论文部分内容阅读
【摘要】在学习高中物理选修3-5时，我想对于散射的问题（卢瑟福α粒子实验）有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。本文在开始时研究了极坐标系下的运动方程，得到了速度与加速度的表达式，同时得到了有心力在极坐标系下的表示形式，由有心力F切向方程和径向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。
当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。
当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。
【关键词】极坐标系 有心力 比耐公式
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0160-02
1.背景介绍
在学习高中物理选修3-5时，我学习了碰撞、反冲等知识，但是课本上有的只是简单的两小球相撞后的轨迹的问题和散射问题（卢瑟福α粒子实验），我想对于散射的问题有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。
2.极坐标系下的运动方程
研究有心力问题需要用到极坐标系的一些知识，可是高中数学中的极坐标系的知识还不足够解决这一问题，在《大学物理学》这本书里有这部分的知识。
极坐标系是指在平面内由极点，极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从极点O出发引一条射线，称为极轴。φ表示极轴转过的角度，ρ表示点到极点距离。极坐标下的位矢A可以表示为：
A=Aρeρ+Aφeφ
对于有心力问题，如果把有心力的原点就当作极坐标的极点，那么质点的位置矢量就从极点指向质点位置，位矢就退化为：
ρ=ρeρ
下面我们研究一下极坐标下基矢的求导，利用直角坐标系的基矢来表示极坐标下基矢：
eρ=cosφi+sinφj
eφ=-sinφi+cosφj
对这两个基矢对时间求导：
■=（-sinφii+cosφjj）φ=φeφ
■=（-cosφii-sinφjj）φ=-φeρ
■=■eρ+ρ■=ρeρ+ρφeφ
由此得到速度：
ρ=ρeρ+ρφeφ
进一步对上式速度求导，可以得到加速度：
ρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ
3.有心力问题的研究
3.1 有心力问题
质点在有心力场中的运动是自然界的运动之一。对于有心力问题，本文通过牛顿运动定律来解决。
有了2中的知识，我们就可以求解有心力问题，平面内有质点m，受到来自极点O的有心力作用，有心力形式为：
F（r）=F（r）■
由上文2中推导可知，质点m在运动中的牛顿微分方程是F=mρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ
把这个方程分为径向和切向：
径向：m（ρ-ρφ2）=Fρ
切向：m（ρφ+2φρ）=Fφ
因为是有心力，F只有径向分量，切向方程可以变为：
m（ρφ+2φρ）=m■■（ρ2φ）=0
因此，ρ2φ≡h，h为与时间无关的常数。
定义u≡■φ=■=hu2
则可求出ρ=-h■ ρ=-h2u2■
从而径向方程变为m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ，即比耐公式。
3.1.1如果这里的有心力为高中所学的万有引力，即Fρ=-G■≡-k2■=-k2u2m代入比耐公式得：■+u=■
令ξ=u-■，得■+ξ=0
所以ξ=Acos（φ-φ0） u=Acos（φ-φ0）+■得：
ρ=■=■
這就是质点m运动的轨迹。
3.1.2如果这里的有心力为两个正电荷电荷间斥力，即Fρ=-■■≡k2■=k2u2m代入比耐公式得：■+u=-■
令ξ=u+■，得■+ξ=0
所以ξ=Acos（φ-φ0） u=Acos（φ-φ0）-■
ρ=■=■
3.2轨迹分析
对于3.1.1中求得的质点m运动的轨迹，如果转动极坐标轴使得φ0=0，并令p=■ e=A■，则轨迹方程变为ρ=■
这就是极坐标系下的圆锥曲线方程。
所以质点m在万有引力有心力的作用下形成的轨迹为圆锥曲线，当e小于1时，是椭圆，当e等于1时，是抛物线，当e大于1时，是双曲线。
对于3.1.2中求得的质点m运动轨迹，如果转动极坐标轴使得φ0=0，并令p=■ e=-A■，则同样的轨迹方程变为ρ=■
这个轨迹为双曲线的一支。
4.总结
本文在开始时研究了极坐标系下的运动方程，得到了速度与加速度的表达式，同时得到了有心力在极坐标系下的表示形式，由有心力F切向方程和径向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。
当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。
当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。
参考文献：
[1]卢德馨.大学物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.
当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。
当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。
【关键词】极坐标系 有心力 比耐公式
【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）40-0160-02
1.背景介绍
在学习高中物理选修3-5时，我学习了碰撞、反冲等知识，但是课本上有的只是简单的两小球相撞后的轨迹的问题和散射问题（卢瑟福α粒子实验），我想对于散射的问题有更深入的了解，于是参考网上资料和大学物理课本开始研究有心力问题。
2.极坐标系下的运动方程
研究有心力问题需要用到极坐标系的一些知识，可是高中数学中的极坐标系的知识还不足够解决这一问题，在《大学物理学》这本书里有这部分的知识。
极坐标系是指在平面内由极点，极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从极点O出发引一条射线，称为极轴。φ表示极轴转过的角度，ρ表示点到极点距离。极坐标下的位矢A可以表示为：
A=Aρeρ+Aφeφ
对于有心力问题，如果把有心力的原点就当作极坐标的极点，那么质点的位置矢量就从极点指向质点位置，位矢就退化为：
ρ=ρeρ
下面我们研究一下极坐标下基矢的求导，利用直角坐标系的基矢来表示极坐标下基矢：
eρ=cosφi+sinφj
eφ=-sinφi+cosφj
对这两个基矢对时间求导：
■=（-sinφii+cosφjj）φ=φeφ
■=（-cosφii-sinφjj）φ=-φeρ
■=■eρ+ρ■=ρeρ+ρφeφ
由此得到速度：
ρ=ρeρ+ρφeφ
进一步对上式速度求导，可以得到加速度：
ρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ
3.有心力问题的研究
3.1 有心力问题
质点在有心力场中的运动是自然界的运动之一。对于有心力问题，本文通过牛顿运动定律来解决。
有了2中的知识，我们就可以求解有心力问题，平面内有质点m，受到来自极点O的有心力作用，有心力形式为：
F（r）=F（r）■
由上文2中推导可知，质点m在运动中的牛顿微分方程是F=mρ=（ρ-ρφ2）eρ+（ρφ+2φρ）eφ
把这个方程分为径向和切向：
径向：m（ρ-ρφ2）=Fρ
切向：m（ρφ+2φρ）=Fφ
因为是有心力，F只有径向分量，切向方程可以变为：
m（ρφ+2φρ）=m■■（ρ2φ）=0
因此，ρ2φ≡h，h为与时间无关的常数。
定义u≡■φ=■=hu2
则可求出ρ=-h■ ρ=-h2u2■
从而径向方程变为m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ，即比耐公式。
3.1.1如果这里的有心力为高中所学的万有引力，即Fρ=-G■≡-k2■=-k2u2m代入比耐公式得：■+u=■
令ξ=u-■，得■+ξ=0
所以ξ=Acos（φ-φ0） u=Acos（φ-φ0）+■得：
ρ=■=■
這就是质点m运动的轨迹。
3.1.2如果这里的有心力为两个正电荷电荷间斥力，即Fρ=-■■≡k2■=k2u2m代入比耐公式得：■+u=-■
令ξ=u+■，得■+ξ=0
所以ξ=Acos（φ-φ0） u=Acos（φ-φ0）-■
ρ=■=■
3.2轨迹分析
对于3.1.1中求得的质点m运动的轨迹，如果转动极坐标轴使得φ0=0，并令p=■ e=A■，则轨迹方程变为ρ=■
这就是极坐标系下的圆锥曲线方程。
所以质点m在万有引力有心力的作用下形成的轨迹为圆锥曲线，当e小于1时，是椭圆，当e等于1时，是抛物线，当e大于1时，是双曲线。
对于3.1.2中求得的质点m运动轨迹，如果转动极坐标轴使得φ0=0，并令p=■ e=-A■，则同样的轨迹方程变为ρ=■
这个轨迹为双曲线的一支。
4.总结
本文在开始时研究了极坐标系下的运动方程，得到了速度与加速度的表达式，同时得到了有心力在极坐标系下的表示形式，由有心力F切向方程和径向方程可得出比耐公式m（-h2u2■-■h2u4）=Fρ。
当有心力为万有引力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出质点运动轨迹为圆锥曲线，不同情况下可分为椭圆，双曲线，抛物线。
当有心力为两个正电荷电荷间斥力时，代入比耐公式可得到ρ=■，判断出运动轨迹为双曲线。
参考文献：
[1]卢德馨.大学物理学[M].北京：高等教育出版社，1998.