动点问题中的函数

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   此类问题是涵盖了多个知识点的综合性问题(一般情况有行程问题(路程=速度×时间)、函数问题、解直角三角形问题、面积等),对于初中学生而言,函数问题就很难了,有穿插了那么多的知识点,因此,学生只要见到“动点”二字就产生恐惧,首先从心里上就败下了阵,还怎么谈解决问题呢?在此,针对此类问题谈一谈自己的一点见解:认真审题梳理清楚所涵盖知识点、判断转折点、“动态”问题“静态”思考、构建数学模型、列出分段函数解析式。我们通过下面的例题来作具体讲解、分析:
  



例1:(2018山东潍坊)如图,菱形ABCD的边长是4厘米,

,  动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止,若点P、Q同时出发运动了t秒,记△BPQ的面积为S平方厘米,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是(    )
  解析:因为动点P速度是1厘米/秒,动点Q速度是2厘米/秒,所以点Q速度是点P速度的2倍;又因为菱形ABCD的边长是4厘米,如图1所示:所以可以得出当点P运动到AB中点O时,点Q运动到点C位置,比较可以发现当点P在AO上运动时(点Q在BC上运动),BP和△BPQ的高都在变化;当点P在OB上运动时(点Q在CD上运动),此时BP变化,而△BPQ的高不在变化,就等于菱形ABCD的高,由此可以判断当点P与AB中点O重合(点Q与点C重合)时为△BPQ面积的转折点。转折点判断出来后,我们没有必要考虑P、Q所在运动线段的具体位置,我们大概的取一个点(即转化为定点思考),然后构建数学模型解决问题即可。
  




  如图2:在CD上任取一点Q,过点Q作QM⊥AB于点M,
  


  因为动点P速度是1厘米/秒,动点Q速度是2厘米/秒,所以P、Q在t(0  如图3:在BC上取点C为点Q,过点C作CN⊥AB于点N,因为动点P速度是1厘米/秒,动点Q速度是2厘米/秒,所以P、Q在t(2  


   ,由此我们可以判断这是一个分段函数,结合函数
  知识,其图象是D答案。
  变式:求BP与动点Q移动的轨迹所构成的封闭几何图形面积y与t之间的图象。
  如图2,当点P在AO上运动时,所围成的封闭几何图形是△BPQ,时间 t的范围
  是0  如图4,当点P在OB上运动时,此时点Q运动到了CD上,此时所围成的封闭几何图形为梯形CQPB(过点C作CN⊥AB于点N,则CN是梯形的高);所以由BP和折线BCQ构成的封闭几何图形面积为
  


  当点P运动到B点时,那么点Q運动到点D,此时BP=0.
  


  Y与t的函数图象如右图所示:
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