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一、第1章数形结合思想及原则
数形结合的应用非常广泛，无论是在西方还是在东方，对于数形结合的理解和诠释有着不同的想法，却又相通。这是因为知识是没有国界和区域限制的。历史上有很多伟大的数学家曾经对数形结合进行过阐述，比如我国伟大的数学家华罗庚先生，他把数形结合用两句诗比喻的恰如其分，“数缺形，少直观；形缺数，难入微”。
（一）第1节数形结合思想
所谓数形结合是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，一方面借助“数”的准确性来阐明形的某些属性，另一方面借助“形”的直观性来阐明数量之间的关系。具体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考，这种解决问题的思想方法称为数形结合思想。
事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适合的图形，利用图形的性质和规律，解决“数”的问题，或使图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。
（二）第2节数形结合思想的原则
1.等价原则
等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是等价的，对于所讨论的问题“形”和“数”所反映的反差关系应具有一致性。有时，由于图形的局限性，构图的粗糙和不准确，将对所讨论的问题产生影响，造成失误。
2.双向性原则
双向性原则是指即进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性。
3.简单性原则
简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何图形优美又使代数计算简洁明了，避免繁琐的运算。
二、第2章数形结合思想的途径
（一）第1节由数到形的转换途径
1.方程或不等式问题常可以转化为两个函数图像的交点式位置关系问题，并借助函数的图像和性质解决相关问题。
2.利用平面向量的数量关系及模的性质寻求代数式的几何性质。
3.构造集合模型，通过对代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形如将 与正方形（矩形）互化。
4、利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式、定义等来谋求代数式的图形背景及有关性质。
（二）第2节由形到数的转换途径
1.解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系），引进了坐标将几何图形变换为坐标间的位置关系。
2.三角形法：将几何问题与三角形沟通，运用三角知识获得探求数形结合的途径。
3.向量法：即将几何图像向量化，运用向量运算解决几何中的平面、垂直、夹角、距离等问题，把抽象的几何运用推理为精确的代数运算。空间向量法，平面的向量法是解决立体几何中的平行、垂直、夹角距离等问题，使问题的解决变得有章可循，有路可走。
（三）第3节数形互助
数形互助即数形相互结合，使问题变得直观简明。“数无形时不直观，形无数时难入微”，华罗庚先生恰当地指出了“数”与“形”的相互依赖，相互制约的辩证关系，是对数形结合最通俗、最深刻的剖析。事实上，很多问题都需要数形互助来解决。
三、第3章数形结合思想在解题中的应用
（一）第1节数形结合思想在分类讨论中的应用
分类讨论是中学数学中的一个重要思想方法，当研究的对象不宜用统一的形式和理论去解释规律给出方法时，就需要进行分类讨论。在分类讨论中我们可以有效利用数形结合，来寻找分类讨论的标准，简化分类讨论过程，甚至避免分类讨论。
（二）第2节数形结合思想在集合运算中的应用
我们知道：涉及集合的运算，常常采用文式图、数轴等形象、直观的方式来使复杂问题简单化、容易化。集合的运算常常和几何知识联系在一起，唯有我们充分掌握一定的数学知识，才能很快的解决问题.
（三）第3节数形结合思想在解方程和不等式中的应用
应用数形结合思想解方程和不等式，应当注意曲线与方程的对应关系，并且要充分了解所求不等式的几何意义。
只要我们抓住方程的特征将图形定位，就不难求解；另外，求解不等式时，注意层次推进，体现数形结合的思想，不失为好方法。
（四）第4节数形结合思想在求函数的值域、单调性、最值方面的应用
在求函数的值域、单调性、最值问题时，综合分析他们的几何意义显得尤为重要，结合数形结合思想使得解题更加方便易懂。
（五）第5节数形结合思想在求解复数问题方面的应用
在应用数形结合思想求解问题时，必须以几何因素和几何关系为背景联系起来思考问题。这不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题的过程。
（六）第6节数形结合思想在解决实际问题方面的应用
在现实生活中我们常常会遇到一些促不及防的关于数学方面的问题，此时我们若能对数学知识理解、掌握好，并能巧用数形结合思想，便能更好地解决一些现实生活中存在的问题。
四、結论
综上所述，数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究，简而言之“数形相互取长补短”。
然而几何具有直观、形象的优势，代数方法的特点是解答过程严密规范、思路清晰。应用数形结合思想就能扬这两种方法之长，避呆板之短。
在解决有关问题时，数形结合思想方法表现的思路上的灵活、过程上的简便、方法上多样化是一目了然的。数形结合思想方法为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥。
但应用数形结合法解题应注意三个问题：
一是要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应关系。
二是要通过坐标系做好“数”与“形”之间的相互转化。
三是要正确确定变量的取值范围。
因此，作为大学生所应掌握的一种重要的思想方法，我们应该多注意对数形结合的应用并有意识地加强对这方面知识的训练，以提高自身的数学思维水平。
数形结合的应用非常广泛，无论是在西方还是在东方，对于数形结合的理解和诠释有着不同的想法，却又相通。这是因为知识是没有国界和区域限制的。历史上有很多伟大的数学家曾经对数形结合进行过阐述，比如我国伟大的数学家华罗庚先生，他把数形结合用两句诗比喻的恰如其分，“数缺形，少直观；形缺数，难入微”。
（一）第1节数形结合思想
所谓数形结合是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，一方面借助“数”的准确性来阐明形的某些属性，另一方面借助“形”的直观性来阐明数量之间的关系。具体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考，这种解决问题的思想方法称为数形结合思想。
事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适合的图形，利用图形的性质和规律，解决“数”的问题，或使图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。
（二）第2节数形结合思想的原则
1.等价原则
等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是等价的，对于所讨论的问题“形”和“数”所反映的反差关系应具有一致性。有时，由于图形的局限性，构图的粗糙和不准确，将对所讨论的问题产生影响，造成失误。
2.双向性原则
双向性原则是指即进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性。
3.简单性原则
简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何图形优美又使代数计算简洁明了，避免繁琐的运算。
二、第2章数形结合思想的途径
（一）第1节由数到形的转换途径
1.方程或不等式问题常可以转化为两个函数图像的交点式位置关系问题，并借助函数的图像和性质解决相关问题。
2.利用平面向量的数量关系及模的性质寻求代数式的几何性质。
3.构造集合模型，通过对代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形如将 与正方形（矩形）互化。
4、利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式、定义等来谋求代数式的图形背景及有关性质。
（二）第2节由形到数的转换途径
1.解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系），引进了坐标将几何图形变换为坐标间的位置关系。
2.三角形法：将几何问题与三角形沟通，运用三角知识获得探求数形结合的途径。
3.向量法：即将几何图像向量化，运用向量运算解决几何中的平面、垂直、夹角、距离等问题，把抽象的几何运用推理为精确的代数运算。空间向量法，平面的向量法是解决立体几何中的平行、垂直、夹角距离等问题，使问题的解决变得有章可循，有路可走。
（三）第3节数形互助
数形互助即数形相互结合，使问题变得直观简明。“数无形时不直观，形无数时难入微”，华罗庚先生恰当地指出了“数”与“形”的相互依赖，相互制约的辩证关系，是对数形结合最通俗、最深刻的剖析。事实上，很多问题都需要数形互助来解决。
三、第3章数形结合思想在解题中的应用
（一）第1节数形结合思想在分类讨论中的应用
分类讨论是中学数学中的一个重要思想方法，当研究的对象不宜用统一的形式和理论去解释规律给出方法时，就需要进行分类讨论。在分类讨论中我们可以有效利用数形结合，来寻找分类讨论的标准，简化分类讨论过程，甚至避免分类讨论。
（二）第2节数形结合思想在集合运算中的应用
我们知道：涉及集合的运算，常常采用文式图、数轴等形象、直观的方式来使复杂问题简单化、容易化。集合的运算常常和几何知识联系在一起，唯有我们充分掌握一定的数学知识，才能很快的解决问题.
（三）第3节数形结合思想在解方程和不等式中的应用
应用数形结合思想解方程和不等式，应当注意曲线与方程的对应关系，并且要充分了解所求不等式的几何意义。
只要我们抓住方程的特征将图形定位，就不难求解；另外，求解不等式时，注意层次推进，体现数形结合的思想，不失为好方法。
（四）第4节数形结合思想在求函数的值域、单调性、最值方面的应用
在求函数的值域、单调性、最值问题时，综合分析他们的几何意义显得尤为重要，结合数形结合思想使得解题更加方便易懂。
（五）第5节数形结合思想在求解复数问题方面的应用
在应用数形结合思想求解问题时，必须以几何因素和几何关系为背景联系起来思考问题。这不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题的过程。
（六）第6节数形结合思想在解决实际问题方面的应用
在现实生活中我们常常会遇到一些促不及防的关于数学方面的问题，此时我们若能对数学知识理解、掌握好，并能巧用数形结合思想，便能更好地解决一些现实生活中存在的问题。
四、結论
综上所述，数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究，简而言之“数形相互取长补短”。
然而几何具有直观、形象的优势，代数方法的特点是解答过程严密规范、思路清晰。应用数形结合思想就能扬这两种方法之长，避呆板之短。
在解决有关问题时，数形结合思想方法表现的思路上的灵活、过程上的简便、方法上多样化是一目了然的。数形结合思想方法为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥。
但应用数形结合法解题应注意三个问题：
一是要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应关系。
二是要通过坐标系做好“数”与“形”之间的相互转化。
三是要正确确定变量的取值范围。
因此，作为大学生所应掌握的一种重要的思想方法，我们应该多注意对数形结合的应用并有意识地加强对这方面知识的训练，以提高自身的数学思维水平。