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刘大鸣：陕西省第9批特级教师。中学数学高级教师，陕西省首批中学数学骨干教师。汉中市第三批有突出贡献的拔尖人才，汉中市第四届名师，汉中市学科带头人，汉中市优秀教师。陕西师范大学基础研究中心研究员。中学生数理化学术委员会专家。先后有2千余篇文章发表在各类杂志上，也曾主编和参编图书20余本。被评为国家级和陕西省数学联赛优秀指导教师。
2014年陕西高考数学理科试题解析
2014陕西高考数学试卷，整体遵循考纲，体现新课标改革精神，考查内容全面，考查方式灵活，在稳定中追求创新，在新而不难中考查能力，命题风格体现了新课标侧重能力考查，鼓励探索创新的特点。整卷来看，前半部分自然平稳，后半部分略显新奇，与去年相比，今年高考试卷整体难度有所降低，有利于平时学习稳打稳扎的同学脱颖而出。
今年的数学试题设计，从“四基”出发，追求简约，抛弃了往年某些试题的“偏、难、怪”现象，试题给人以熟悉感；为考生着想，落实减负，试题给人亲和感，真正体现了关注学生，爱护学生，从学生成长的基点出发设计试题。
2014年陕西高考理科数学试题总体结构稍有改变，虽然仍然是10道选择题+5道填空题+6道大题。但是，往年的三角函数大题没有出现，却出现了三角恒等变换和数列的综合题，而平面向量和线性规划的综合给出了一道大题，放在了18题的位置。压轴题21题依然是函数、导数、不等式。全卷的第10题、第20题、21题是相对较难的题，其中解析几何大题的难度与去年相比稍有降低。
今年高考数学试题，整体上呈现以下特点：
1. 试题整体规范、遵循考纲，体现新课标改革精神。
纵观整套试卷，没有偏题、难题、怪题，依旧着重对基础知识、基本思维方法的考查，题型结构延续以往常规，比如基本初等函数及其图象、简易逻辑、算法与程序框图、复数、排列组合、平面向量，解析几何、数列，立体几何等题型都是考纲范围内的重点，试题的前5个选择题，分别考查了集合的交集，三角函数的周期，定积分计算，程序框图的识别，立几中组合体的体积计算，第7题函数的单调性的判别，第8题的复数命题真假的判断，这些试题很基础常规，可以说，不用动笔心算就可“一望而选”。至于第6题，对概率的计算和选择题的第10题函数解136析式的选择，都附以简约的实际或抽象意义。这些考点都着重考查知识点原理，试卷整体难度稍有降低，尤其是15题的A题，运用柯西不等式求最值，更是考纲明确强调的内容，考查简洁明了。
2. 知识点考查综合性增强。
第8题，再次将复数和命题交汇，综合考查复数概念和四种命题之间的关系。第16题，以等差、等比数列作为条件考查三角恒等变换，以及三角形中边角关系与不等式结合求最值。第17题，通过三视图给定几何体中的线面位置关系和数量关系，考查空间图形特征判断与线面角的计算；第18题，将平面向量与线性规划含蓄的综合。第20题将椭圆与抛物线合在一起考查，特别是第21题函数压轴题，以考生熟悉的函数求导为切入点，进行组题，综合运用了数学归纳法，分来讨论求函数最值、数列求和与特值转换等数学技能，试题的知识点浓度不断增强，把能力的考查推向了高潮。凸显在知识交汇处命制试题的指导思想。
3. 试题情景更贴近生活。
2014陕西高考试题，情景设计生活味浓厚，诸如：第10题飞行器飞行问题，考查对三次函数的理解和应用；第19题耕地种植作物问题，考查对随机变量的理解和应用。这些试题着力考查学生的数学应用意识和能力，而试题选材设计，紧扣高中数学教材核心内容，虽有新意，但学生只要冷静思考，很快就能找到解题思路，避免了往年出现的学生一看就怕，无处下手的窘境。试题呈现设计简单、基础、基本，重视算理，强调思维，体现人文关怀，力求凸现核心内容。
4. 推理论证能力要求步步高。
推理论证梯次增高。陕西数学试题从余弦定理的叙述与证明开始，到2012年对三垂线定理的及其逆定理的变形考查，到去年已经发展到对等比数列前n项和公式的推导，到今年发展到三角恒等变换的简单证明。全卷涉及到证明的试题有第16题的第1问、第17题的证明矩形和第21题的第3问，并且第21题第一问求函数解析式也涉及到了用数学归纳法证明，体现出加强逻辑推理能力的考查。
5.试卷特色鲜明，亮点光彩夺目。
（1）第16题新在将三角恒等变换和数列综合起来考查，与以往对三角函数和数列分别考查方式不同。
（2）第18题破天荒的出现了平面向量的大题，综合考查了向量的坐标运算和线性规划求二元函数的最值，往年平面向量都是附着在其他知识点中综合考查，今年单独成体考查。
（3）第20题圆锥曲线以椭圆和抛物线两个圆锥曲线作为载体，与往年只有一个载体不同。这一变化一方面防止了“回归教材变成死记硬背”的风险，另外一方面加大了知识和方法的覆盖面，突出了主干知识，注意知识之间的综合应用。这些都凸显稳中求变，锐意创新的命题指导思想。
6. 压轴题考点固定、思维灵活。
2011年到2014年导数压轴题的载体分别是对数函数、幂函数、指数函数、对数函数，呈现出一定的规律性。第21题的第一问求N次复合函数表达式，需要用数学归纳法证明。第二问用已知函数大小关系求参数范围的方式考察函数知识的综合应用，导数与函数单调性的关系，和差积商的导数求法，转化与化归的数学思想。第三问函数大小比较进行探索，一题多解，符合压轴题的特色，区分度很大。考生须具备良好的数学基础以及灵活的处理问题方法，才能突破难关，到达胜利彼岸。体现出灵动考素质，选拔真人才的命题指导思想。
综上所述，2014陕西高考数学试题，注重考查考生的个性品质，主要体现在知识组合的多样性上，体现在难度的渐进性上，体现在考生的数学视野及思维习惯上，体现在考生的考试心态上。这些都需要考生具有较强韧的个性支撑，也必将对下一年的高三数学复习提供积极的导向和重要的指导作用。 2015年高考备考复习策略
每年的高考真题，都是一笔宝贵的财富，每一道优秀的高考试题都是命题者灵感与智慧的结晶，善待真题，我们才可以把握高考的脉搏，在复习中多走捷径，少走弯路。2014年陕西高考数学试题，在许多方面给我们提供了有益的借鉴，给高三数学复习指明了新的方向，启发我们要有新的学习和工作思路，妥善处理好教与学中存在的几个矛盾。
1.处理好基础与综合之间的矛盾。
2014年的试题设计符合陕西的考情，有利于广大考生数学水平的正常发挥，为今后高三复课教学起到良好的引导作用。从今年的试卷中不难看出，命题重在考查双基应用，着重依据新教材的知识分布而设置命题，许多考题均能在课本中找到它们的影子，相当数量的考题就是教材中基础知识的组合、加工和深化。所以教材是基础， 是学生智能的生长点，是高考命题的源泉，只有回到对教材的深层理解上，对概念的内涵和外延的理解上，才能提高数学能力，掌握数学思想。
然而高考命题，源于课本而又高于课本。这就要求在复习过程中，不能只停留在课本单一而零散的知识章节上，而应加强对知识的横向联系的认识上，有目的有步骤的强化综合性训练，如同不是只看一条道路，而应看到多条道路形成的网络，即应该高度重视把课本由厚变薄的认识和训练。当然，同时要防止走向偏难怪的不良倾向，千万不要以为“高考以能力立意”，就是要去钻难题、偏题、怪题. 要明确：能力是指思维能力，即对现实生活的观察分析力，创造性的想象能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情景、新问题应变理解能力，其重点仍然是概念和规律的形成过程，而这些往往蕴藏在最简单、最基础的题目之中.一味地钻研综合题、难题，知识的熟练程度达不到，最后又会制约思维的发展和解题能力的提高。
所以，要两相兼顾，要把章节内的基础训练与章节外的综合训练邮寄结合起来，关键是在基础的综合上下功夫。这就需要高三数学教师在教学过程中，既要把学生带进课本，又要使学生走出课本，做好分层级训练。先做章节内的的训练，再做综合性训练，要善于在一个题的基础上，做发散性指导和变式训练，尤其要加强融合知识横向联系的技能训练，如平面向量与线性规划，三视图与线面位置关系，空间角的计算，三角函数与数列、球体与多面体的组合体，具体函数与抽象函数等基础性的综合训练。
2.处理好通性通法与特殊技巧之间的矛盾。
2014陕西高考数学试题。重视高中数学的通性通法，倡导一题多解和多题一解。如第9题，若从平均数和方差的实际意义理解和作用认识来思考，可以得到巧解；而若只满足于基本公式计算，则计算较繁，用时较多。而大多数同学对前者，可能掌握不力。第10题，由于课本中没有明确给出三次函数的概念，有相当一部分同学对其认识模糊，图象生疏，这样就不能快速理解题意，进而运用选择题技巧而得到巧解.
这些都启示我们，在复习中要从头激活已学过的各个知识点，并适当深入一点，要以清晰的线索重新构建合理的知识结构，对含糊不清的地方多一些思考和研究性练习和探究，对产生的错误要究根问底，要反思感悟，回到正确的认知上来。在复习解题时，首先应从基本方法上去探索，而不是死用公式，死记结论；再者，还要思考能否用特殊技巧来完成，要养成多一手准备的解题习惯。 对于每一种方法，要深入思考它的适用范围，思考它的推广发展，尽可能多地找出它在不同模块问题的应用题型，即举一反三。 如分式函数的最值，在函数，数列，圆锥曲线，不等式等模块中就以不同的面目出现，或是恒成立，或是范围、最值等，但实质没有大的改变，解法过程基本相似，但许多学生往往因为一叶障目而顾此失彼，这就是没有处理好通性通法与特殊情景和技巧之间的矛盾。
高中数学学习过程中所接触到的数学思想方法一般分为三类：第一类是用于具体问题模型中的方法，如配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法 、错位相减法、迭代法、割补法、特值法等；第二类则是用于指导解题的逻辑思维方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、归纳法、解析法等；第三类则是在数学学习过程中形成的对于数学解题甚至于对于其它问题的解决都具有宏观指导意义的规律性方法，称为数学思想，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等.复习中要关注它们的应用，细心体会，能把抽象的方法和思想通过具体问题模型化，储存在自己的认知结构里。
3.处理好掌握公式定理与知识产生过程之间的矛盾。
2014年陕西高考试题，重视考查知识的产生过程。如第14题，取材于选修教材2-2的“归纳推理”第一节的例1，将著名的欧拉公式设计为考题，但不是直接考公式，而是让学生体验定理的发现与产生过程，考查了学生探索与发现的精神和归纳推理的能力，可谓一举多得。与直接考定理相比，这一方面要有趣得多，另一方面又能给考生留下深刻的印象，这与平时教学的良好感觉是一致的，这就是给课堂教学提供了可贵的借鉴和警示。再联系到近几年陕西数学试题中，2011年的余弦定理的叙述与证明，2012年的三垂线定理的及其逆定理的变形考查，2013年对等比（差）数列前n项和公式的推导，都是回归课本，但都是回归到知识的产生和形成的过程中去，而不是现搬现用，为回归课本指明了广阔的道路和正确的方向。
在教学过程中，在复习阶段的综合训练中，有相当一部分同学会出现各种意想不到的错误，这正是基础不牢固的表现，而根本原因就是对知识的产生和形成的过程不清楚，甚至张冠李戴、混淆是非所致。因此在教学活动中，既要让学生明确公式定理的结论是重要的，又要让学生充分认识知识的过程是更根本的，也就是最有价值的，要培养学生对知识过程的探索精神和发现的兴趣，为学生学习高一级的知识贮藏潜力。
只有回到知识的形成过程中来，才能从根本上纠正错误，弥补漏洞，而不是把错误简单地归结为粗心大意。认真纠错，积极反思，是复习过程中最为重要的，比多做几个题的价值更大；认真纠错，就能达到稳定发挥，稳步提高。 4.处理好教与学之间的矛盾。
诚然，2014高考，对广大师生会有诸多的启示，但要把一种新的理念付诸实践，也不是轻而易举能完成的。学生是学习和课堂的主体，老师是学习和课堂的主导。在实际教学中，就会产生各种各样的困难，也许有些学生会不习惯，也许课时会紧张，也许训练成绩会不理想。
因此，在高中教学实践中，要树立全程备考的思想认识，在高三复课教学中，要立足于教材，辅之以资料书籍，落实在训练和纠错中。要培养学生做到：熟练掌握基础知识和基本技能，在老师讲解之前进行预习和思考，把课堂接受知识的过程变成思维训练的活动，在课堂上应注意师生的交流，把平时的学习变成师生协作与奋进的快乐旅行；定时作业，有意识地限定时间完成学习任务； 在课外练习中应注意培养良好的作业习惯，不但要做得整体、清洁，培养一种美感，还要有条理，培养逻辑能力，同时作业必须独立完成，以培养一种独立思考的精神，严密思维的能力和正确解题的责任感。
2014年陕西高考数学理科试题逐题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，
则 （ ）
A. [0，1] B.[0，1） C. （0，1] D. （0，1）
答案 B 【命题意图】本题考查集合的概念和运算，意在考查考生求解不等式和进行集合运算的能力。
【解析】 化简集合
【梳理总结】集合代表元素的识别是确定集合关系与运算的关键，常与函数和不等式交汇，一般不具有难度，但易疏忽代表元素，把求函数的定义域、值域或求函数图像的交点相混淆而导致出错.本题给出的两个较为简单的不等式，但对每个集合元素的确定非常关键。
2.函数 的最小正周期是（ ）
A.■ B. π C. 2π D. 4π
答案 B 【命题意图】 本题考查三角类复合函数周期的计算方法，意在考查考生运用公式求解运算的能力.
【解析】由余弦函数的复合函数周期公式得 T=■=π；
【梳理总结】形如 的函数求周期的公式为 ，形如 的函数求周期的公式为
3.定积分 的值为（ ）
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
答案C 【命题意图】本题考查应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的基本方法。
【梳理总结】熟记公式，掌握一些常见函数的导函数和原函数。若函数f（x）的导函数为f'（x），则有
虽然原函数不唯一，但不影响结果。
4.根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（ ）
A.an=2n B.an=2（n-1） C.an=2n D.an=2n-1
案C【命题意图】本题考查对程序框图的功能理解，意在考查考生运用程序框图进行计算和归纳的能力.
【解析1】 特殊化和等比数列定义验证
∵a1=2，a2=4，a3=8，∴an是a1=2，q=2的等比例数列，选C。
【解析2】 注意初始值的特征可知，输出的数列首项为2，把握3个赋值语句ai=2×S，S=ai，i=i+1，∴■=2则输出的数列为首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式an=2n；
【方法技巧】程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算；一种是根据题意补全程序框图.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，认真探究程序运行的过程，通过特值探索可发现结构特征和规律。经过多年的高考，更趋成熟，时常新颖。
5 .已知底面边长为1，侧棱长为■则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A. ■ B. 4π C. 2π D.■
答案D【命题意图】本题考查对简单几何体的理解和计算，要求掌握棱柱与球的组合体中的数量关系，以此考查学生的空间想象能力，而不是单纯的依靠空间向量坐标的计算。
解析：正四棱柱的外接球的直径是其对角线的长，即 2R=■=2，∴r=1，v-■πR3=■π；
【方法技巧】球的内接多面体，可仿照球的内接正方体来思考，即抓住球的直径与多面体的高或其对角线等之间的关系。新课标对简单几何体的要求与传统教材相比，有所降低，但球的组合体却是一个重点，不能忽视。
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A. ■ B.■ C.■ D. ■
答案C 【命题意图】本题考查古典概型和对立事件的计算概率的方法，意在考查考生运用概率的方法解决实际几何问题的能力.
【解析】 5个点中任取2个点有C52=10种方法，而每两点之间的距离小于边长的点必须取中心点和其它4个顶点，有4种方法，于是所求概率P=1-■= ■；
【梳理总结】概率计算关键是依据互斥事件合理分类，同时设计简单可行的计数的方法。
7.下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ） A. f（x）=x ■ B. f（x）=x3 C.f（x）=（■）x D.f（x）=3x
答案D 【命题意图】 本题考查抽象函数的对应法则和函数单调性的应用，意在考查考生运用法则和单调性解决实际问题的能力.
【解析1】 把握和的函数值等于函数值的积的特征，则典型代表函数为指数函数，再由所求函数为增函数，则选D；
【解析2】只有C不是递增函数，对D而言，f（x+y）=3x+y，f（x）·f（y）=3x·3y=3x+y，选D
【梳理总结】抽象函数关键是对对应法则的理解和应用，常常依据法则特殊化处理赋值寻求解题的切入点。 8.原命题为“若Z1，Z2互为共轭复数，则|Z1|=|Z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假
答案B 【命题意图】本题考查复数的概念和四种命题的真假性判断。
【解析1】原命题和逆否名称等介，逆命题和否命题等价
【解析2】 原命题为“若Z1，Z2互为共轭复数，则|Z1|=|Z2|”为真命题，而其逆命题为假命题，利用四种命题的关系可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，选B ，
【梳理总结】陕西复数的考查，连续两年要求较高，2013年是直接判断四个不同意义的命题的真假，而今年又与四种命题结合，说明对于短篇幅的章节，对其学习和教学的高度应充分重视。
9. 设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2， …，10），则y1，y2…，y10的均值和方差分别为（ ）
（A） 1+a，4 （B）1+a，4+a （C） 1，4 （D）1，4+a
答案A 【命题意图】 本题考查变量的线性关系和一组数据的平均数和方差的理解和判断。
【解析1】 对平均数和方差的意义深入理解可巧解。因为yi=xi+a的关系是给每个数据都加上了a，故平均数也增加a，而原来的离散程度应保持不变，即y1，y2…y10的方差不变，故选A。
【解析2】 直接用平均数和方差公式进行计算，由题意知x1+x2+…+x10=10，
，而
则y1，y2…y10 的平均数
而方差为
，故选A
【梳理总结】两种不同的思维方法反应了对均值和方差的不同认识水平，决定着求解的思维长度。
10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
A B
C D
答案A 【命题意图】本题考查对实际问题的理解能力、运用函数知识的能力和图形观察能力，以及选择题技巧的灵活运用能力，理解深刻才能方法灵活。
【解析1】特殊值和特殊点的导数值验证。
【解析2】 利用单调减函数研究导函数的值域求解，由函数图象的变化趋势，三次函数在[-5，5]为减函数，由导数的几何意义，则导函数在区间[-5，5]上函数值均小于或等于0，选择支验证，对A 求导有 ，满足；对B
在区间[-5，5]上函数值域为[-■ ，■] 不满足，对C 不满足，同理对D也不满足，综上选A。
【解析3】由图象确定确定函数的表达式. 由图知三次函数图像过原点，故可设 ，则
由题设有，
故选A
【梳理总结】三次函数是高中阶段新学的一类重要函数，其图像和性质需要利用导数来解决，其导数为二次函数，凸显其在函数学习中的重要枢纽地位，需要熟练掌握。本题通过实际问题，重在考查学生的阅读理解能力和应用能力以及探究问题、解决问题的能力，新而不难。
第二部分（共100分）
二、 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11 已知4a=2，lgx=a，则x=________.
答案■；【命题意图】本题考查指数与对数的基本计算和互化，注意特殊对数式的求值。
【解析】由已知
【梳理总结】指数式与对数式相互关联，要始终利用好它们之间的转换，即 而对数式的化简也是一种重要的计算能力，如 ，换底公式等，还需注意两种特殊对数（常用对数与自然对数）的相应结果。
12若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为_______.
答案 x2+（y-1）2=1 ；
【命题意图】本题考查圆的标准方程和特殊对称性的运用。
【解析】∵点（1，0）关于y=x的对称点（0，1），∴圆心为（0，1），半径为1的标准方程为x2+（y-1）2=1。
【梳理总结】圆的方程有一般与标准之分，要切实把握各自特点。而对称性的特殊情形：点p（a，b）关于x轴，y轴和原点的对称点的坐标分别为（a，-b），（-a，b），（-a，-b），而关于直线y=x的对称点坐标为（b，a），关于直线y=-x的对称点坐标为（-b，-a）等，需要记忆掌握。
13. 设0<θ<■，向量 ，
若a∥b，则tanθ_______。
答案■ ；【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算与三角函数的求值。
【解析】由已知有
又0<θ<■， 。
【梳理总结】 平面向量的坐标可以是任意实数组成，故平面向量与三角函数的结合是自然而常见的，要关注知识之间的横向联系。
14. 观察分析下表中的数据：
多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱锥 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是_______.
答案 F+V-2=E；【命题意图】本题考查对于数字规律归纳推理能力。
【解析】观察每一行中数字的关系：5+6=11，11-9=2；6+6-10=2；6+8-12=2.于是共同规律为 F+V-2=E
【梳理总结】归纳推理是陕西高考着力考查的一项能力，往年是通过代数式，今年晒通过表格。本题直接取材于选修教材2-2的“归纳推理”第一节的例1，将著名的欧拉公式设计为考题进行考查，秉承了多年不变的陕西特色，从证明走向了定理的探索与发现，突出了对知识发生过程的考查。 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则■的最小值为
答案■ 【命题意图】 考查对柯西不等式的理解和求最值的技巧和方法。
【解析】∵a2+b2=5，∴设a=■sinθ，b=■cosθ， 则ma+nb=m■sinθ+n■cosθ=■■sin（θ+φ）=5，∴■sin（θ+φ）=■≤■。
所以，■的最小值是■
【梳理总结】直用柯西不等式求最值简单且避免了繁杂变形，这正是陕西高考不等式考点的新增要求；B（几何证明选做题）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC=2AE，则EF=
答案 3 【命题意图】 本小题主要考查平面几何中圆和相似三角形的性质，图形背景新颖，重点考查考生灵活应用平几知识进行推理和计算能力.
【解析】注意圆内接四边形对角互补的特征可得到∠AEF=∠ACB，∴△ACB相似，∴■=■=■=■，∴EF=3.
【梳理总结】平面几何中圆的有关问题，充分利用圆和相似三角形的有关知识和方法求解；
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点（2，■）到直线ρsin（θ-■）=1的距离是
答案 1 【命题意图】考查把极坐标的点和方程化成直角坐标的点和方程，并计算点到直线的距离的能力。
【解析】∵极坐标点（2，■）对应直角坐标点（■，1），直线ρsin（θ-■）=ρsinθ·■-ρcosθ·■=1即对应■y-x=2，∴点（■，1）到直线x-■y+2=0的距离
d=|■|=1
【梳理总结】把极坐标化成直角坐标，化生为熟，是数学解题方法中熟悉化的要求。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。
（I）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（II）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
【命题意图】 本题主要考查三角形中的三角变换方法，意在考查考生运用三角形中边角互化，以及正余弦定理求解三角形的能力.
【解题思路】 （1） 由等差数列得到三边满足的齐次式，利用正弦定理和互补角的关系，借助三角变换证明恒等式 （2）利用边之间的等比数列关系，结合余弦定理求角，基本不等式求得最值.
【解析】
（1）∵a，b，c成等差，∴2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC.
∵sinB=sin（A+C）.，∴inA+sinC=sin（A+C）
（2）∵a，b，c成等比，∴b2=ac，又cosB=■≥■=■=■
仅当a=c=b时，cosB取最小值■，这时三角形为正三角形。
【梳理总结】三角函数与解三角形是高考的一个重要部分，在客观题和在解答题都有出现，解三角形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等。 常见的三角函数题型有：（1） 三角函数式的求值与化简；（2） 三角函数的图像和性质的综合；（3） 三角函数与平面向量交汇；（4） 三角函数恒等变形，与解三角形、正弦定理、余弦定理的交汇；（5）三角形中的边角互化与数列、不等式的交汇.2014陕西高考此题与往年相比，难度稍高。
17 （本小题满分12分）
四面体ABCD及其三视图如图所示，过被AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（I）证明：四边形EFGH是矩形。
（II）求直线AB与平面EFGH夹角的θ正弦值。
【命题意图】 本题主要考查利用三视图还原空间几何体的几何关系与数量关系，求证空间图形的形状特征与线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力，运用平行、垂直关系的判定与性质进行计算和逻辑推理的能力。
【解题思路】 （1）由三视图得到特殊的四面体：DA，DB，DC两两垂直，进而得到线面垂直，再借助平行关系可证所求。（2）利用空间直角坐标系，向量坐标运算求出线面角；或者做辅助线，由几何法求出线面角。
【解析】
（1）
（2）
【梳理总结】 立体几何寻找解题思路：一是要有转化与化归的意识，即将线线关系、线面关系、面面关系三者之间的问题相互转化，二是要有平面化的思想，即将空间问题利用定义和性质定理转化到某一平面内处理.而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量及其坐标运算，可降低难度。
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上
（1）若■+■+■=■，求OP；
（2）设■=m■+n■（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.
【命题意图】 本题主要考查向量的概念和向量的线性运算以及坐标运算，考查二元变量在约束条件下的最值问题的求解方法。
【解题思路】由向量关系可求出点P的坐标，则可得OP；再由向量关系求m和n，得到m-n的表达式，认识其意义，由线性规划求二元函数式的最值。
解析：（1）
（2）
【梳理总结】借助向量的线性表示和坐标运算可以沟通几个变量之间的关系，目标指引下可得所求向量问题，向量条件下的最值问题，借助向量沟通，化归函数，而二元一次函数通过线性规划求解，凸显向量的工具性和数形结合思想的具体应用，使得向量和线性规划有机地网络交汇，新而不难，值得回味。 19.（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列。
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。
【命题意图】本题考查实际生活中随机事件的理解和随机变量的应用，独立事件求概率及其分布列的计算。
【解题思路】由利润x=产量价格-成本入手，同时注意价格与成本都是随机变量，分别计算可得x的分布列；认识理解n次独立重复试验，易求得概率。
【解析】注意随机变量的意义为利润， 而利润x=产量价格-成本，确定随机变量的取值
（1）
X的分布列如下表：
X 800 2000 4000
P 0.2 0.5 0.3
（2）构建二项分布的模型，确定每一次独立实验的概率。
【梳理总结】 实际生活中的概率问题，关键是要认清随机事件，抓住随机事件之间的关系，选择合理的概率计算方法。本题中要抓住关键字句“作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响”，则思路豁然，运用独立事件概率的乘法公式即可。本题具有浓郁的现实生活气息，是生活数学化的极好典范。
20. （本小题满分13分）
如图，曲线C由上半椭圆C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成，C1，C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为■.
（1） 求a，b的值；
（2） 过点B的直线l与C1，C2分别交于P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.
【命题意图】本题考查圆锥曲线的基本几何性质，待定系数法求解方程的方法，重点考查直线和圆锥曲线位置关系的研究方法。
【解题思路】（1）依据题设和几何量之间的关系构建方程组求解；（2）联立方程组降元化归一元二次方程，利用根与系数之间的关系，借助弦长和题设条件构建方程确定直线方程，注意直线和椭圆相交条件的验证，和直线垂直用向量数量积解决的具体方法运用；
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+1交于点（-1，0），（1，0），∴b=1，又∵■=■，a2=b2+c2∴
（2）
【梳理总结】解析几何大题第（1）问一般考查圆锥曲线的基本知识，常考待定系数法确定方程的方法.第（2）问对不少考生来说，运算量较大，但写出直线与曲线方程联立，写出两根之和与两根之积，这都是常规的方法步骤.直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题已成为高考命题的热点，近两年高考题中经常出现了以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，考查知识的综合运用，而向量的坐标运算在圆锥曲线问题中往往是一个有力的工具，是建立函数、不等式，方程的必须途径 。主要题型：（1）考查解析几何基本知识、方法；（2）向量渗透于圆锥曲线中；（3）求曲线方程或求轨迹；（4）直线与圆锥曲线相交，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题。
21.（本小题满分14分）
设函数 ，其中f'（x）是f（x）的导函数。
（1） ，求gn（x）的表达式。
（2） 若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明。
【命题意图】 本题主要考查函数及其导数的有关运算和归纳猜测函数表达式，函数与不等式综合，求解不等式恒成立下的参数范围问题的求解，构造函数，运用导数探索性质，求解数列求和与不等式问题，意在考查考生全面深入、合理转化，应用导数解决函数综合问题的能力。
【解题思路】 （1）特值计算，不完全归纳法猜测gn（x）的表达式，用数学归纳法证明；（2） 不等式恒成立合理变形转化为函数值满足的关系式，构建新函数，探索其单调，函数观点，借助分离参数化归二次函数区间上的最值或值域求得参数范围。（3）分析比较化归构造函数，利用导数研究其单调性求解。
【解析】
（1）
（2）
（3）
【梳理总结】函数导数解答题的特点往往是起点低、落点高，计算量和思维量都较大，既要有准确细腻的计算，又要有深入的思考、合理的转化，重在考查学生的数学综合素养，其中构造法是重要的技能，而导数是强有力的工具，“掺杂”了很多知识，如不等式的基本性质、不等式恒成立 含参数的不等式如何分类 零点的判定方法等。主要题型：（1）利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；（2）利用导数研究不等式恒成立与证明等问题；（3）运用导数研究函数的图像与零点个数问题。
编辑 张晓楠
2014年陕西高考数学理科试题解析
2014陕西高考数学试卷，整体遵循考纲，体现新课标改革精神，考查内容全面，考查方式灵活，在稳定中追求创新，在新而不难中考查能力，命题风格体现了新课标侧重能力考查，鼓励探索创新的特点。整卷来看，前半部分自然平稳，后半部分略显新奇，与去年相比，今年高考试卷整体难度有所降低，有利于平时学习稳打稳扎的同学脱颖而出。
今年的数学试题设计，从“四基”出发，追求简约，抛弃了往年某些试题的“偏、难、怪”现象，试题给人以熟悉感；为考生着想，落实减负，试题给人亲和感，真正体现了关注学生，爱护学生，从学生成长的基点出发设计试题。
2014年陕西高考理科数学试题总体结构稍有改变，虽然仍然是10道选择题+5道填空题+6道大题。但是，往年的三角函数大题没有出现，却出现了三角恒等变换和数列的综合题，而平面向量和线性规划的综合给出了一道大题，放在了18题的位置。压轴题21题依然是函数、导数、不等式。全卷的第10题、第20题、21题是相对较难的题，其中解析几何大题的难度与去年相比稍有降低。
今年高考数学试题，整体上呈现以下特点：
1. 试题整体规范、遵循考纲，体现新课标改革精神。
纵观整套试卷，没有偏题、难题、怪题，依旧着重对基础知识、基本思维方法的考查，题型结构延续以往常规，比如基本初等函数及其图象、简易逻辑、算法与程序框图、复数、排列组合、平面向量，解析几何、数列，立体几何等题型都是考纲范围内的重点，试题的前5个选择题，分别考查了集合的交集，三角函数的周期，定积分计算，程序框图的识别，立几中组合体的体积计算，第7题函数的单调性的判别，第8题的复数命题真假的判断，这些试题很基础常规，可以说，不用动笔心算就可“一望而选”。至于第6题，对概率的计算和选择题的第10题函数解136析式的选择，都附以简约的实际或抽象意义。这些考点都着重考查知识点原理，试卷整体难度稍有降低，尤其是15题的A题，运用柯西不等式求最值，更是考纲明确强调的内容，考查简洁明了。
2. 知识点考查综合性增强。
第8题，再次将复数和命题交汇，综合考查复数概念和四种命题之间的关系。第16题，以等差、等比数列作为条件考查三角恒等变换，以及三角形中边角关系与不等式结合求最值。第17题，通过三视图给定几何体中的线面位置关系和数量关系，考查空间图形特征判断与线面角的计算；第18题，将平面向量与线性规划含蓄的综合。第20题将椭圆与抛物线合在一起考查，特别是第21题函数压轴题，以考生熟悉的函数求导为切入点，进行组题，综合运用了数学归纳法，分来讨论求函数最值、数列求和与特值转换等数学技能，试题的知识点浓度不断增强，把能力的考查推向了高潮。凸显在知识交汇处命制试题的指导思想。
3. 试题情景更贴近生活。
2014陕西高考试题，情景设计生活味浓厚，诸如：第10题飞行器飞行问题，考查对三次函数的理解和应用；第19题耕地种植作物问题，考查对随机变量的理解和应用。这些试题着力考查学生的数学应用意识和能力，而试题选材设计，紧扣高中数学教材核心内容，虽有新意，但学生只要冷静思考，很快就能找到解题思路，避免了往年出现的学生一看就怕，无处下手的窘境。试题呈现设计简单、基础、基本，重视算理，强调思维，体现人文关怀，力求凸现核心内容。
4. 推理论证能力要求步步高。
推理论证梯次增高。陕西数学试题从余弦定理的叙述与证明开始，到2012年对三垂线定理的及其逆定理的变形考查，到去年已经发展到对等比数列前n项和公式的推导，到今年发展到三角恒等变换的简单证明。全卷涉及到证明的试题有第16题的第1问、第17题的证明矩形和第21题的第3问，并且第21题第一问求函数解析式也涉及到了用数学归纳法证明，体现出加强逻辑推理能力的考查。
5.试卷特色鲜明，亮点光彩夺目。
（1）第16题新在将三角恒等变换和数列综合起来考查，与以往对三角函数和数列分别考查方式不同。
（2）第18题破天荒的出现了平面向量的大题，综合考查了向量的坐标运算和线性规划求二元函数的最值，往年平面向量都是附着在其他知识点中综合考查，今年单独成体考查。
（3）第20题圆锥曲线以椭圆和抛物线两个圆锥曲线作为载体，与往年只有一个载体不同。这一变化一方面防止了“回归教材变成死记硬背”的风险，另外一方面加大了知识和方法的覆盖面，突出了主干知识，注意知识之间的综合应用。这些都凸显稳中求变，锐意创新的命题指导思想。
6. 压轴题考点固定、思维灵活。
2011年到2014年导数压轴题的载体分别是对数函数、幂函数、指数函数、对数函数，呈现出一定的规律性。第21题的第一问求N次复合函数表达式，需要用数学归纳法证明。第二问用已知函数大小关系求参数范围的方式考察函数知识的综合应用，导数与函数单调性的关系，和差积商的导数求法，转化与化归的数学思想。第三问函数大小比较进行探索，一题多解，符合压轴题的特色，区分度很大。考生须具备良好的数学基础以及灵活的处理问题方法，才能突破难关，到达胜利彼岸。体现出灵动考素质，选拔真人才的命题指导思想。
综上所述，2014陕西高考数学试题，注重考查考生的个性品质，主要体现在知识组合的多样性上，体现在难度的渐进性上，体现在考生的数学视野及思维习惯上，体现在考生的考试心态上。这些都需要考生具有较强韧的个性支撑，也必将对下一年的高三数学复习提供积极的导向和重要的指导作用。 2015年高考备考复习策略
每年的高考真题，都是一笔宝贵的财富，每一道优秀的高考试题都是命题者灵感与智慧的结晶，善待真题，我们才可以把握高考的脉搏，在复习中多走捷径，少走弯路。2014年陕西高考数学试题，在许多方面给我们提供了有益的借鉴，给高三数学复习指明了新的方向，启发我们要有新的学习和工作思路，妥善处理好教与学中存在的几个矛盾。
1.处理好基础与综合之间的矛盾。
2014年的试题设计符合陕西的考情，有利于广大考生数学水平的正常发挥，为今后高三复课教学起到良好的引导作用。从今年的试卷中不难看出，命题重在考查双基应用，着重依据新教材的知识分布而设置命题，许多考题均能在课本中找到它们的影子，相当数量的考题就是教材中基础知识的组合、加工和深化。所以教材是基础， 是学生智能的生长点，是高考命题的源泉，只有回到对教材的深层理解上，对概念的内涵和外延的理解上，才能提高数学能力，掌握数学思想。
然而高考命题，源于课本而又高于课本。这就要求在复习过程中，不能只停留在课本单一而零散的知识章节上，而应加强对知识的横向联系的认识上，有目的有步骤的强化综合性训练，如同不是只看一条道路，而应看到多条道路形成的网络，即应该高度重视把课本由厚变薄的认识和训练。当然，同时要防止走向偏难怪的不良倾向，千万不要以为“高考以能力立意”，就是要去钻难题、偏题、怪题. 要明确：能力是指思维能力，即对现实生活的观察分析力，创造性的想象能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情景、新问题应变理解能力，其重点仍然是概念和规律的形成过程，而这些往往蕴藏在最简单、最基础的题目之中.一味地钻研综合题、难题，知识的熟练程度达不到，最后又会制约思维的发展和解题能力的提高。
所以，要两相兼顾，要把章节内的基础训练与章节外的综合训练邮寄结合起来，关键是在基础的综合上下功夫。这就需要高三数学教师在教学过程中，既要把学生带进课本，又要使学生走出课本，做好分层级训练。先做章节内的的训练，再做综合性训练，要善于在一个题的基础上，做发散性指导和变式训练，尤其要加强融合知识横向联系的技能训练，如平面向量与线性规划，三视图与线面位置关系，空间角的计算，三角函数与数列、球体与多面体的组合体，具体函数与抽象函数等基础性的综合训练。
2.处理好通性通法与特殊技巧之间的矛盾。
2014陕西高考数学试题。重视高中数学的通性通法，倡导一题多解和多题一解。如第9题，若从平均数和方差的实际意义理解和作用认识来思考，可以得到巧解；而若只满足于基本公式计算，则计算较繁，用时较多。而大多数同学对前者，可能掌握不力。第10题，由于课本中没有明确给出三次函数的概念，有相当一部分同学对其认识模糊，图象生疏，这样就不能快速理解题意，进而运用选择题技巧而得到巧解.
这些都启示我们，在复习中要从头激活已学过的各个知识点，并适当深入一点，要以清晰的线索重新构建合理的知识结构，对含糊不清的地方多一些思考和研究性练习和探究，对产生的错误要究根问底，要反思感悟，回到正确的认知上来。在复习解题时，首先应从基本方法上去探索，而不是死用公式，死记结论；再者，还要思考能否用特殊技巧来完成，要养成多一手准备的解题习惯。 对于每一种方法，要深入思考它的适用范围，思考它的推广发展，尽可能多地找出它在不同模块问题的应用题型，即举一反三。 如分式函数的最值，在函数，数列，圆锥曲线，不等式等模块中就以不同的面目出现，或是恒成立，或是范围、最值等，但实质没有大的改变，解法过程基本相似，但许多学生往往因为一叶障目而顾此失彼，这就是没有处理好通性通法与特殊情景和技巧之间的矛盾。
高中数学学习过程中所接触到的数学思想方法一般分为三类：第一类是用于具体问题模型中的方法，如配方法、换元法、消元法、待定系数法、判别式法 、错位相减法、迭代法、割补法、特值法等；第二类则是用于指导解题的逻辑思维方法，如综合法、分析法、反证法、类比法、探索法、归纳法、解析法等；第三类则是在数学学习过程中形成的对于数学解题甚至于对于其它问题的解决都具有宏观指导意义的规律性方法，称为数学思想，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等.复习中要关注它们的应用，细心体会，能把抽象的方法和思想通过具体问题模型化，储存在自己的认知结构里。
3.处理好掌握公式定理与知识产生过程之间的矛盾。
2014年陕西高考试题，重视考查知识的产生过程。如第14题，取材于选修教材2-2的“归纳推理”第一节的例1，将著名的欧拉公式设计为考题，但不是直接考公式，而是让学生体验定理的发现与产生过程，考查了学生探索与发现的精神和归纳推理的能力，可谓一举多得。与直接考定理相比，这一方面要有趣得多，另一方面又能给考生留下深刻的印象，这与平时教学的良好感觉是一致的，这就是给课堂教学提供了可贵的借鉴和警示。再联系到近几年陕西数学试题中，2011年的余弦定理的叙述与证明，2012年的三垂线定理的及其逆定理的变形考查，2013年对等比（差）数列前n项和公式的推导，都是回归课本，但都是回归到知识的产生和形成的过程中去，而不是现搬现用，为回归课本指明了广阔的道路和正确的方向。
在教学过程中，在复习阶段的综合训练中，有相当一部分同学会出现各种意想不到的错误，这正是基础不牢固的表现，而根本原因就是对知识的产生和形成的过程不清楚，甚至张冠李戴、混淆是非所致。因此在教学活动中，既要让学生明确公式定理的结论是重要的，又要让学生充分认识知识的过程是更根本的，也就是最有价值的，要培养学生对知识过程的探索精神和发现的兴趣，为学生学习高一级的知识贮藏潜力。
只有回到知识的形成过程中来，才能从根本上纠正错误，弥补漏洞，而不是把错误简单地归结为粗心大意。认真纠错，积极反思，是复习过程中最为重要的，比多做几个题的价值更大；认真纠错，就能达到稳定发挥，稳步提高。 4.处理好教与学之间的矛盾。
诚然，2014高考，对广大师生会有诸多的启示，但要把一种新的理念付诸实践，也不是轻而易举能完成的。学生是学习和课堂的主体，老师是学习和课堂的主导。在实际教学中，就会产生各种各样的困难，也许有些学生会不习惯，也许课时会紧张，也许训练成绩会不理想。
因此，在高中教学实践中，要树立全程备考的思想认识，在高三复课教学中，要立足于教材，辅之以资料书籍，落实在训练和纠错中。要培养学生做到：熟练掌握基础知识和基本技能，在老师讲解之前进行预习和思考，把课堂接受知识的过程变成思维训练的活动，在课堂上应注意师生的交流，把平时的学习变成师生协作与奋进的快乐旅行；定时作业，有意识地限定时间完成学习任务； 在课外练习中应注意培养良好的作业习惯，不但要做得整体、清洁，培养一种美感，还要有条理，培养逻辑能力，同时作业必须独立完成，以培养一种独立思考的精神，严密思维的能力和正确解题的责任感。
2014年陕西高考数学理科试题逐题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，
则 （ ）
A. [0，1] B.[0，1） C. （0，1] D. （0，1）
答案 B 【命题意图】本题考查集合的概念和运算，意在考查考生求解不等式和进行集合运算的能力。
【解析】 化简集合
【梳理总结】集合代表元素的识别是确定集合关系与运算的关键，常与函数和不等式交汇，一般不具有难度，但易疏忽代表元素，把求函数的定义域、值域或求函数图像的交点相混淆而导致出错.本题给出的两个较为简单的不等式，但对每个集合元素的确定非常关键。
2.函数 的最小正周期是（ ）
A.■ B. π C. 2π D. 4π
答案 B 【命题意图】 本题考查三角类复合函数周期的计算方法，意在考查考生运用公式求解运算的能力.
【解析】由余弦函数的复合函数周期公式得 T=■=π；
【梳理总结】形如 的函数求周期的公式为 ，形如 的函数求周期的公式为
3.定积分 的值为（ ）
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
答案C 【命题意图】本题考查应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的基本方法。
【梳理总结】熟记公式，掌握一些常见函数的导函数和原函数。若函数f（x）的导函数为f'（x），则有
虽然原函数不唯一，但不影响结果。
4.根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（ ）
A.an=2n B.an=2（n-1） C.an=2n D.an=2n-1
案C【命题意图】本题考查对程序框图的功能理解，意在考查考生运用程序框图进行计算和归纳的能力.
【解析1】 特殊化和等比数列定义验证
∵a1=2，a2=4，a3=8，∴an是a1=2，q=2的等比例数列，选C。
【解析2】 注意初始值的特征可知，输出的数列首项为2，把握3个赋值语句ai=2×S，S=ai，i=i+1，∴■=2则输出的数列为首项为2，公比为2的等比数列，则通项公式an=2n；
【方法技巧】程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算；一种是根据题意补全程序框图.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，认真探究程序运行的过程，通过特值探索可发现结构特征和规律。经过多年的高考，更趋成熟，时常新颖。
5 .已知底面边长为1，侧棱长为■则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A. ■ B. 4π C. 2π D.■
答案D【命题意图】本题考查对简单几何体的理解和计算，要求掌握棱柱与球的组合体中的数量关系，以此考查学生的空间想象能力，而不是单纯的依靠空间向量坐标的计算。
解析：正四棱柱的外接球的直径是其对角线的长，即 2R=■=2，∴r=1，v-■πR3=■π；
【方法技巧】球的内接多面体，可仿照球的内接正方体来思考，即抓住球的直径与多面体的高或其对角线等之间的关系。新课标对简单几何体的要求与传统教材相比，有所降低，但球的组合体却是一个重点，不能忽视。
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A. ■ B.■ C.■ D. ■
答案C 【命题意图】本题考查古典概型和对立事件的计算概率的方法，意在考查考生运用概率的方法解决实际几何问题的能力.
【解析】 5个点中任取2个点有C52=10种方法，而每两点之间的距离小于边长的点必须取中心点和其它4个顶点，有4种方法，于是所求概率P=1-■= ■；
【梳理总结】概率计算关键是依据互斥事件合理分类，同时设计简单可行的计数的方法。
7.下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（ ） A. f（x）=x ■ B. f（x）=x3 C.f（x）=（■）x D.f（x）=3x
答案D 【命题意图】 本题考查抽象函数的对应法则和函数单调性的应用，意在考查考生运用法则和单调性解决实际问题的能力.
【解析1】 把握和的函数值等于函数值的积的特征，则典型代表函数为指数函数，再由所求函数为增函数，则选D；
【解析2】只有C不是递增函数，对D而言，f（x+y）=3x+y，f（x）·f（y）=3x·3y=3x+y，选D
【梳理总结】抽象函数关键是对对应法则的理解和应用，常常依据法则特殊化处理赋值寻求解题的切入点。 8.原命题为“若Z1，Z2互为共轭复数，则|Z1|=|Z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
（A）真，假，真 （B）假，假，真 （C）真，真，假 （D）假，假，假
答案B 【命题意图】本题考查复数的概念和四种命题的真假性判断。
【解析1】原命题和逆否名称等介，逆命题和否命题等价
【解析2】 原命题为“若Z1，Z2互为共轭复数，则|Z1|=|Z2|”为真命题，而其逆命题为假命题，利用四种命题的关系可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，选B ，
【梳理总结】陕西复数的考查，连续两年要求较高，2013年是直接判断四个不同意义的命题的真假，而今年又与四种命题结合，说明对于短篇幅的章节，对其学习和教学的高度应充分重视。
9. 设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2， …，10），则y1，y2…，y10的均值和方差分别为（ ）
（A） 1+a，4 （B）1+a，4+a （C） 1，4 （D）1，4+a
答案A 【命题意图】 本题考查变量的线性关系和一组数据的平均数和方差的理解和判断。
【解析1】 对平均数和方差的意义深入理解可巧解。因为yi=xi+a的关系是给每个数据都加上了a，故平均数也增加a，而原来的离散程度应保持不变，即y1，y2…y10的方差不变，故选A。
【解析2】 直接用平均数和方差公式进行计算，由题意知x1+x2+…+x10=10，
，而
则y1，y2…y10 的平均数
而方差为
，故选A
【梳理总结】两种不同的思维方法反应了对均值和方差的不同认识水平，决定着求解的思维长度。
10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
A B
C D
答案A 【命题意图】本题考查对实际问题的理解能力、运用函数知识的能力和图形观察能力，以及选择题技巧的灵活运用能力，理解深刻才能方法灵活。
【解析1】特殊值和特殊点的导数值验证。
【解析2】 利用单调减函数研究导函数的值域求解，由函数图象的变化趋势，三次函数在[-5，5]为减函数，由导数的几何意义，则导函数在区间[-5，5]上函数值均小于或等于0，选择支验证，对A 求导有 ，满足；对B
在区间[-5，5]上函数值域为[-■ ，■] 不满足，对C 不满足，同理对D也不满足，综上选A。
【解析3】由图象确定确定函数的表达式. 由图知三次函数图像过原点，故可设 ，则
由题设有，
故选A
【梳理总结】三次函数是高中阶段新学的一类重要函数，其图像和性质需要利用导数来解决，其导数为二次函数，凸显其在函数学习中的重要枢纽地位，需要熟练掌握。本题通过实际问题，重在考查学生的阅读理解能力和应用能力以及探究问题、解决问题的能力，新而不难。
第二部分（共100分）
二、 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11 已知4a=2，lgx=a，则x=________.
答案■；【命题意图】本题考查指数与对数的基本计算和互化，注意特殊对数式的求值。
【解析】由已知
【梳理总结】指数式与对数式相互关联，要始终利用好它们之间的转换，即 而对数式的化简也是一种重要的计算能力，如 ，换底公式等，还需注意两种特殊对数（常用对数与自然对数）的相应结果。
12若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为_______.
答案 x2+（y-1）2=1 ；
【命题意图】本题考查圆的标准方程和特殊对称性的运用。
【解析】∵点（1，0）关于y=x的对称点（0，1），∴圆心为（0，1），半径为1的标准方程为x2+（y-1）2=1。
【梳理总结】圆的方程有一般与标准之分，要切实把握各自特点。而对称性的特殊情形：点p（a，b）关于x轴，y轴和原点的对称点的坐标分别为（a，-b），（-a，b），（-a，-b），而关于直线y=x的对称点坐标为（b，a），关于直线y=-x的对称点坐标为（-b，-a）等，需要记忆掌握。
13. 设0<θ<■，向量 ，
若a∥b，则tanθ_______。
答案■ ；【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算与三角函数的求值。
【解析】由已知有
又0<θ<■， 。
【梳理总结】 平面向量的坐标可以是任意实数组成，故平面向量与三角函数的结合是自然而常见的，要关注知识之间的横向联系。
14. 观察分析下表中的数据：
多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱锥 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是_______.
答案 F+V-2=E；【命题意图】本题考查对于数字规律归纳推理能力。
【解析】观察每一行中数字的关系：5+6=11，11-9=2；6+6-10=2；6+8-12=2.于是共同规律为 F+V-2=E
【梳理总结】归纳推理是陕西高考着力考查的一项能力，往年是通过代数式，今年晒通过表格。本题直接取材于选修教材2-2的“归纳推理”第一节的例1，将著名的欧拉公式设计为考题进行考查，秉承了多年不变的陕西特色，从证明走向了定理的探索与发现，突出了对知识发生过程的考查。 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则■的最小值为
答案■ 【命题意图】 考查对柯西不等式的理解和求最值的技巧和方法。
【解析】∵a2+b2=5，∴设a=■sinθ，b=■cosθ， 则ma+nb=m■sinθ+n■cosθ=■■sin（θ+φ）=5，∴■sin（θ+φ）=■≤■。
所以，■的最小值是■
【梳理总结】直用柯西不等式求最值简单且避免了繁杂变形，这正是陕西高考不等式考点的新增要求；B（几何证明选做题）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC=2AE，则EF=
答案 3 【命题意图】 本小题主要考查平面几何中圆和相似三角形的性质，图形背景新颖，重点考查考生灵活应用平几知识进行推理和计算能力.
【解析】注意圆内接四边形对角互补的特征可得到∠AEF=∠ACB，∴△ACB相似，∴■=■=■=■，∴EF=3.
【梳理总结】平面几何中圆的有关问题，充分利用圆和相似三角形的有关知识和方法求解；
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点（2，■）到直线ρsin（θ-■）=1的距离是
答案 1 【命题意图】考查把极坐标的点和方程化成直角坐标的点和方程，并计算点到直线的距离的能力。
【解析】∵极坐标点（2，■）对应直角坐标点（■，1），直线ρsin（θ-■）=ρsinθ·■-ρcosθ·■=1即对应■y-x=2，∴点（■，1）到直线x-■y+2=0的距离
d=|■|=1
【梳理总结】把极坐标化成直角坐标，化生为熟，是数学解题方法中熟悉化的要求。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. （本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。
（I）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（II）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.
【命题意图】 本题主要考查三角形中的三角变换方法，意在考查考生运用三角形中边角互化，以及正余弦定理求解三角形的能力.
【解题思路】 （1） 由等差数列得到三边满足的齐次式，利用正弦定理和互补角的关系，借助三角变换证明恒等式 （2）利用边之间的等比数列关系，结合余弦定理求角，基本不等式求得最值.
【解析】
（1）∵a，b，c成等差，∴2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC.
∵sinB=sin（A+C）.，∴inA+sinC=sin（A+C）
（2）∵a，b，c成等比，∴b2=ac，又cosB=■≥■=■=■
仅当a=c=b时，cosB取最小值■，这时三角形为正三角形。
【梳理总结】三角函数与解三角形是高考的一个重要部分，在客观题和在解答题都有出现，解三角形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等。 常见的三角函数题型有：（1） 三角函数式的求值与化简；（2） 三角函数的图像和性质的综合；（3） 三角函数与平面向量交汇；（4） 三角函数恒等变形，与解三角形、正弦定理、余弦定理的交汇；（5）三角形中的边角互化与数列、不等式的交汇.2014陕西高考此题与往年相比，难度稍高。
17 （本小题满分12分）
四面体ABCD及其三视图如图所示，过被AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
（I）证明：四边形EFGH是矩形。
（II）求直线AB与平面EFGH夹角的θ正弦值。
【命题意图】 本题主要考查利用三视图还原空间几何体的几何关系与数量关系，求证空间图形的形状特征与线面角的计算，意在考查考生的空间想象能力，运用平行、垂直关系的判定与性质进行计算和逻辑推理的能力。
【解题思路】 （1）由三视图得到特殊的四面体：DA，DB，DC两两垂直，进而得到线面垂直，再借助平行关系可证所求。（2）利用空间直角坐标系，向量坐标运算求出线面角；或者做辅助线，由几何法求出线面角。
【解析】
（1）
（2）
【梳理总结】 立体几何寻找解题思路：一是要有转化与化归的意识，即将线线关系、线面关系、面面关系三者之间的问题相互转化，二是要有平面化的思想，即将空间问题利用定义和性质定理转化到某一平面内处理.而建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量及其坐标运算，可降低难度。
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上
（1）若■+■+■=■，求OP；
（2）设■=m■+n■（m，n∈R），用x，y表示m-n，并求m-n的最大值.
【命题意图】 本题主要考查向量的概念和向量的线性运算以及坐标运算，考查二元变量在约束条件下的最值问题的求解方法。
【解题思路】由向量关系可求出点P的坐标，则可得OP；再由向量关系求m和n，得到m-n的表达式，认识其意义，由线性规划求二元函数式的最值。
解析：（1）
（2）
【梳理总结】借助向量的线性表示和坐标运算可以沟通几个变量之间的关系，目标指引下可得所求向量问题，向量条件下的最值问题，借助向量沟通，化归函数，而二元一次函数通过线性规划求解，凸显向量的工具性和数形结合思想的具体应用，使得向量和线性规划有机地网络交汇，新而不难，值得回味。 19.（本小题满分12分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列。
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。
【命题意图】本题考查实际生活中随机事件的理解和随机变量的应用，独立事件求概率及其分布列的计算。
【解题思路】由利润x=产量价格-成本入手，同时注意价格与成本都是随机变量，分别计算可得x的分布列；认识理解n次独立重复试验，易求得概率。
【解析】注意随机变量的意义为利润， 而利润x=产量价格-成本，确定随机变量的取值
（1）
X的分布列如下表：
X 800 2000 4000
P 0.2 0.5 0.3
（2）构建二项分布的模型，确定每一次独立实验的概率。
【梳理总结】 实际生活中的概率问题，关键是要认清随机事件，抓住随机事件之间的关系，选择合理的概率计算方法。本题中要抓住关键字句“作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响”，则思路豁然，运用独立事件概率的乘法公式即可。本题具有浓郁的现实生活气息，是生活数学化的极好典范。
20. （本小题满分13分）
如图，曲线C由上半椭圆C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C2：y=-x2+1（y≤0）连接而成，C1，C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为■.
（1） 求a，b的值；
（2） 过点B的直线l与C1，C2分别交于P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.
【命题意图】本题考查圆锥曲线的基本几何性质，待定系数法求解方程的方法，重点考查直线和圆锥曲线位置关系的研究方法。
【解题思路】（1）依据题设和几何量之间的关系构建方程组求解；（2）联立方程组降元化归一元二次方程，利用根与系数之间的关系，借助弦长和题设条件构建方程确定直线方程，注意直线和椭圆相交条件的验证，和直线垂直用向量数量积解决的具体方法运用；
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+1交于点（-1，0），（1，0），∴b=1，又∵■=■，a2=b2+c2∴
（2）
【梳理总结】解析几何大题第（1）问一般考查圆锥曲线的基本知识，常考待定系数法确定方程的方法.第（2）问对不少考生来说，运算量较大，但写出直线与曲线方程联立，写出两根之和与两根之积，这都是常规的方法步骤.直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题已成为高考命题的热点，近两年高考题中经常出现了以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，考查知识的综合运用，而向量的坐标运算在圆锥曲线问题中往往是一个有力的工具，是建立函数、不等式，方程的必须途径 。主要题型：（1）考查解析几何基本知识、方法；（2）向量渗透于圆锥曲线中；（3）求曲线方程或求轨迹；（4）直线与圆锥曲线相交，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题。
21.（本小题满分14分）
设函数 ，其中f'（x）是f（x）的导函数。
（1） ，求gn（x）的表达式。
（2） 若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明。
【命题意图】 本题主要考查函数及其导数的有关运算和归纳猜测函数表达式，函数与不等式综合，求解不等式恒成立下的参数范围问题的求解，构造函数，运用导数探索性质，求解数列求和与不等式问题，意在考查考生全面深入、合理转化，应用导数解决函数综合问题的能力。
【解题思路】 （1）特值计算，不完全归纳法猜测gn（x）的表达式，用数学归纳法证明；（2） 不等式恒成立合理变形转化为函数值满足的关系式，构建新函数，探索其单调，函数观点，借助分离参数化归二次函数区间上的最值或值域求得参数范围。（3）分析比较化归构造函数，利用导数研究其单调性求解。
【解析】
（1）
（2）
（3）
【梳理总结】函数导数解答题的特点往往是起点低、落点高，计算量和思维量都较大，既要有准确细腻的计算，又要有深入的思考、合理的转化，重在考查学生的数学综合素养，其中构造法是重要的技能，而导数是强有力的工具，“掺杂”了很多知识，如不等式的基本性质、不等式恒成立 含参数的不等式如何分类 零点的判定方法等。主要题型：（1）利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；（2）利用导数研究不等式恒成立与证明等问题；（3）运用导数研究函数的图像与零点个数问题。
编辑 张晓楠