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[摘 要]计算是小学生的一项基本技能，正因为如此，许多教师认为只要学生会计算就能解决问题，从而忽略了运算意义的讲解，尤其是到了分数的四则运算，照搬照套整数那一套运算方法，已经不合时宜。教师要巧设教学程序，让学生在每一步计算时都能自觉回顾四则运算的意义。
[关键词]计算;四则运算;意义
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）17-0031-02
有一次听课，教师的授课内容是“同分母分数的加减法”，授课教师摒弃分数加减法的原始意义，专门探究算理和计算流程。于是，笔者在期末测验出卷的时候，加入一道特殊题目：
生活垃圾的分类如图所示，问：食物残渣垃圾比危险品垃圾多多少？列式为[310-320]，请说出这个算式的意义。
一、对师生的调查访谈
笔者就学生的作答情况进行统计整理，接受调查的350位学生中，仅有4人的陈述符合要求，其中2人的答案是“两分数之和是[310]，一个分数是[320]，求另一个分数”;另外2人则是从逆运算的角度答题：“一个数与[320]合并起来是[310]，这个数为几？”“从[310]中去掉一部分，还剩[320]，求去掉的是多少？”
采访部分五年级教师得知，在教学“同分母分数加减法”时，五（1）班的教师创设了问题情境，精细讲解分数加减法的意义，但讲到异分母分数加减法时，就没有提及运算意义。其他数学教师则轻描淡写，点到为止，直言相告分数加减法意义与整数加减法意义别无二致。教师普遍认为，这部分知識为非考试内容，课程标准也将四则运算的意义慢慢淡化了，且当处于下游的学生都会熟练应用分数减法时，再来考查学生能否叙述出运算意义是舍本逐末，多此一举。即使学生勉强说清运算意义，也会词不达意，含混不清。对此，笔者拿类似的题目：“有[34]瓶百事可乐，倒出了[14]瓶，还剩多少饮料？”向几位教师请教“[34] - [14]”的意义，五（1）班的教师觉得：剩下的饮料与倒出的饮料的总量是[34]瓶，倒出了[14]瓶可乐，求剩下多少。其他教师的回答与学生的答案大同小异。这确实令人大感意外。
二、课程标准对四则运算的要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“结合生活情境，体会整数加减乘除法的运算意义。”“在计算和应用中，体验什么是互逆运算。”后者看似脱离了四则运算的意义，其实，各种类型的四则运算都是隐藏在互逆运算的关系之中的，应在理解逆运算时揣摩运算意义。譬如，减法和加法互逆，已知两数之和与其中一数，求另一个数用减法，用和值减去已知加数;除法和乘法互逆，已知两因数之乘积，还有其中一个因数，求另一个因数，用乘积除以已知因数。
当学生解决问题时，着重分析已知和未知，然后结合四则运算的意义做出对比判断，筛选符合情境要求的运算进行解答，由此可见，应用中体现了四则运算的意义。运算意义是本源，为了满足学生的成长需要和终身发展，四则运算的意义的教学目标应设定为：能结合现实情境理解和掌握四则运算的意义，能将二者的有机结合做到水乳交融;让学生适当背记一些带有实例背景的运算意义，以助于学生迅速解决问题。
三、对运算意义的深层次理解
何为“意义”？意义涉及深层次的内涵，要弄通绝非易事，因为它是抽象的思想和意识，没有固定的具象。那么，怎么深层次理解运算的意义呢？
其一，通过大量思想载体来印证，让学生通过对这些表象材料的观察、操作、讲解、交流来提取和感知其中蕴含的相似类同的道理。例如，对于分数乘法的意义，可以创设情境：铺设煤气管道，每周铺完全程的[15]，4周能完成全部工程的几分之几？然后，让学生找一找“[14]周完成工程的几分之几”在哪里，类比前一问的做法，用“[15][×][14]”来计算。接着，结合情境推演，引领学生揣摩算法，理解分数乘法运算的意义：在一根木棒上（木棒被分为五节），先涂色表示1周施工的进度，然后让学生解说是怎么确定的，再将涂色部分等分成4小份，取其中1小份，就是[14]周施工的进度。此时，可以说明[14]周铺设管道的几分之几，也就是求[15]的[14]是多少，从而引出“[15][×][14]”的意义。
根据学生讨论的结果，提出问题“[34]周铺设管道多长？”，要求学生先指一指，再交流，尽量将操作过程和思路交代清楚，教师最后概括算式“[15][×][34]”的意义。与此同步推进的是，加大分数乘法意义的测试及应用的练习，传递这样一个强烈信号：计算意义和计算始终是为解决问题服务的，练习量达标后，再在做题时有意识地概括分数乘法的意义就顺理成章了。
其二，越是抽象的东西越是要多方面理解，相互印证，反复验证，才能让意义落地生根。从这点上讲，小数和分数的意义“灌输”仍有存在的必要;虽然第二学段主要看重运算，可是对意义的融会贯通仍然十分重要，应采用有意义的启发式教学方法。而减法、除法运算的表象繁多，有些需要教师讲解，化繁为简。譬如上文中提到的示例，教师不妨截掉“危险品垃圾”那块扇形，叠放到“食物废渣”那块扇形上，启发学生：这样等同于把“食物废渣”这块份额分割成哪两块？经过点拨，学生就会顿悟“[310-320]”的意义：[310]的食物废渣被分成[320]的危险品垃圾和食物废渣比危险品垃圾多出的部分，求多出部分应用减法。
新教材非常注重知识间的脉络结构，精心设计了一些具有启发性的材料，指引学生联通贯穿前后知识，从而实现举一反三、触类旁通。比如，理解分数除法意义时，提示学生依据示意图提问并解答。教师根据学生的陈述，板书：每盒口香糖净重100 g，3盒口香糖净重多少？100[×]3=300（g）。此时，教师不着急让学生改编题目，换成除法计算，而是附加说明：这个算式里的乘积和因数已经全部获知，如果隐去一个因数，则为“（ ）[×]3=300或100[×]（ ）=300”，再要求学生将其编成整数除法应用题。如果计量单位统一换成千克，又该怎么列式？从而引出分数除法，这样分数除法意义就会自然地展现出来。
可以说，学习一类运算，理解运算意义必须放在首位，因为只有对运算意义了如指掌，烂熟于心，才能准确判断什么时候该用这种运算，该怎么用。
（责编 黄春香）
[关键词]计算;四则运算;意义
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）17-0031-02
有一次听课，教师的授课内容是“同分母分数的加减法”，授课教师摒弃分数加减法的原始意义，专门探究算理和计算流程。于是，笔者在期末测验出卷的时候，加入一道特殊题目：
生活垃圾的分类如图所示，问：食物残渣垃圾比危险品垃圾多多少？列式为[310-320]，请说出这个算式的意义。
一、对师生的调查访谈
笔者就学生的作答情况进行统计整理，接受调查的350位学生中，仅有4人的陈述符合要求，其中2人的答案是“两分数之和是[310]，一个分数是[320]，求另一个分数”;另外2人则是从逆运算的角度答题：“一个数与[320]合并起来是[310]，这个数为几？”“从[310]中去掉一部分，还剩[320]，求去掉的是多少？”
采访部分五年级教师得知，在教学“同分母分数加减法”时，五（1）班的教师创设了问题情境，精细讲解分数加减法的意义，但讲到异分母分数加减法时，就没有提及运算意义。其他数学教师则轻描淡写，点到为止，直言相告分数加减法意义与整数加减法意义别无二致。教师普遍认为，这部分知識为非考试内容，课程标准也将四则运算的意义慢慢淡化了，且当处于下游的学生都会熟练应用分数减法时，再来考查学生能否叙述出运算意义是舍本逐末，多此一举。即使学生勉强说清运算意义，也会词不达意，含混不清。对此，笔者拿类似的题目：“有[34]瓶百事可乐，倒出了[14]瓶，还剩多少饮料？”向几位教师请教“[34] - [14]”的意义，五（1）班的教师觉得：剩下的饮料与倒出的饮料的总量是[34]瓶，倒出了[14]瓶可乐，求剩下多少。其他教师的回答与学生的答案大同小异。这确实令人大感意外。
二、课程标准对四则运算的要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“结合生活情境，体会整数加减乘除法的运算意义。”“在计算和应用中，体验什么是互逆运算。”后者看似脱离了四则运算的意义，其实，各种类型的四则运算都是隐藏在互逆运算的关系之中的，应在理解逆运算时揣摩运算意义。譬如，减法和加法互逆，已知两数之和与其中一数，求另一个数用减法，用和值减去已知加数;除法和乘法互逆，已知两因数之乘积，还有其中一个因数，求另一个因数，用乘积除以已知因数。
当学生解决问题时，着重分析已知和未知，然后结合四则运算的意义做出对比判断，筛选符合情境要求的运算进行解答，由此可见，应用中体现了四则运算的意义。运算意义是本源，为了满足学生的成长需要和终身发展，四则运算的意义的教学目标应设定为：能结合现实情境理解和掌握四则运算的意义，能将二者的有机结合做到水乳交融;让学生适当背记一些带有实例背景的运算意义，以助于学生迅速解决问题。
三、对运算意义的深层次理解
何为“意义”？意义涉及深层次的内涵，要弄通绝非易事，因为它是抽象的思想和意识，没有固定的具象。那么，怎么深层次理解运算的意义呢？
其一，通过大量思想载体来印证，让学生通过对这些表象材料的观察、操作、讲解、交流来提取和感知其中蕴含的相似类同的道理。例如，对于分数乘法的意义，可以创设情境：铺设煤气管道，每周铺完全程的[15]，4周能完成全部工程的几分之几？然后，让学生找一找“[14]周完成工程的几分之几”在哪里，类比前一问的做法，用“[15][×][14]”来计算。接着，结合情境推演，引领学生揣摩算法，理解分数乘法运算的意义：在一根木棒上（木棒被分为五节），先涂色表示1周施工的进度，然后让学生解说是怎么确定的，再将涂色部分等分成4小份，取其中1小份，就是[14]周施工的进度。此时，可以说明[14]周铺设管道的几分之几，也就是求[15]的[14]是多少，从而引出“[15][×][14]”的意义。
根据学生讨论的结果，提出问题“[34]周铺设管道多长？”，要求学生先指一指，再交流，尽量将操作过程和思路交代清楚，教师最后概括算式“[15][×][34]”的意义。与此同步推进的是，加大分数乘法意义的测试及应用的练习，传递这样一个强烈信号：计算意义和计算始终是为解决问题服务的，练习量达标后，再在做题时有意识地概括分数乘法的意义就顺理成章了。
其二，越是抽象的东西越是要多方面理解，相互印证，反复验证，才能让意义落地生根。从这点上讲，小数和分数的意义“灌输”仍有存在的必要;虽然第二学段主要看重运算，可是对意义的融会贯通仍然十分重要，应采用有意义的启发式教学方法。而减法、除法运算的表象繁多，有些需要教师讲解，化繁为简。譬如上文中提到的示例，教师不妨截掉“危险品垃圾”那块扇形，叠放到“食物废渣”那块扇形上，启发学生：这样等同于把“食物废渣”这块份额分割成哪两块？经过点拨，学生就会顿悟“[310-320]”的意义：[310]的食物废渣被分成[320]的危险品垃圾和食物废渣比危险品垃圾多出的部分，求多出部分应用减法。
新教材非常注重知识间的脉络结构，精心设计了一些具有启发性的材料，指引学生联通贯穿前后知识，从而实现举一反三、触类旁通。比如，理解分数除法意义时，提示学生依据示意图提问并解答。教师根据学生的陈述，板书：每盒口香糖净重100 g，3盒口香糖净重多少？100[×]3=300（g）。此时，教师不着急让学生改编题目，换成除法计算，而是附加说明：这个算式里的乘积和因数已经全部获知，如果隐去一个因数，则为“（ ）[×]3=300或100[×]（ ）=300”，再要求学生将其编成整数除法应用题。如果计量单位统一换成千克，又该怎么列式？从而引出分数除法，这样分数除法意义就会自然地展现出来。
可以说，学习一类运算，理解运算意义必须放在首位，因为只有对运算意义了如指掌，烂熟于心，才能准确判断什么时候该用这种运算，该怎么用。
（责编 黄春香）