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摘 要：几何直观是数学课程的一个核心概念，《义务教育数学课程标准（2011年版）》第一学段课程目标对此尚未涉及，然而在第一学段渗透几何直观符合学生认知发展规律。文章阐述第一学段渗透几何直观依托一定载体，通过显性学习和隐性的氛围感受相结合的实践，帮助学生在主动尝试中感受几何直观的价值，积累利用几何直观理解数学的活动经验。
关键词：几何直观;小学数学;第一学段;画图策略
几何直观是数学课程的一个核心概念，笔者在实践教学中发现，画图策略作为几何直观的一种技能表现形式，出现“第一学段不重视，第二学段不会用”的尴尬场面。第一学段的教材内容在编排上常常以全图式或半图式的形式呈现，在教学时通常也要借助摆一摆、画一画等直观的形式来理解数学。在第一学段到底该如何安排几何直观教学？笔者基于几何直观的认识，对第一学段渗透几何直观的教学进行思考和尝试。
一、坚定渗透理念：符合学生认知发展规律
第一学段学生思维发展水平以形象思维为主，在学习概念及解决问题过程中常需要借助实物、图片、小棒，这就有必要在第一学段渗透几何直观。另外，教材在内容编排上从具体到抽象：一年级出现了大量的情境图、实物图;二年级（下册）开始出现直条图呈现信息，逐步抽象数量关系;三年级（上册）正式教学线段图……这符合学生对几何直观逐渐认识、理解、运用的过程，为学生积累了足够的表象与经验。因此，第一学段渗透几何直观符合学生的认知规律，有助于学生利用几何直观理解数学模型的建立，有助于学生积累丰富的活动经验，为后续的数学学习作好铺垫。
二、明确教学目标：在主动尝试中感受几何直观的价值
《义务教育数学课程标准（2011年版）》这样描述几何直观：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”这给了一线教师进行教学思考的基本依据。首先，几何直观并不和具体的知识点联系在一起。“图形与几何”的学习过程中，其中的一个目标就是培养学生的几何直观。另一方面，在“数与代数”“统计与概率”和“综合与实践”等板块的内容中也可以让学生感受几何直观的价值。几何直观是基于“几何与图形”而超越“图形与几何”的。其次，几何直观是一种意识，也是种技能与能力。对数学教学来说，几何直观表现为面对数学问题能想到画图来帮助思考，表现为掌握一定的几何直观的画图技巧，能画图并借助图进行数学思考。最后，几何直观更是一种思维能力，面对数学问题能够主动地取舍是否需要运用画图策略来解答，自如地通过直观层面来解决数学问题。
三、提供学习支持：显性学习和隐性感受相结合
（一）隐性感受，营造良好的课程氛围
几何直观是一种技能或能力，更是一种数学意识。因此教师首先要有明确的几何直观的课程意识，才能促进学生在良好的课程氛围中感受几何直观的价值。教师的课程意识最明显的表现形式就是能够整体把握义务教育阶段的课标与教材，能够对教材中的几何直观进行个性开发。表现在图形与几何知识的学习中，让学生动手操作，会用图形来代替实物，会通过折、叠、拼、展开等各种活动，积累活动经验。表现在其他三块领域的学习中，则是充分挖掘和呈现这些知识中的几何直观因素，以便学生更直观地理解数学。因此无论是哪块知识领域，教师在整合课程资源的同时，能够个性化地运用画图的形式，让学生直观地理解数学。
筆者以人教版小学数学第三册教材为例，对各单元不同知识内容进行了个性化图解，以期为学生创造良好的课程氛围，在课堂教学中不断强化几何直观的意识。
上述划分目的在于教师个性化开发课程资源，创设良好的几何直观的课程氛围，促进学生更直观地理解数学。第一部分集中图示，呈现原理一致的问题都与排列有关，而排列问题对二年级的学生来说，就属于有难度、很新颖的问题类型。通过对它的指导，可带领学生学习数学画图。第二部分添加图示，区分相近概念。相近概念的一方是旧知（已经建立表象），另一方是新知（尚未建立表象），在概念对比中笔者采用旧知学生画图，新知教师画图的方式，逐渐向全由学生画图转变。第三部分展现图示，理解较难概念。在一些较难概念的理解上，用图示进行思辨纠错，从正反两方面认识概念，扩大概念的内涵与外延。第四部分对比图示，进行材料辨识。
（二）显性学习：指导画图策略的迁移
用几何直观方法解题，必然经历把研究“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，进而思考分析的过程。而这一系列的转化过程不是天然形成的，学生也不可能一蹴而就。因此，我们还对画图策略给予适当的指导。
1. 画图技巧的指导
几何直观一般经历“实物图—示意图（直条图）—线段图”的递进，因此教学几何直观首先要引导学生读懂图。如一年级上册含有大括号的解决问题，呈现的是信息，我们知道了什么，要解决什么问题。二年级上册认识乘法这一单元，教材呈现多种实物图，每种实物都展示着相同的几份，揭示了乘法的意义;一年级下册“求两数相差多少”的问题，以及二年级下册倍的认识，教材出现的直条图，重在让学生看懂图所揭示的数量关系。
其次要掌握用几何图形来替代实物，画出去情境化的示意图。从实物图到示意图，学习的是用几何图形表征数量的多少。这个描述题意的过程，关注的是几何图形与实物的一一对应。如在一年级下册的“数学思考”中遇到这样的问题：我们一队有12个男生，老师让我们两个男生之间插进一个女生。共可以插进多少个女生？在教学时，我们要引导用一种图形如圆来代替12个男生，用三角形来代替女生，通过画出示意图，从而直观地解答此题。在实际的教学中，教师要尽可能地挖掘几何直观的材料，让学生养成用图形代替实物、去情境化的习惯。
画图策略是培养几何直观的一种手段，几何直观里的图形不一定是有形的，还可是无形，或是学生头脑中对表象的直接操作。因此学生的思维过程“文字—图形—符号”上升到“文字—符号”阶段，可以允许学生跳过画图这个中间环节。因此笔者在进行画图策略指导的时候，及时根据每个学生的实际情况，不断缩减这个环节，不让画图策略成为学生的学习负担。 2. 画图过程的指导
对第一学段学生画图策略的指导，可以从对示意图画法的示范，学生用外部言语的表述，以及学生的自我训练来操作。同时考虑到第一学段的学生有意注意保持时间不长，容易感到疲劳的特点，在指导中可以加入表演、演示、回想、猜测等方法吸引他们的注意，添加儿歌、童谣、故事、快板等儿童化的元素，使学生更好地运用画图策略，在不知不觉中完成数学画图的游戏。
以下是笔者设计的“握手问题”画图策略指导方案：
（1）结合言语，定向指导
定向指导画图策略，就是完整的展现画图过程的各个流程，包括把文字材料转化成图的各个要素，依据图来确定数量关系等步骤。而在定向阶段最重要的就是教师正确的示范、确切的讲解、明确的动作指令。
出示对象一：三人握手，每两人之间握一次，一共握了几次？
指导过程：
◆读题、演示——理解关键句“每两人之间握一次手”隐含的握手的顺序和方式，在學生表演中形成充分的表象。
◆回想、表述——采用外部言语对过程进行表述，明确握手的顺序。
◆正确示范画图，清晰描述过程——结合生动的语言，完整展现画图全过程。
为便于二年级学生掌握画图的过程，笔者特地编了一则小故事，伴随故事的叙述画图示范。
师：有家农户生三子，老大、老二和老三（板：画了三个颜色不同的●），三人今日要分别，相互握手来道别，老大先握老二手（板：在老大和老二之间加一条线），老大再握老三手（板：在老大和老三之间加了一条线），老大握完挥泪走，剩下老二握老三，兄弟俩俩把手握（板：在老二和老三之间加一条线），期盼来年早日见。
（2）实际操作，适时转化
在学生进行几何直观模式的实际操作时，包括引导学生进一步熟悉和理解线段图;画出第一步图，提供画图的大体框架，引导学生接着往下画;引导学生根据题意独立画图，对于可能出现的信息呈现不完整，关系表达不准确等问题，教师要利用面批、纠错等形式认真、耐心地加以指导。在这一过程中还要引导学生思考：到底什么时候需要画图？画怎样的图？画图时有什么注意点？有了图怎样进一步思考？等等。
指导过程：
◆学生尝试独立画出对象一的图，教师巡视纠正错误的动作序列。
变更对象出示第二题： 上图中一共有几条线段？
◆寻找相同点，说说画图过程——提示学生可以把线段的三个端点当三个儿子，把每两个端点组成的线段当作握手的次数。观察教师板演过程，语言说明画图的过程。
变更对象出示第三题： 左图一共有多少个角？
◆尝试画图，逐个过关——学生比较发现：可以把三条边当作三个儿子，每两条边组成的角当作握手的次数。学生边说边画，教师逐个巡视画图过程。
变更对象出示第四题：一架玩具飞机26元，一辆玩具汽车38元，一个玩具洋娃娃29元，任意买两个玩具可能需要多少钱？你最多能写出几种买法？
◆画法顺应，集中反馈——由于与前四题画法相同，所以由学生独立操作为主，在反馈中重点理清四则材料画图方法的异同点。
变更对象出示第五题：五人握手，每两人之间握一次，一共握了几次？
◆纵向深入，分层要求——从3个对象的排列到5个对象的排列，尽管原理一样，但对画法顺序上的要求更高。需要学生把刚学的画图策略与头脑中的表象正确对接才能完成任务，对个体智力水平好的学生更具有挑战性;智力水平一般的学生，需要充分调动自己所有的知识参与活动;智力水平较弱的学生，笔者可以给予一定的个别辅导。
在画图策略指导初期，课外作业需要学生和家长一起做一做、画一画、算一算：如布置学生回家对着镜子摆姿势（手上拿本书等）画出镜中画面的作业，小朋友排队问题，用小正方形拼长方形的问题等。在评价时多对使用画图策略解决问题的学生给予赞扬，多制造机会让每个学生体会到使用画图策略成功解决问题的喜悦，逐渐在班级成员的日常学习中，形成用画图展现思维进行辩论的氛围。
学生的思维方式和价值感受主要在课堂中形成。培养学生几何直观的思维，需要依托数学课程的每个领域，依托具体的数学教学内容，需要具体落实到每一个教学内容、每一个教学细节。如果教师在第一学段就能以保护学生的几何直观的潜质为起点，善于利用几何直观来组织教学，并给予显性的画图策略的指导，相信学生肯定能积累丰富的数学活动经验，最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。
■参考文献
[1]蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013（05）.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012（07）.
关键词：几何直观;小学数学;第一学段;画图策略
几何直观是数学课程的一个核心概念，笔者在实践教学中发现，画图策略作为几何直观的一种技能表现形式，出现“第一学段不重视，第二学段不会用”的尴尬场面。第一学段的教材内容在编排上常常以全图式或半图式的形式呈现，在教学时通常也要借助摆一摆、画一画等直观的形式来理解数学。在第一学段到底该如何安排几何直观教学？笔者基于几何直观的认识，对第一学段渗透几何直观的教学进行思考和尝试。
一、坚定渗透理念：符合学生认知发展规律
第一学段学生思维发展水平以形象思维为主，在学习概念及解决问题过程中常需要借助实物、图片、小棒，这就有必要在第一学段渗透几何直观。另外，教材在内容编排上从具体到抽象：一年级出现了大量的情境图、实物图;二年级（下册）开始出现直条图呈现信息，逐步抽象数量关系;三年级（上册）正式教学线段图……这符合学生对几何直观逐渐认识、理解、运用的过程，为学生积累了足够的表象与经验。因此，第一学段渗透几何直观符合学生的认知规律，有助于学生利用几何直观理解数学模型的建立，有助于学生积累丰富的活动经验，为后续的数学学习作好铺垫。
二、明确教学目标：在主动尝试中感受几何直观的价值
《义务教育数学课程标准（2011年版）》这样描述几何直观：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”这给了一线教师进行教学思考的基本依据。首先，几何直观并不和具体的知识点联系在一起。“图形与几何”的学习过程中，其中的一个目标就是培养学生的几何直观。另一方面，在“数与代数”“统计与概率”和“综合与实践”等板块的内容中也可以让学生感受几何直观的价值。几何直观是基于“几何与图形”而超越“图形与几何”的。其次，几何直观是一种意识，也是种技能与能力。对数学教学来说，几何直观表现为面对数学问题能想到画图来帮助思考，表现为掌握一定的几何直观的画图技巧，能画图并借助图进行数学思考。最后，几何直观更是一种思维能力，面对数学问题能够主动地取舍是否需要运用画图策略来解答，自如地通过直观层面来解决数学问题。
三、提供学习支持：显性学习和隐性感受相结合
（一）隐性感受，营造良好的课程氛围
几何直观是一种技能或能力，更是一种数学意识。因此教师首先要有明确的几何直观的课程意识，才能促进学生在良好的课程氛围中感受几何直观的价值。教师的课程意识最明显的表现形式就是能够整体把握义务教育阶段的课标与教材，能够对教材中的几何直观进行个性开发。表现在图形与几何知识的学习中，让学生动手操作，会用图形来代替实物，会通过折、叠、拼、展开等各种活动，积累活动经验。表现在其他三块领域的学习中，则是充分挖掘和呈现这些知识中的几何直观因素，以便学生更直观地理解数学。因此无论是哪块知识领域，教师在整合课程资源的同时，能够个性化地运用画图的形式，让学生直观地理解数学。
筆者以人教版小学数学第三册教材为例，对各单元不同知识内容进行了个性化图解，以期为学生创造良好的课程氛围，在课堂教学中不断强化几何直观的意识。
上述划分目的在于教师个性化开发课程资源，创设良好的几何直观的课程氛围，促进学生更直观地理解数学。第一部分集中图示，呈现原理一致的问题都与排列有关，而排列问题对二年级的学生来说，就属于有难度、很新颖的问题类型。通过对它的指导，可带领学生学习数学画图。第二部分添加图示，区分相近概念。相近概念的一方是旧知（已经建立表象），另一方是新知（尚未建立表象），在概念对比中笔者采用旧知学生画图，新知教师画图的方式，逐渐向全由学生画图转变。第三部分展现图示，理解较难概念。在一些较难概念的理解上，用图示进行思辨纠错，从正反两方面认识概念，扩大概念的内涵与外延。第四部分对比图示，进行材料辨识。
（二）显性学习：指导画图策略的迁移
用几何直观方法解题，必然经历把研究“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”，进而思考分析的过程。而这一系列的转化过程不是天然形成的，学生也不可能一蹴而就。因此，我们还对画图策略给予适当的指导。
1. 画图技巧的指导
几何直观一般经历“实物图—示意图（直条图）—线段图”的递进，因此教学几何直观首先要引导学生读懂图。如一年级上册含有大括号的解决问题，呈现的是信息，我们知道了什么，要解决什么问题。二年级上册认识乘法这一单元，教材呈现多种实物图，每种实物都展示着相同的几份，揭示了乘法的意义;一年级下册“求两数相差多少”的问题，以及二年级下册倍的认识，教材出现的直条图，重在让学生看懂图所揭示的数量关系。
其次要掌握用几何图形来替代实物，画出去情境化的示意图。从实物图到示意图，学习的是用几何图形表征数量的多少。这个描述题意的过程，关注的是几何图形与实物的一一对应。如在一年级下册的“数学思考”中遇到这样的问题：我们一队有12个男生，老师让我们两个男生之间插进一个女生。共可以插进多少个女生？在教学时，我们要引导用一种图形如圆来代替12个男生，用三角形来代替女生，通过画出示意图，从而直观地解答此题。在实际的教学中，教师要尽可能地挖掘几何直观的材料，让学生养成用图形代替实物、去情境化的习惯。
画图策略是培养几何直观的一种手段，几何直观里的图形不一定是有形的，还可是无形，或是学生头脑中对表象的直接操作。因此学生的思维过程“文字—图形—符号”上升到“文字—符号”阶段，可以允许学生跳过画图这个中间环节。因此笔者在进行画图策略指导的时候，及时根据每个学生的实际情况，不断缩减这个环节，不让画图策略成为学生的学习负担。 2. 画图过程的指导
对第一学段学生画图策略的指导，可以从对示意图画法的示范，学生用外部言语的表述，以及学生的自我训练来操作。同时考虑到第一学段的学生有意注意保持时间不长，容易感到疲劳的特点，在指导中可以加入表演、演示、回想、猜测等方法吸引他们的注意，添加儿歌、童谣、故事、快板等儿童化的元素，使学生更好地运用画图策略，在不知不觉中完成数学画图的游戏。
以下是笔者设计的“握手问题”画图策略指导方案：
（1）结合言语，定向指导
定向指导画图策略，就是完整的展现画图过程的各个流程，包括把文字材料转化成图的各个要素，依据图来确定数量关系等步骤。而在定向阶段最重要的就是教师正确的示范、确切的讲解、明确的动作指令。
出示对象一：三人握手，每两人之间握一次，一共握了几次？
指导过程：
◆读题、演示——理解关键句“每两人之间握一次手”隐含的握手的顺序和方式，在學生表演中形成充分的表象。
◆回想、表述——采用外部言语对过程进行表述，明确握手的顺序。
◆正确示范画图，清晰描述过程——结合生动的语言，完整展现画图全过程。
为便于二年级学生掌握画图的过程，笔者特地编了一则小故事，伴随故事的叙述画图示范。
师：有家农户生三子，老大、老二和老三（板：画了三个颜色不同的●），三人今日要分别，相互握手来道别，老大先握老二手（板：在老大和老二之间加一条线），老大再握老三手（板：在老大和老三之间加了一条线），老大握完挥泪走，剩下老二握老三，兄弟俩俩把手握（板：在老二和老三之间加一条线），期盼来年早日见。
（2）实际操作，适时转化
在学生进行几何直观模式的实际操作时，包括引导学生进一步熟悉和理解线段图;画出第一步图，提供画图的大体框架，引导学生接着往下画;引导学生根据题意独立画图，对于可能出现的信息呈现不完整，关系表达不准确等问题，教师要利用面批、纠错等形式认真、耐心地加以指导。在这一过程中还要引导学生思考：到底什么时候需要画图？画怎样的图？画图时有什么注意点？有了图怎样进一步思考？等等。
指导过程：
◆学生尝试独立画出对象一的图，教师巡视纠正错误的动作序列。
变更对象出示第二题： 上图中一共有几条线段？
◆寻找相同点，说说画图过程——提示学生可以把线段的三个端点当三个儿子，把每两个端点组成的线段当作握手的次数。观察教师板演过程，语言说明画图的过程。
变更对象出示第三题： 左图一共有多少个角？
◆尝试画图，逐个过关——学生比较发现：可以把三条边当作三个儿子，每两条边组成的角当作握手的次数。学生边说边画，教师逐个巡视画图过程。
变更对象出示第四题：一架玩具飞机26元，一辆玩具汽车38元，一个玩具洋娃娃29元，任意买两个玩具可能需要多少钱？你最多能写出几种买法？
◆画法顺应，集中反馈——由于与前四题画法相同，所以由学生独立操作为主，在反馈中重点理清四则材料画图方法的异同点。
变更对象出示第五题：五人握手，每两人之间握一次，一共握了几次？
◆纵向深入，分层要求——从3个对象的排列到5个对象的排列，尽管原理一样，但对画法顺序上的要求更高。需要学生把刚学的画图策略与头脑中的表象正确对接才能完成任务，对个体智力水平好的学生更具有挑战性;智力水平一般的学生，需要充分调动自己所有的知识参与活动;智力水平较弱的学生，笔者可以给予一定的个别辅导。
在画图策略指导初期，课外作业需要学生和家长一起做一做、画一画、算一算：如布置学生回家对着镜子摆姿势（手上拿本书等）画出镜中画面的作业，小朋友排队问题，用小正方形拼长方形的问题等。在评价时多对使用画图策略解决问题的学生给予赞扬，多制造机会让每个学生体会到使用画图策略成功解决问题的喜悦，逐渐在班级成员的日常学习中，形成用画图展现思维进行辩论的氛围。
学生的思维方式和价值感受主要在课堂中形成。培养学生几何直观的思维，需要依托数学课程的每个领域，依托具体的数学教学内容，需要具体落实到每一个教学内容、每一个教学细节。如果教师在第一学段就能以保护学生的几何直观的潜质为起点，善于利用几何直观来组织教学，并给予显性的画图策略的指导，相信学生肯定能积累丰富的数学活动经验，最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。
■参考文献
[1]蔡宏圣.几何直观：小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法，2013（05）.
[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012（07）.