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摘 要：一元二次方程解决实际问题的教学是为了培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。根据问题解决的心理学原理，通过教学让学生学会分析与解决问题，培养他们的数学意识。结合教学实例，从影响数学问题解决的认知心理因素出发，对用一元二次方程解决实际问题的教学作了有益的思考。
关键词：一元二次方程；实际问题；教学思考
新课程改革要求数学教学要面向生活，要关注学生的学习体验，树立他们的数学意识，培养他们在实际应用中运用数学的能力。一元二次方程解应用问题的教学，是对已有知识的巩固，也是继续学习运用二次函数解决实际问题的基础，十分重要。本着教师应该成为教学活动的研究者的思想，就一元二次方程解决实际问题的教学，结合认知心理学的原理，笔者谈谈对此问题的一些思考。
一、数学知识应用于实际问题解决的影响因素
认知心理学家和数学心理学家对应用型数学问题解决的影响因素进行了研究。他们认为解决问题的关键是问题的表征，而表征最重要的是进行问题类型判别。根据认知心理学的研究，影响问题解决的因素有：
1.实际问题的表述方式
认知心理学认为，理解问题模型是把问题中的文字或其他方式的表述翻译成读者的内部表征，这是一个信息转换的过程。因此，文字或图形等表述方式会对问题解决产生影响。教学中，表现为同一个问题采用不同的文字表述，学生的理解程度不一样。这就是说，通过“审题”能否弄清题目意思不仅仅取决于学生能力，同时也取决于问题的文字表达。对于数学应用问题而言，这将直接影响学生对实际问题的认知。
2.问题图式与问题表征
图式是用以表征客观事物及其关系的某种知识或心理结构、组织、框架。图式的功能是信息选择和整合，就数学应用题而言，其影响体现在问题归类、问题表征及问题转化中。图式将对问题的表征进行整合，形成完整的表征。在这个过程中，若原有图式能完全表征实际问题，则图式保持不变，否则便产生认知冲突。通俗地说，学生的问题图式就是以前解决问题的方式方法，通常是教师判定学生基础好不好的依据之一。数学家雅诺夫斯卡娅的名言：“解题最终就是归结为已经解决过的问题。”是对图式在问题解决中作用的最好诠释。
3.问题解决策略
问题解决策略指的是，能使问题产生某些变化并由此提供一定信息的处理、试验或探索。学生的问题解决策略及其选择是影响问题解决的重要因素，其解决效率往往与问题类型与策略的对应关系有关，其选择则与学生的知识经验及认知风格有关。
4.问题解决的监控
问题解决的监控属于元认知的内容。元认知在数学实际应用问题解决中是动态的，起辅助决策作用：对反馈的价值判断决定着是否改变问题表征或解题策略，判定问题是否超过自己能力，以及能力不及的情况下放弃还是求助等一系列问题。此外，个人的知识背景、非智力因素对数学应用题的解决也有很大影响，因篇幅关系，这些因素本文不作探讨。
二、教学思考
根据影响问题解决的相关因素，笔者谈谈对一元二次方程解决实际问题的教学看法。为便于说明，以行程问题为例：甲、乙两地相距8000米，张三、李四两人同时分别从甲、乙两地出发相向而行。张三的速度为每小时5千米，李四在遇到张三后又走了20分钟才到达乙地，求两人从出发到相遇所用的时间。
1.根据学生的思维特点，教会学生合理运用自己的语言表述问题
一元二次方程及其应用是初三年级的学习内容。初三学生形式逻辑思维、辩证逻辑思维、创造性思维均已得到一定发展，但存在差异性。其他思维形式如，动作思维、形象思维仍在他们的思维中发挥一定的作用。根据这些特点，教学时采用学生自己阅读问题、教师启发阅读问题和借助多种思维方式阅读问题等，以达成对实际问题的内化。由于思维发展的个体差异性，教师要照顾不同程度的学生，允许他们用自己的方式表述问题。
2.利用典型例题帮助学生获得新图式，利用变式帮助学生巩固图式
图式在数学应用题方面的一个重要作用就是对问题进行分类解决。这就要求教学中对各类问题的典型形式进行恰当地教学，以帮助学生建立新图式。一元二次方程用于解决实际生活，是教学面向生活的体现，其应用相当广泛。不仅有学生熟悉的行程问题、工程问题、比率问题、浓度问题，以及在几何、物理学中的应用。如上述问题，学生很容易识别出是行程问题，图式识别后自然会联系到时间、路程与速度的关系。但很快会发现与一般的行程问题不同，这就涉及问题表征的变式。若学生发现有多重时间、路程与速度的关系，则新图式可慢慢建立。
3.教学中进行问题解决策略的训练
通用的问题解决策略一般有算法策略和启发式策略，启发式策略又可分为手段目的分析法、逆向反推法、爬山法和类比法。此外还有尝试错误法、整体策略等。各种策略在一元二次方程应用题求解上有自己的表现形式。如，算法策略一般是有明确程序的，在一元二次方程应用题解题时可表现为一般的解题步骤，如审题—假设—列出方程—解方程—答。策略的训练方面，一般可以用技能教学的方式进行训练，形成思维习惯。各种算法可以单独使用，也可以结合使用。此时教师可以引导学生进行一题多解尝试，这样不但开阔了思路，也避免了策略过于单一的问题。教学中还可让学生进行探索，如，用整体策略 逆向反推法或单独运用手段目的分析法。策略的学习和探索有一定难度，教师要做好引导工作。解题策略可以通过教师开设专门的策略训练课。
4.培养学生解决问题时的监控习惯
监控问题解决过程是动态的元认知，是对认知活动的反映和调节，目的在于提高问题解决的有效性和效率。如，在尝试错误策略解决问题时，对错误的监控；在整体策略时对哪些细节该省略的认知监控。课堂教学中培养学生的认知监控习惯可以采用自我提问法，通过学生自我观察、自我监控、自我评价的不断训练，养成监控习惯。也可通过相互提问法，以小组教学的形式进行训练。教师应该进行必要的元认知知识的教学，让学生认识到形成监控习惯的重要性，从而主动训练，运用认知监控。如上述行程问题中，可以让学生练习提问：20分钟是谁走的时间？8000米这个条件有什么用？是谁走了8000米等。通过自我提问这种出声的思维方式，培养学生自我监控的习惯。
三、小结
一元二次方程及其在解决实际问题中的应用是初中数学的重要内容，在解决实际问题中体现了数学教学生活化的倾向。在教学中，要充分体现学生的主体性，重视个别差异。通过实际问题转化为一元二次函数的教学，从问题表征、图式、策略和监控等方面培养学生的能力。
参考文献：
［1］范宏业.基于图式理论的一元二次方程应用题教学研究［D］.华东师范大学，2006：14/15.
［2］苑建广.信息转化：数学问题解决的核心策略［J］.教学与管理，2011（12）：44.
［3］李红.现代心理学［M］.成都：四川出版集团，2010：124.
（作者单位 内蒙古自治区乌兰浩特市第八中学）
关键词：一元二次方程；实际问题；教学思考
新课程改革要求数学教学要面向生活，要关注学生的学习体验，树立他们的数学意识，培养他们在实际应用中运用数学的能力。一元二次方程解应用问题的教学，是对已有知识的巩固，也是继续学习运用二次函数解决实际问题的基础，十分重要。本着教师应该成为教学活动的研究者的思想，就一元二次方程解决实际问题的教学，结合认知心理学的原理，笔者谈谈对此问题的一些思考。
一、数学知识应用于实际问题解决的影响因素
认知心理学家和数学心理学家对应用型数学问题解决的影响因素进行了研究。他们认为解决问题的关键是问题的表征，而表征最重要的是进行问题类型判别。根据认知心理学的研究，影响问题解决的因素有：
1.实际问题的表述方式
认知心理学认为，理解问题模型是把问题中的文字或其他方式的表述翻译成读者的内部表征，这是一个信息转换的过程。因此，文字或图形等表述方式会对问题解决产生影响。教学中，表现为同一个问题采用不同的文字表述，学生的理解程度不一样。这就是说，通过“审题”能否弄清题目意思不仅仅取决于学生能力，同时也取决于问题的文字表达。对于数学应用问题而言，这将直接影响学生对实际问题的认知。
2.问题图式与问题表征
图式是用以表征客观事物及其关系的某种知识或心理结构、组织、框架。图式的功能是信息选择和整合，就数学应用题而言，其影响体现在问题归类、问题表征及问题转化中。图式将对问题的表征进行整合，形成完整的表征。在这个过程中，若原有图式能完全表征实际问题，则图式保持不变，否则便产生认知冲突。通俗地说，学生的问题图式就是以前解决问题的方式方法，通常是教师判定学生基础好不好的依据之一。数学家雅诺夫斯卡娅的名言：“解题最终就是归结为已经解决过的问题。”是对图式在问题解决中作用的最好诠释。
3.问题解决策略
问题解决策略指的是，能使问题产生某些变化并由此提供一定信息的处理、试验或探索。学生的问题解决策略及其选择是影响问题解决的重要因素，其解决效率往往与问题类型与策略的对应关系有关，其选择则与学生的知识经验及认知风格有关。
4.问题解决的监控
问题解决的监控属于元认知的内容。元认知在数学实际应用问题解决中是动态的，起辅助决策作用：对反馈的价值判断决定着是否改变问题表征或解题策略，判定问题是否超过自己能力，以及能力不及的情况下放弃还是求助等一系列问题。此外，个人的知识背景、非智力因素对数学应用题的解决也有很大影响，因篇幅关系，这些因素本文不作探讨。
二、教学思考
根据影响问题解决的相关因素，笔者谈谈对一元二次方程解决实际问题的教学看法。为便于说明，以行程问题为例：甲、乙两地相距8000米，张三、李四两人同时分别从甲、乙两地出发相向而行。张三的速度为每小时5千米，李四在遇到张三后又走了20分钟才到达乙地，求两人从出发到相遇所用的时间。
1.根据学生的思维特点，教会学生合理运用自己的语言表述问题
一元二次方程及其应用是初三年级的学习内容。初三学生形式逻辑思维、辩证逻辑思维、创造性思维均已得到一定发展，但存在差异性。其他思维形式如，动作思维、形象思维仍在他们的思维中发挥一定的作用。根据这些特点，教学时采用学生自己阅读问题、教师启发阅读问题和借助多种思维方式阅读问题等，以达成对实际问题的内化。由于思维发展的个体差异性，教师要照顾不同程度的学生，允许他们用自己的方式表述问题。
2.利用典型例题帮助学生获得新图式，利用变式帮助学生巩固图式
图式在数学应用题方面的一个重要作用就是对问题进行分类解决。这就要求教学中对各类问题的典型形式进行恰当地教学，以帮助学生建立新图式。一元二次方程用于解决实际生活，是教学面向生活的体现，其应用相当广泛。不仅有学生熟悉的行程问题、工程问题、比率问题、浓度问题，以及在几何、物理学中的应用。如上述问题，学生很容易识别出是行程问题，图式识别后自然会联系到时间、路程与速度的关系。但很快会发现与一般的行程问题不同，这就涉及问题表征的变式。若学生发现有多重时间、路程与速度的关系，则新图式可慢慢建立。
3.教学中进行问题解决策略的训练
通用的问题解决策略一般有算法策略和启发式策略，启发式策略又可分为手段目的分析法、逆向反推法、爬山法和类比法。此外还有尝试错误法、整体策略等。各种策略在一元二次方程应用题求解上有自己的表现形式。如，算法策略一般是有明确程序的，在一元二次方程应用题解题时可表现为一般的解题步骤，如审题—假设—列出方程—解方程—答。策略的训练方面，一般可以用技能教学的方式进行训练，形成思维习惯。各种算法可以单独使用，也可以结合使用。此时教师可以引导学生进行一题多解尝试，这样不但开阔了思路，也避免了策略过于单一的问题。教学中还可让学生进行探索，如，用整体策略 逆向反推法或单独运用手段目的分析法。策略的学习和探索有一定难度，教师要做好引导工作。解题策略可以通过教师开设专门的策略训练课。
4.培养学生解决问题时的监控习惯
监控问题解决过程是动态的元认知，是对认知活动的反映和调节，目的在于提高问题解决的有效性和效率。如，在尝试错误策略解决问题时，对错误的监控；在整体策略时对哪些细节该省略的认知监控。课堂教学中培养学生的认知监控习惯可以采用自我提问法，通过学生自我观察、自我监控、自我评价的不断训练，养成监控习惯。也可通过相互提问法，以小组教学的形式进行训练。教师应该进行必要的元认知知识的教学，让学生认识到形成监控习惯的重要性，从而主动训练，运用认知监控。如上述行程问题中，可以让学生练习提问：20分钟是谁走的时间？8000米这个条件有什么用？是谁走了8000米等。通过自我提问这种出声的思维方式，培养学生自我监控的习惯。
三、小结
一元二次方程及其在解决实际问题中的应用是初中数学的重要内容，在解决实际问题中体现了数学教学生活化的倾向。在教学中，要充分体现学生的主体性，重视个别差异。通过实际问题转化为一元二次函数的教学，从问题表征、图式、策略和监控等方面培养学生的能力。
参考文献：
［1］范宏业.基于图式理论的一元二次方程应用题教学研究［D］.华东师范大学，2006：14/15.
［2］苑建广.信息转化：数学问题解决的核心策略［J］.教学与管理，2011（12）：44.
［3］李红.现代心理学［M］.成都：四川出版集团，2010：124.
（作者单位 内蒙古自治区乌兰浩特市第八中学）