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〔关键词〕 数学教学；对称美；简单美；和谐美；
奇异美；统一美
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2009）06（B）—0042—01
一、 深思熟虑，挖掘对称美
高中数学中，具有对称美的内容可谓比比皆是.解题时，利用对称美能起到简化解题过程的功效.
例1已知x、y、z互不相等，且x+=y+=z+，求x2y2z2的值.
解析：由x+=y+可得：x-y=-=，
∴=①，由字母的轮换对称性易得：= ②，= ③，由①②③三式相乘即得x2y2z2=1.
上例抓住了数学的对称美这一特点，得出了独特简便的解题方法.
二、 巧施方法，体现简单美
法国哲学家狄德罗说：“数学中所谓美的解答是指对一个复杂问题的简单解答 .”数学中的整体代换和正难则反便是二种常见的简化解题过程的方法.
例2设数列1，（1+2），……（1+2+22+……+2n-1）……的前n项和为Sn，则Sn的值为 .
A.2nB.2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-2
解析：此题若按常规解法直接求数列的前n项和比较复杂，若采用特殊值法，则大大简化计算过程.由原数列知，S1=1，S2=4. 在选项中，满足S1=1，S2=4，只有答案D.
例38人排成一列，交换部分人的位置，至少有两个人不在原来位置上的排法有多少种？
解析：若从正面考虑，需按两个人不在原来位置上的排法、三个人不在原来位置上的排法……依次进行分类.这样分类繁多，计算复杂，显然不符合简单美的原则，这时不妨考虑其反面.原题的反面是：所有人都在原来的位置上，而这只有一种情形, 故至少有两个人不在原来位置上的排法有A-1=40319种.
三、 消除差异，体现和谐美
数学学科的特点决定了数学美的基础特征，数学题中的数、式、形之间存在着和谐，认真审题，不难发现条件和结论间的和谐美.
例 4求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.
解析：因为cos60°=，故上式可变形为cos20°cos40°cos80°.从此题的结构来看，存在着内部的和谐美（角成公比为2的等比数列）.
原式=
=
==
====.
四、 解题思路的奇异美
例 5如图1，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）
A.B.5C.6D.
解析：显而易见，该题是考查学生对图形的分解、组合与变形的能力，但作为一个填空题，它有着其独特的解法.显然多面体的体积V大于四棱锥E-ABCD的体积，那么V＞VE-ABCD=hSABCD=×2×32=6.这就否定选项A、B、C，只有选项D符合题意.
五、 数形结合的统一美
“数”与“形”结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种很重要的思维方法.运用这一思想常使一些抽象的问题直观化、形象化.
例 6在△ABC中，tanA和tanB是方程x2+mx+m+1=0的实根，求m的取值范围.
解析：由韦达定理可知， tanA+tanB=-m， tanA•tanB=m+1. 从而有tan（A+B） ==
=1，又0＜A+B＜?仔，可知A+B=，于是tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）.
在此若令f（x）=x2+mx+m+1，则f（x）和x轴有两个交点（有重合的可能）且这两个交点都在（0，1）内，于是可得图象（图2），观察图象可得，一个根在（0，-）内，而另一个根在（-，1）内，为此需要条件f（0）=m+1＞0， f（-）=-+m+1≤0，f（1）=1+m+m+1＞0，据此可得，-1＜m≤2-2.
奇异美；统一美
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2009）06（B）—0042—01
一、 深思熟虑，挖掘对称美
高中数学中，具有对称美的内容可谓比比皆是.解题时，利用对称美能起到简化解题过程的功效.
例1已知x、y、z互不相等，且x+=y+=z+，求x2y2z2的值.
解析：由x+=y+可得：x-y=-=，
∴=①，由字母的轮换对称性易得：= ②，= ③，由①②③三式相乘即得x2y2z2=1.
上例抓住了数学的对称美这一特点，得出了独特简便的解题方法.
二、 巧施方法，体现简单美
法国哲学家狄德罗说：“数学中所谓美的解答是指对一个复杂问题的简单解答 .”数学中的整体代换和正难则反便是二种常见的简化解题过程的方法.
例2设数列1，（1+2），……（1+2+22+……+2n-1）……的前n项和为Sn，则Sn的值为 .
A.2nB.2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-2
解析：此题若按常规解法直接求数列的前n项和比较复杂，若采用特殊值法，则大大简化计算过程.由原数列知，S1=1，S2=4. 在选项中，满足S1=1，S2=4，只有答案D.
例38人排成一列，交换部分人的位置，至少有两个人不在原来位置上的排法有多少种？
解析：若从正面考虑，需按两个人不在原来位置上的排法、三个人不在原来位置上的排法……依次进行分类.这样分类繁多，计算复杂，显然不符合简单美的原则，这时不妨考虑其反面.原题的反面是：所有人都在原来的位置上，而这只有一种情形, 故至少有两个人不在原来位置上的排法有A-1=40319种.
三、 消除差异，体现和谐美
数学学科的特点决定了数学美的基础特征，数学题中的数、式、形之间存在着和谐，认真审题，不难发现条件和结论间的和谐美.
例 4求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.
解析：因为cos60°=，故上式可变形为cos20°cos40°cos80°.从此题的结构来看，存在着内部的和谐美（角成公比为2的等比数列）.
原式=
=
==
====.
四、 解题思路的奇异美
例 5如图1，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）
A.B.5C.6D.
解析：显而易见，该题是考查学生对图形的分解、组合与变形的能力，但作为一个填空题，它有着其独特的解法.显然多面体的体积V大于四棱锥E-ABCD的体积，那么V＞VE-ABCD=hSABCD=×2×32=6.这就否定选项A、B、C，只有选项D符合题意.
五、 数形结合的统一美
“数”与“形”结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种很重要的思维方法.运用这一思想常使一些抽象的问题直观化、形象化.
例 6在△ABC中，tanA和tanB是方程x2+mx+m+1=0的实根，求m的取值范围.
解析：由韦达定理可知， tanA+tanB=-m， tanA•tanB=m+1. 从而有tan（A+B） ==
=1，又0＜A+B＜?仔，可知A+B=，于是tanA∈（0，1），tanB∈（0，1）.
在此若令f（x）=x2+mx+m+1，则f（x）和x轴有两个交点（有重合的可能）且这两个交点都在（0，1）内，于是可得图象（图2），观察图象可得，一个根在（0，-）内，而另一个根在（-，1）内，为此需要条件f（0）=m+1＞0， f（-）=-+m+1≤0，f（1）=1+m+m+1＞0，据此可得，-1＜m≤2-2.