导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。近年来高考数学试题无论在了解导数概念的实际背景、理解导数的几何意义方面考查，还是在研究函数中的应用方面，都把导数的应用作为各省市高考数学的压轴题。
　　一、利用导数的定义解题
　　例1、（北京卷12）如图，函数f（x）的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为（0，4）、（2，0）、（6,4），则：f（f（0））=2；1im =-2。（用数字作答）
　　点评：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
　　二、利用导数研究平面曲线的切线
　　函数在某一点处的导数的几何意义，求解与切线有关的问题，尤其是利用导数求曲线的方程，近几年的高考试题比比皆是。
　　例2、（2009福建卷理）若曲线f（x）=ax3+1nx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______。
　　答案：（－∞,0）
　　解析：由题意可知f′（x）=2ax2+ 。又因为存在垂直于y轴的切线，
　　所以2ax2+ =0a=-（x>0）a∈（－∞，０）。
　　评注：理解导数的几何意义是解决本例的关键。
　　三、利用导数研究函数的单调性
　　例3、（2009安徽卷理）已知函数f（x）=x- +a（2-1nx），（a>0），讨论f（x）的单调性。
　　解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+- =。
　　设g（x）=x2-ax+2,二次方程g（x）=0的判别式△=a2-8。
　　① 当△=a2-8<0，即00都有f′（x）>0,此时f（x）在（0，+∞）上是增函数。
　　② 当△=a2-8=0,即a=2 2时，仅对x= 2有f′（x）=0,对其余的x>0都有f′（x）>0,此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数。
　　③ 当△=a2-8>0，即a>2 2时，方程g（g）=0有两个不同的实根x1= 、x2= ，0　　x（0，x1） x1 （x1，x2） x2（x2,+∞）
　　f′（x） + 0- 0+
　　f（x） 单调递增极大单调递减极小单调递增
　　此时f（x）在（0，）上单调递增,在（，）上单调递减, 在（，+∞）上单调递增。
　　评注：应用导数求函数的单调区间或研究函数单调性问题，特别是导函数中含字母参数时，往往要分类讨论。
　　四、利用导数求解函数极（最）值或判断函数的零点
　　例4、（2009天津卷理）设函数f（x）= x-1nx（x>0），则y=f（x）______。
　　A、在区间（ ，1）、（1，e）内均有零点
　　B、在区间（ ，1）、（1，e）内均无零点
　　C、在区间（ ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
　　D、在区间（ ，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
　　解析：由题得f′（x）= - =，令f′（x）>0得x>3，令f′（x）<0得00，故选择D。
　　评注:本题考查导数的应用，基础题。
　　五、实际应用问题
　　例5、(2009湖南卷理)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+ x）x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。
　　(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式。
　　(Ⅱ)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
　　解：(Ⅰ)设需要新建n个桥墩，（n+1）x=m，即n= -1。
　　所以y=f（x）=256n+（n+1）（2+ x）x=256（ -1）+ （2+ x）x
　　=+m x+2m-256。
　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f′（x）=+ mxq=（xq-512）。
　　令f′（x）=0，得xq=512，所以x=64。
　　当0　　当640，f（x）在区间（64，640）内为增函数；
　　所以f（x）在x=64处取得最小值。
　　此时，n= -1=-1=9。
　　故需新建9个桥墩才能使y最小。
　　评注：对问题提供的信息资料进行整理，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，即建立目标函数是解决该问题的关键，也是第二问能够用导数知识分析问题和解决问题的关键一环。
　　
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