计算、猜想、等积变换、割补到发现公式成立，再现了当初数学家们的创造思维过程，激发了学生的创造思维和创新能力。
3.参与问题解决最优化方法的探索
“授人以鱼，不如授人以渔。”解题方法，大凡有两种方式传授给学生：一是教师把解题步骤一步一步地传授给学生；二是引导学生思考、探索、发现解题方法。前者是授人以鱼，只够一餐享用，而后者则是授人以渔（捕鱼的方法）可享用终身。素质教育要求数学教师更多的是教会学生学习，教学会学生思考和探索，对学生来讲也很不欢迎前者，因此，数学教学中的解题，要大力倡导探索，发现解题方法，尽量摒弃灌输式的解题方法。如：一项工程，需要在规定的日期完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定时间3天，现由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？通常，学生都能找到“甲、乙合做的工作量+乙后来独做的工作量=1”的相等关系，设规定日期为x天，列出方程：，求解。此题的解法仅仅停留在这个层面上是很不够的。可以设计以下问题引导学生探索更新更优的解法：（1）在这个问题中谁一直在默默无闻地做呀？做了多少天？（乙一直不停地在做，做的天数正好是规定日期x天），想明白了这个问题就易得方程：，求出其解；（2）本题前半部分说：“乙独做，就要超过3天”而后面却说“也刚好在规定日期内完成”了，这是怎么回事？学生稍加思索就会明白，甲2天的工作量=乙3天的工作量，得出方程。这一解法比前面的解法更简洁易算，对提高解题效率和思维能力的培养都是有好处的。经常引导学生参与这样层层深入，寻求解题捷径的探索，能提高学生的思维水平和创造能力。
4.参与结论的推广研究
推广研究是指对现有结论、定理、公式等的再认识，通过不断探索研究，获得新认识的一种问题研究策略。有人说创造是一个民族的灵魂，如果躺在前人的怀里，只懂得享用前人的成果，而没有一点创造、革新的意识，科学就不会进步，人类文明也就会永远停留在原始时代。正是因为人们不满足于前人的成果，而进行了再认识和推广研究，才有了今天科技发展的日新月异。数学是自然科学的基础，在数学教学中引导学生参与结论的推广研究，不仅利于学生的思维发展，而且利于培养学生的创造意识和创新能力。例如：有n个人见面，每个人都相互握一次手问好，这n个人一共有多少次握手？这n个人中每个人都要握手（n-1）次，而且“你跟我握手，就是我跟你握手”，因此共握手次，这一结论可以作如下的推广：（1）n条直线相交（如图1），交点最多有个；（2）直线上有n个点（如图2），则线段的条数为；（3）过一点的n条射线（如图3）所构成的角的个数为。
此外还可以推广到n支球队进行单循环比赛的比赛场数等。这样的研究学生是欢迎的，乐于参与的，也是培养探索精神和创新能力的有效途径和方法。
5.参与知识的辨析和强化
数学知识之间往往有千丝万屡的联系，对一个知识点理解不通透，就会产生连锁反应，使诸多的问题解决受限，对某些知识点理解的偏差或错误，会导致一连串的问题错解。在教学中不仅应加强正面的巩固和强化，还应加强知识、方法的辨析，为错解归因。实践证明对问题错解进行归因和剖析，不仅能促进学生对知识的进一步理解和掌握，还能使思维的深刻性、批判性得到培养。如：已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BE=CE，求证：∠ABE=∠ACE。
证明：∵AD平分∠BAC（ ）
∴∠1=∠2 （ ）第一步
在△ABE与△ACE中
∴≌ 第三步
∴第四步
这一解法对吗？若不正确指出错在第几步？并给出正确的证明；若正确，请在括号内注明根据。
引导学生剖析这一错误解法，认识到错误根源在于对全等三角形判定定理“SAS”
（边角边）理解不到位，未弄清定理中的角必须是两边的夹角所致。其正确的方法应为：“过E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，先证EM=EN，再证△BEM≌△CEN得到∠ABE=∠ACE。”这样学生对“SAS”（边角边）判定定理的理解，比单纯的强调或是一味做正向迁移性练习要深刻得多。在这一过程中学生就不再只是被动做题，而是首先批判地认识错误解法的产生根源，进而作出正确的决策，给出正确的解答，使得学生思维的批判性品质得到发展。
6.参与对问题解决途径和方法的评价
参与问题评价是落实学生主体地位的具体体现。主要有对问题解决的途径和方法的选择的评价，给正确的解法找依据和为错误的解法找原因两种形式。给正确的解法找依据是检查学生知识的储存和提取量的重要手段，也是进一步强化储存和提取的重要途径。在教学中我们经常发现，不少学生对问题的解法只知其然，不知所以然，会解题，却不能说出这样解的道理和依据。产生这种现象，说白了就是对概念、定理、公式等的理解和掌握出了问题，或是概念模糊，或是定理实质不清，或是公式本质把握不够。引导学生参与对问题解法的评价正是纠正这种现象的良策。这种评价体现了从理论到实践，再从实践回到理论的科学研究方法，让学生为自己的解法找到了理论的支撑，对培养学生的科学精神和研究意识是十分有利的。
此外，还应培养学生自觉预习，及时复习，认真小结，整理笔记和归类错题等参与教学的良好习惯。
影响学生的参与的因素很多，学生参与教学的形式和方法也很多，至于高效课堂更是仁者见仁，智者见智，笔者之见仅沧海一粟。总之，在全面实施素质教育的今天，激发学生积极主动参与教学，就是为了提高教学效率，培养学生的学习能力和创造思维能力，这与以培养创造型人才为目的素质教育完全一样。因此，关注学生参与，不仅具有提高数学教学质量的近期作用，而且具有提升学生数学素质远期功效。
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收稿日期：2014-07-08
关键词：参与； 教学； 高效
高效课堂，教学高效是所有致力于教育事业的教师毕生追求的目标。何为高效课堂？怎样的教学才算得上是高效的教学呢？这方面的论述很多，但有个基本的描述，即：以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果。可以简单的概括成：轻负担，低消耗，全维度，高质量。在此笔者仅以数学教学为例，谈谈一些认识和做法：
课堂的主体是学生，教学的主体仍然是学生。就数学教学而言，《课标》强调：“不同的人在数学上得到不同的发展。”这表明学生在数学学习活动中的主体地位不可替代。高效课堂，教学高效必须依赖学生这一主体的参与。长期以来，“知识本位”的价值取向占据着课堂，注重知识的整体性和完备性，注重教师的讲解，学生处于被动状态，参与度很低，出现低效或负效现象。众所周知，参与是人的一种本能，主动参与、学会思考是现代人不可缺少的，具有可持续发展意义的基本素质。对教学而言，参与是学生在学习中的一种权利。因此，当代教育家十分强调教学中学生的参与，他们指出：21世纪的数学教学更多的是一门学习思考的学问。数学教学是师生思维的交往和对话，从信息论的角度看，这种交往和对话就是指数学信息的接受、加工、传递、整合的动态过程。在这一过程中充满了师生之间的数学交流的信息转换，离开了学生的参与，整个过程就难以畅通；从认知心理学来看，建构主义学习观把数学学习看成是在每个学生的不同数学世界里，通过自身的内化、重组、操作和交流、主动进行建构的过程。这一学习观，要求教师在教学中，树立“以人（生）为本”的思想，让学生积极参与课堂教学，促使学生思维能力的提升；从认知学习论的角度上看，数学学习过程乃是新的学习内容与学生的数学原认知间相互作用，不断形成新的知识结构的过程，这个过程是主体的一种自主行为，而数学又是逻辑严密性强且具有高度抽象性的学科，所以数学教学更需要学生的参与，数学学习更需要学生的积极思考，深入理解。
在数学教学中在如何激发学生参与？
一、培养积极主动的参与意识是前提
具有参与意识是主动参与的前提。学生没有参与意识，就很难有积极的参与行为；参与意识越强，参与行为就越主动。心理学观点认为学生意识的形成是内因作用的结果，而教师作用是参与意识形成的外因，两者都不是被动的。学生参与意识的形成，需要外因不断作用于内因。因此，教师在教学中要认真研究教育教学规律和学生心理发展特点的共性和个性，结合教学内容和真实生动的现实情境，以丰富的活动为载体和表现形式，让学生认识到通过自己参与才能获得知识，所获得的知识，不仅“对学习有用”，而且“对未来有用”，从而较大限度地激发其求知欲望，从根本上解决参与意识的培养问题。
二、创设有吸引力的问题情境是关键
前苏联著名教育家苏霍姆林斯基指出：“如果教师不想法使学生产生情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么不动感情的脑力劳动就成为学生的心理负担。”现代教育理论认为：一个教师的真正本领不是传授知识，而是激发起学生强烈的求知欲望，使他们主动参与到教学的全过程中来，这是课堂教学的理想境界。如果学生能始终积极主动地参与到教师的教学中来，那么这个教师不仅仅是个出色的教师，还是一个伟大的艺术家和卓越的向导。要使课堂教学达到这种理想境界是有一定难度的，数学课堂教学则更困难，因为数学课的特点决定了，内容不可能有惊险离奇的故事情节，也不可能有生动活泼而富有艺术的语言，缺少了引起和激发学习兴趣与求知欲望的两大支柱。所以，教师在教学中就得深挖教材，把知识的产生与发展，知识内部的联系与区别弄通透，明确学生的认识规律和认知特点，找准最近发展区和知识的生长点，精心设计课堂环节，把问题起点放低，坡度放缓，力求使问题串生动活泼，层层递进和深入，多方整合教学资源，把利于课堂教学的资源整合优化，调动各种教学资源的积极因素，服务于课堂使之最优化，发挥教育者自身的特长和优势，或用幽默风趣、情感丰富的语言来感动学生，或以飘逸潇洒、刚劲有力的书写来吸引学生，或用严谨缜密、论据充分的阐释来引领学生。这样时时让学生有惊奇、兴趣、疑问、悬念、新鲜等情绪，处处有成功的体验而又无时不面临新的挑战，使教学过程始终对学生有一种强大的吸引力，吸引他们主动去探索问题，发现问题、解决问题。学生一旦对学习有了兴趣，就会在大脑中形成最优的兴奋中心，促进各种感官处于最活跃的状态，引起对学习的高度注意，为主动参与学习提供了最佳的心理准备。
三、形成能参与、会参与的能力是目标
学生的主观能动作用发挥是否充分是衡量教师主导作用效果的标尺。离开了学生的主动参与，教师的主导也随之失去意义。教师的导不仅要有实践性、科学性和启发性，还要有艺术性，能充分激发学生的积极思维活动。就数学教学而言，由于数学中的概念建立，公式定理本质的揭示和知识的发展和运用，无不集中着人类勇于开拓，积极进取的科学精神，教师要启发引导学生参与到这种创造性的活动中来，达到开发智力，培养能力，提升思维品质，增强创造本领的目的。因此，教师要设计好课堂环节，要引导学生参与到课堂教学的全过程，从而提高学生的参与程度。在数学教学中学生怎样参与？参与的内容又是什么？
1.参与数学概念的建立过程
数学概念是数学的灵魂。由于从降低难度的角度考虑，教材中常常隐去了概念形成的思维过程。这就要求教师要有所挖掘和拓展，引导学生积极参与到寻求概念内涵，把握概念外延的活动中来，弄清概念的产生与成型，延伸与深化，真正把握概念的本质，如教学“同类项”这一概念时，首先用游戏“给动物找家”引入，让学生对“类”有一个感性的认识。将“动物”换成三组式子：-a与3a；2ab2与b2a；-4a2b与a2b，让学生观察、讨论，分别指出这三组式子的异同，导出“所有字母相同，相同字母的指数也相同”的本质；第三步揭示本质，给出定义；第四步通过正反实例准确把握概念外延。在此基础上进一步得出“两相同，两无关，所有常数项都是同类项”的本质概括。学生经历了操作、讨论、归纳后对同类项的实质能很好掌握。 2.参与公式定理的再发现过程
公式定理的教学应是学生再发现的教学。公式的形成过程大致有两种：一种是经过观察、分析，用不完全归纳法、类比等提出猜想，然后从理论上加以证明；另一种是从理论推导得出结论。数学教学中的每个公式定理，都是数学家辛勤探索研究的结晶，他们的探索和研究都蕴藏着极其深刻的数学思维过程，而现行教材中只有公式定理的结论和推导过程，缺少发现的过程，因此，引导学生参与公式、定理的再发现过程，对培养学生的创造能力有着十分重要的意义。例如：平方差公式的推导，将学生分成四组，要求计算：（x+2）（x-2）；（2x+1）（）；（3y-2x）（3y+2x）；（0.5x+0.4y）（0.5x-0.4y）。算出结果后，（1）观察、讨论，得出结果有两项分别是括号里两个式子的平方；（2）提出假设，由（x+2）（x-2）=x2-22得出（a+b）（a-b）=a2-b2的假设；（3）验证结论。用如图所示的平面图形，引导学生发现它们各部分面积与整体面积的关系：
各部分的面积=总面积，利用等积变换让学生领会到以上式子成立的道理。平方差公式的推导过程，学生从计算、猜想、等积变换、割补到发现公式成立，再现了当初数学家们的创造思维过程，激发了学生的创造思维和创新能力。
3.参与问题解决最优化方法的探索
“授人以鱼，不如授人以渔。”解题方法，大凡有两种方式传授给学生：一是教师把解题步骤一步一步地传授给学生；二是引导学生思考、探索、发现解题方法。前者是授人以鱼，只够一餐享用，而后者则是授人以渔（捕鱼的方法）可享用终身。素质教育要求数学教师更多的是教会学生学习，教学会学生思考和探索，对学生来讲也很不欢迎前者，因此，数学教学中的解题，要大力倡导探索，发现解题方法，尽量摒弃灌输式的解题方法。如：一项工程，需要在规定的日期完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定时间3天，现由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？通常，学生都能找到“甲、乙合做的工作量+乙后来独做的工作量=1”的相等关系，设规定日期为x天，列出方程：，求解。此题的解法仅仅停留在这个层面上是很不够的。可以设计以下问题引导学生探索更新更优的解法：（1）在这个问题中谁一直在默默无闻地做呀？做了多少天？（乙一直不停地在做，做的天数正好是规定日期x天），想明白了这个问题就易得方程：，求出其解；（2）本题前半部分说：“乙独做，就要超过3天”而后面却说“也刚好在规定日期内完成”了，这是怎么回事？学生稍加思索就会明白，甲2天的工作量=乙3天的工作量，得出方程。这一解法比前面的解法更简洁易算，对提高解题效率和思维能力的培养都是有好处的。经常引导学生参与这样层层深入，寻求解题捷径的探索，能提高学生的思维水平和创造能力。
4.参与结论的推广研究
推广研究是指对现有结论、定理、公式等的再认识，通过不断探索研究，获得新认识的一种问题研究策略。有人说创造是一个民族的灵魂，如果躺在前人的怀里，只懂得享用前人的成果，而没有一点创造、革新的意识，科学就不会进步，人类文明也就会永远停留在原始时代。正是因为人们不满足于前人的成果，而进行了再认识和推广研究，才有了今天科技发展的日新月异。数学是自然科学的基础，在数学教学中引导学生参与结论的推广研究，不仅利于学生的思维发展，而且利于培养学生的创造意识和创新能力。例如：有n个人见面，每个人都相互握一次手问好，这n个人一共有多少次握手？这n个人中每个人都要握手（n-1）次，而且“你跟我握手，就是我跟你握手”，因此共握手次，这一结论可以作如下的推广：（1）n条直线相交（如图1），交点最多有个；（2）直线上有n个点（如图2），则线段的条数为；（3）过一点的n条射线（如图3）所构成的角的个数为。
此外还可以推广到n支球队进行单循环比赛的比赛场数等。这样的研究学生是欢迎的，乐于参与的，也是培养探索精神和创新能力的有效途径和方法。
5.参与知识的辨析和强化
数学知识之间往往有千丝万屡的联系，对一个知识点理解不通透，就会产生连锁反应，使诸多的问题解决受限，对某些知识点理解的偏差或错误，会导致一连串的问题错解。在教学中不仅应加强正面的巩固和强化，还应加强知识、方法的辨析，为错解归因。实践证明对问题错解进行归因和剖析，不仅能促进学生对知识的进一步理解和掌握，还能使思维的深刻性、批判性得到培养。如：已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BE=CE，求证：∠ABE=∠ACE。
证明：∵AD平分∠BAC（ ）
∴∠1=∠2 （ ）第一步
在△ABE与△ACE中
∴≌ 第三步
∴第四步
这一解法对吗？若不正确指出错在第几步？并给出正确的证明；若正确，请在括号内注明根据。
引导学生剖析这一错误解法，认识到错误根源在于对全等三角形判定定理“SAS”
（边角边）理解不到位，未弄清定理中的角必须是两边的夹角所致。其正确的方法应为：“过E作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，先证EM=EN，再证△BEM≌△CEN得到∠ABE=∠ACE。”这样学生对“SAS”（边角边）判定定理的理解，比单纯的强调或是一味做正向迁移性练习要深刻得多。在这一过程中学生就不再只是被动做题，而是首先批判地认识错误解法的产生根源，进而作出正确的决策，给出正确的解答，使得学生思维的批判性品质得到发展。
6.参与对问题解决途径和方法的评价
参与问题评价是落实学生主体地位的具体体现。主要有对问题解决的途径和方法的选择的评价，给正确的解法找依据和为错误的解法找原因两种形式。给正确的解法找依据是检查学生知识的储存和提取量的重要手段，也是进一步强化储存和提取的重要途径。在教学中我们经常发现，不少学生对问题的解法只知其然，不知所以然，会解题，却不能说出这样解的道理和依据。产生这种现象，说白了就是对概念、定理、公式等的理解和掌握出了问题，或是概念模糊，或是定理实质不清，或是公式本质把握不够。引导学生参与对问题解法的评价正是纠正这种现象的良策。这种评价体现了从理论到实践，再从实践回到理论的科学研究方法，让学生为自己的解法找到了理论的支撑，对培养学生的科学精神和研究意识是十分有利的。
此外，还应培养学生自觉预习，及时复习，认真小结，整理笔记和归类错题等参与教学的良好习惯。
影响学生的参与的因素很多，学生参与教学的形式和方法也很多，至于高效课堂更是仁者见仁，智者见智，笔者之见仅沧海一粟。总之，在全面实施素质教育的今天，激发学生积极主动参与教学，就是为了提高教学效率，培养学生的学习能力和创造思维能力，这与以培养创造型人才为目的素质教育完全一样。因此，关注学生参与，不仅具有提高数学教学质量的近期作用，而且具有提升学生数学素质远期功效。
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收稿日期：2014-07-08