论文部分内容阅读
摘 要： 几何直观是学生解决数学问题的一项重要能力。在初中几何教学中尤其是概念课证明定理时，几何直观和逻辑推理二者均不可偏颇。教师应该从学生的能力层次出发，根据不同情况，设计最合适的方法开展定理的引入。
关键词： 几何直观；定理证明；初中数学
【中图分类号】 G642.0 【文献标识码】 A【文章编号】 2236-1879（2018）12-0066-02
发展学生的数学素养是数学课程改革的目标。为此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了要发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、模型思想、应用意识和创新意识。[1]几何直观是标准提出的十个核心概念之一，它在内容、意义和方法上远远超过对几何图形本身的研究范畴，贯穿数学学习与研究的整个过程。
几何直观还是学生解决数学问题的一种策略，是学生解决数学问题的一种非常重要的能力。我国著名数学家华罗庚先生曾提出：“数缺形，少直观；形缺数，难入围”。[2]初中学生逻辑思维能力正在一个飞速提升的状态，在很多定理的引入中，教师都会选择用逻辑推理证明的方式。而几何直观往往容易被忽视。实际上，逻辑证明和几何图形的结合十分有利于揭示问题的内涵，从而更好地解决数学教学中存在的难理解的问题。
初中数学中，几何定理的引入很多。笔者这里就针对定理“直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”的多种引入方式作逐一分析。
一、通过动手折纸直观感受
定理“直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”属于初中数学八年级上册2.5节“等腰三角形的轴对称性”一章。教科书中引入这个定理便是用了折叠的方式：把直角三角形纸片按照虚线折叠，用肉眼观察发现，猜想出线段AD和线段BD在折叠后，都跑到了线段CD的位置，所以得出AD，BD，CD三条线段相等的结论（准确说是“猜想”）。[3]
显然，这个结论是直观上观察的，没有通过几何证明来严密论证。因此教科书随后安排了一个证明。证明中通过作一个角等于已知角的方式来严密证明了这个定理。证明方式如下：在直角三角形ABC中，在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD与AB相交于点D，可知DB=DC，由等角的余角相等，可得∠ACD=∠A，于是DA=DC，从而DA=DB=DC。
这种先动手看直观，再严密证明的方式，是初中数学课本中比较常见的。比如教科书中对“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”也是采用了类似的翻折方法。动手翻折让学生非常直观得感受到线段的重合，从而感受到线段的相等。但是这种动手折叠的方式终究是比较粗糙的，因此折叠更多是给予让学生动手感受，增加记忆，之后仍要用一个严密的证明来补充。
二、巧用几何画板“度量”功能直观感受
几何画板的“动点”功能其实是一个非常好的工具。如图，我们在平面直角坐标系的x轴和y轴上分别取点A和点B，然后取AB的中点点C，连结线段OC，分别度量线段BC和CO的长度。由于点A和点B是两个动点，所以在移动的过程中，线段AB和线段CO的长度也会随之发生变化。几何画板的“度量”功能可以把线段长度直观呈现出来。通过观察BC和CO长度的变化，可以发现，无论动点怎样移动，BC和CO长度始终相等。为了避免误差，我们采用求BC-CO的值。如果动点无论怎样动，差值都是0，则说明 BC=CO。
这种引入方式的优点在于展示的直接是数字（线段长度）。通过数字的对比，学生非常容易就能发现线段之间的数量关系。缺点这种直观呈现的方式是代数式而非几何式的，缺少动手和观察。
三、妙用“倍长中线”法，直观构造矩形便于观察
倍长中线法常用于已知线段中点的几何，直接目的是为了构造全等三角形。由于目的是引入定理“直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”，看着原始图形，教师可以引导学生关注到CD是AB边上的中线，让学生进入“倍长中线”的思维定势中，接着引导学生倒推想象，如果已知CD、AD、BD这三条线段相等，那么采用“倍长中线”的辅助线后形成的图形是什么图形？教师可以在黑板上补充作图，学生通过观察，很快会发现：倍长中线后的图形必然是矩形。有了这个直观猜测，之后的目标便是冲着“求证矩形”而去。
证法如图，延长CD到点E，使得DE=DC，连结AE和BE，先证△ADC和△BDE全等，从而∠CAD=∠DBE，再由等量代换，证出∠CBD+∠DBE=90°，得出∠ACB=∠EBC，再用SAS证△ACB和△EBC全等，从而证明线段AB=CE，再根据CD=CE，证得结论。
和前面几种方法相比，倍長中线法在书写上相对没那么简单。
但是这种方法有一个很大的优点，就是把“倍长中线”的思维定势和几何直观视图结合在了一起。“思维定势”并不是一个贬义词，学生恰恰需要在平时的学习中积累经验，构造对一些特定几何图形的条件反射。
以上几种定理的引入方式各有不同，教师可以根据学生的学习程度和课堂的侧重点来选择最合适的方式。将几何直观和逻辑推理紧密联合在一起，对学生来说，初中几何的学习将会焕发出更加耀眼的光彩。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011 版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012，32（07）：92-97.13.
[3] 过哲学.新课标下“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用新动向[J].数学学习与研究，2010（02）：90-91.
关键词： 几何直观；定理证明；初中数学
【中图分类号】 G642.0 【文献标识码】 A【文章编号】 2236-1879（2018）12-0066-02
发展学生的数学素养是数学课程改革的目标。为此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了要发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、模型思想、应用意识和创新意识。[1]几何直观是标准提出的十个核心概念之一，它在内容、意义和方法上远远超过对几何图形本身的研究范畴，贯穿数学学习与研究的整个过程。
几何直观还是学生解决数学问题的一种策略，是学生解决数学问题的一种非常重要的能力。我国著名数学家华罗庚先生曾提出：“数缺形，少直观；形缺数，难入围”。[2]初中学生逻辑思维能力正在一个飞速提升的状态，在很多定理的引入中，教师都会选择用逻辑推理证明的方式。而几何直观往往容易被忽视。实际上，逻辑证明和几何图形的结合十分有利于揭示问题的内涵，从而更好地解决数学教学中存在的难理解的问题。
初中数学中，几何定理的引入很多。笔者这里就针对定理“直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”的多种引入方式作逐一分析。
一、通过动手折纸直观感受
定理“直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”属于初中数学八年级上册2.5节“等腰三角形的轴对称性”一章。教科书中引入这个定理便是用了折叠的方式：把直角三角形纸片按照虚线折叠，用肉眼观察发现，猜想出线段AD和线段BD在折叠后，都跑到了线段CD的位置，所以得出AD，BD，CD三条线段相等的结论（准确说是“猜想”）。[3]
显然，这个结论是直观上观察的，没有通过几何证明来严密论证。因此教科书随后安排了一个证明。证明中通过作一个角等于已知角的方式来严密证明了这个定理。证明方式如下：在直角三角形ABC中，在∠ACB内作∠BCD=∠B，CD与AB相交于点D，可知DB=DC，由等角的余角相等，可得∠ACD=∠A，于是DA=DC，从而DA=DB=DC。
这种先动手看直观，再严密证明的方式，是初中数学课本中比较常见的。比如教科书中对“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”也是采用了类似的翻折方法。动手翻折让学生非常直观得感受到线段的重合，从而感受到线段的相等。但是这种动手折叠的方式终究是比较粗糙的，因此折叠更多是给予让学生动手感受，增加记忆，之后仍要用一个严密的证明来补充。
二、巧用几何画板“度量”功能直观感受
几何画板的“动点”功能其实是一个非常好的工具。如图，我们在平面直角坐标系的x轴和y轴上分别取点A和点B，然后取AB的中点点C，连结线段OC，分别度量线段BC和CO的长度。由于点A和点B是两个动点，所以在移动的过程中，线段AB和线段CO的长度也会随之发生变化。几何画板的“度量”功能可以把线段长度直观呈现出来。通过观察BC和CO长度的变化，可以发现，无论动点怎样移动，BC和CO长度始终相等。为了避免误差，我们采用求BC-CO的值。如果动点无论怎样动，差值都是0，则说明 BC=CO。
这种引入方式的优点在于展示的直接是数字（线段长度）。通过数字的对比，学生非常容易就能发现线段之间的数量关系。缺点这种直观呈现的方式是代数式而非几何式的，缺少动手和观察。
三、妙用“倍长中线”法，直观构造矩形便于观察
倍长中线法常用于已知线段中点的几何，直接目的是为了构造全等三角形。由于目的是引入定理“直角三角形斜边上的高等于斜边的一半”，看着原始图形，教师可以引导学生关注到CD是AB边上的中线，让学生进入“倍长中线”的思维定势中，接着引导学生倒推想象，如果已知CD、AD、BD这三条线段相等，那么采用“倍长中线”的辅助线后形成的图形是什么图形？教师可以在黑板上补充作图，学生通过观察，很快会发现：倍长中线后的图形必然是矩形。有了这个直观猜测，之后的目标便是冲着“求证矩形”而去。
证法如图，延长CD到点E，使得DE=DC，连结AE和BE，先证△ADC和△BDE全等，从而∠CAD=∠DBE，再由等量代换，证出∠CBD+∠DBE=90°，得出∠ACB=∠EBC，再用SAS证△ACB和△EBC全等，从而证明线段AB=CE，再根据CD=CE，证得结论。
和前面几种方法相比，倍長中线法在书写上相对没那么简单。
但是这种方法有一个很大的优点，就是把“倍长中线”的思维定势和几何直观视图结合在了一起。“思维定势”并不是一个贬义词，学生恰恰需要在平时的学习中积累经验，构造对一些特定几何图形的条件反射。
以上几种定理的引入方式各有不同，教师可以根据学生的学习程度和课堂的侧重点来选择最合适的方式。将几何直观和逻辑推理紧密联合在一起，对学生来说，初中几何的学习将会焕发出更加耀眼的光彩。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011 版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识[J].课程·教材·教法，2012，32（07）：92-97.13.
[3] 过哲学.新课标下“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用新动向[J].数学学习与研究，2010（02）：90-91.