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摘 要：基于分数阶微分算子及其复域表示方式，利用分数阶微积分理论，研究了分数阶Rǒssler混沌系统，建立了该系统的动态仿真模型，通过对2.7阶Rǒssler混沌系统的动态仿真实验，证实了该系统确实存在混沌现象。数值实验结果表明理论分析的正确性。
关键词：Rǒssler系统；分数微积分；动态仿真
1 引言
虽然分数阶微积分已有300多年的研究历史，但是它在实际工程方面的应用还只是近几年关注的焦点。近年来，在对整数阶混沌系统研究的基础上，人们将分数阶微分算子引入到非线性动力学系统中，才引起了越来越多人关注分数阶混沌系统的动力学行为[1]，并且发现了存在混沌吸引子的最低阶。同时，分数阶混沌系统的电路设计也逐渐引起了人们的兴趣和关注[2]。
本文基于分数阶微分算子及其复域表示方式，利用分数阶微积分理论，以分数阶Rǒssler混沌系统为研究对象，建立了该系统的动态仿真模型，仿真结果验证了该方法的有效性和可行性。
2 分数阶微分及其逼近
因此，分数阶微分算子α可以在频域中用传递函数1/sα表示。由于分数阶微分的标准定义不能直接在时域仿真中进行分数阶算子的运算，为了有效地分析分数阶动力学系统的混沌行为，需用标准整数阶算子来逼近分数阶算子，当然这种逼近是在允许的误差范围内，完全可满足工程的需要，文献[4]给出了一种近似方法。在后面的仿真研究中，我们将应用此逼近公式，当α=0.9时，1/sα的逼近公式近似表达式为：
（3）
3 分数阶Rǒssler混沌系统的动态仿真方法
我们选择simulink动态仿真分析，通过分析其变量的实时演化，进而分析系统的动力学行为特性。该方法可以通过观察模块直接观察输出结果，也可以将仿真数据输出来定量分析混沌特性，使动态仿真比其他方法更加灵活可靠。
4 分数阶Rǒssler混沌系统的仿真模型
在设计系统仿真模型之前，首先考虑到分数阶微分算子仿真模块的设计。虽然前面介绍过可以使用分数逼近公式（3）的传递函数，但是不能设定初值。本文利用传递函数转换为State-space（状态空间）模块来实现初值的设置。该模块是输入-输出变量的一种状态空间描述，其数学表达式为：
（4）
其中，x是状态向量， y是输出向量，u是输入向量。A、B、C、D是系数矩阵，可以通过函数命令tf2ss计算得到相应参数。
5 分数阶Rǒssler混沌系统动态仿真
5.1 分数阶Rǒssler混沌系统可以用下式描述：
（5）
其中， q为系统的微分阶数，0 由引理可知，系统在平衡点S1，2是混沌的。
5.2 仿真模型及其参数设计
根据分数阶Rǒssler混沌系统方程，在Simulink中设计仿真模型如图1所示。
通过函数命令tf2ss（num，den）求出State-space的系数矩阵A、B、C、D。
[A，B，C，D] = tf2ss（[1.766 38.27 4.914]，[1 36.15 7.789 0.01000]）。
经过计算可得A=[-36.1500 -7.7890 -0.0100；1.0000 0 0；0 1.0000 0]；B=[1；0；0]；C=[1.7660 38.2700 4.9140]；D=[0]。系统的初始設置为（0，0，0）；gain1设置为0.4，gain2设置为10，gain3设置为-1；常数项设置为0.2；仿真时间100s，其它参数为系统默认值，使用ODE45对系统进行仿真。
5.3 仿真结果
当a=0.4，b=0.2，c=10时，通过Graph模块可以观察到系统在x-y、y-z平面的相图，仿真结果分别如图2、图3所示；通过使用Scope模块，可以观察到系统x时域波形如图4所示；同样，也可以通过 workspace模块输出到Matlab的工作区中，然后通过图像输出命令得到三维混沌系统吸引子如图5所示；结果与理论分析相吻合，证实了分数阶Rǒssler系统此时产生了混沌行为，显示了分数阶Rǒssler混沌吸引子；
6 结束语
本文基于分数阶微分算子及其复域表示方式，利用分数阶微积分理论，以Rǒssler分数阶混沌系统为研究对象，实现了混沌系统的动态仿真，数值仿真结果证实了系统存在混沌吸引子，同时也与理论分析相吻合。此外，还可以将该方法推广应用到其它分数阶混沌系统、整数阶混沌系统以及超混沌系统的动态仿真中。
参考文献
[1] Mohammad S T，Mohammad H.A necessary condition for double scroll attractor existence in fractional-order systems[J].Physics Letters A，2007，367：102-113.
[2] 王发强，刘崇新.分数阶临界混沌系统及电路实验的研究[J].物理学报，2006，55（8）：3922-3927.
[3] A Chare，f HH Sun， Y Y Tsao. Fractal system as represented bysingularity fuction[ J]. IEEE Trans. Automatic Contro，l 1992，37： 1465.
[4] T T Hartly， C F Lorenzo， H K Qammer. Chaos in a fractional order Chua s system[J]. IEEE Trans. CAS-I： 1995， 42（8）： 485-489.
作者简介：
张敏海（1986-），男，湖南株洲人，硕士研究生，助教，研究方向为混沌控制及机理。
关键词：Rǒssler系统；分数微积分；动态仿真
1 引言
虽然分数阶微积分已有300多年的研究历史，但是它在实际工程方面的应用还只是近几年关注的焦点。近年来，在对整数阶混沌系统研究的基础上，人们将分数阶微分算子引入到非线性动力学系统中，才引起了越来越多人关注分数阶混沌系统的动力学行为[1]，并且发现了存在混沌吸引子的最低阶。同时，分数阶混沌系统的电路设计也逐渐引起了人们的兴趣和关注[2]。
本文基于分数阶微分算子及其复域表示方式，利用分数阶微积分理论，以分数阶Rǒssler混沌系统为研究对象，建立了该系统的动态仿真模型，仿真结果验证了该方法的有效性和可行性。
2 分数阶微分及其逼近
因此，分数阶微分算子α可以在频域中用传递函数1/sα表示。由于分数阶微分的标准定义不能直接在时域仿真中进行分数阶算子的运算，为了有效地分析分数阶动力学系统的混沌行为，需用标准整数阶算子来逼近分数阶算子，当然这种逼近是在允许的误差范围内，完全可满足工程的需要，文献[4]给出了一种近似方法。在后面的仿真研究中，我们将应用此逼近公式，当α=0.9时，1/sα的逼近公式近似表达式为：
（3）
3 分数阶Rǒssler混沌系统的动态仿真方法
我们选择simulink动态仿真分析，通过分析其变量的实时演化，进而分析系统的动力学行为特性。该方法可以通过观察模块直接观察输出结果，也可以将仿真数据输出来定量分析混沌特性，使动态仿真比其他方法更加灵活可靠。
4 分数阶Rǒssler混沌系统的仿真模型
在设计系统仿真模型之前，首先考虑到分数阶微分算子仿真模块的设计。虽然前面介绍过可以使用分数逼近公式（3）的传递函数，但是不能设定初值。本文利用传递函数转换为State-space（状态空间）模块来实现初值的设置。该模块是输入-输出变量的一种状态空间描述，其数学表达式为：
（4）
其中，x是状态向量， y是输出向量，u是输入向量。A、B、C、D是系数矩阵，可以通过函数命令tf2ss计算得到相应参数。
5 分数阶Rǒssler混沌系统动态仿真
5.1 分数阶Rǒssler混沌系统可以用下式描述：
（5）
其中， q为系统的微分阶数，0
5.2 仿真模型及其参数设计
根据分数阶Rǒssler混沌系统方程，在Simulink中设计仿真模型如图1所示。
通过函数命令tf2ss（num，den）求出State-space的系数矩阵A、B、C、D。
[A，B，C，D] = tf2ss（[1.766 38.27 4.914]，[1 36.15 7.789 0.01000]）。
经过计算可得A=[-36.1500 -7.7890 -0.0100；1.0000 0 0；0 1.0000 0]；B=[1；0；0]；C=[1.7660 38.2700 4.9140]；D=[0]。系统的初始設置为（0，0，0）；gain1设置为0.4，gain2设置为10，gain3设置为-1；常数项设置为0.2；仿真时间100s，其它参数为系统默认值，使用ODE45对系统进行仿真。
5.3 仿真结果
当a=0.4，b=0.2，c=10时，通过Graph模块可以观察到系统在x-y、y-z平面的相图，仿真结果分别如图2、图3所示；通过使用Scope模块，可以观察到系统x时域波形如图4所示；同样，也可以通过 workspace模块输出到Matlab的工作区中，然后通过图像输出命令得到三维混沌系统吸引子如图5所示；结果与理论分析相吻合，证实了分数阶Rǒssler系统此时产生了混沌行为，显示了分数阶Rǒssler混沌吸引子；
6 结束语
本文基于分数阶微分算子及其复域表示方式，利用分数阶微积分理论，以Rǒssler分数阶混沌系统为研究对象，实现了混沌系统的动态仿真，数值仿真结果证实了系统存在混沌吸引子，同时也与理论分析相吻合。此外，还可以将该方法推广应用到其它分数阶混沌系统、整数阶混沌系统以及超混沌系统的动态仿真中。
参考文献
[1] Mohammad S T，Mohammad H.A necessary condition for double scroll attractor existence in fractional-order systems[J].Physics Letters A，2007，367：102-113.
[2] 王发强，刘崇新.分数阶临界混沌系统及电路实验的研究[J].物理学报，2006，55（8）：3922-3927.
[3] A Chare，f HH Sun， Y Y Tsao. Fractal system as represented bysingularity fuction[ J]. IEEE Trans. Automatic Contro，l 1992，37： 1465.
[4] T T Hartly， C F Lorenzo， H K Qammer. Chaos in a fractional order Chua s system[J]. IEEE Trans. CAS-I： 1995， 42（8）： 485-489.
作者简介：
张敏海（1986-），男，湖南株洲人，硕士研究生，助教，研究方向为混沌控制及机理。