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[摘要]《普通高中数学课程标准》提出：高中数学课程要积极“发展学生数学应用意识”；由于传统教学方法没有足够重视数学与生活的联系，使学生对数学的学习只停留在对知识的理解上，把解题作为追求的惟一目标。没有真正体现用数学解决实际问题的意义。
[关键词]新课程改革 函数思想 应用意识
[中图分类号]G630 [文献标识码]C
《普通高中数学课程标准》[1]指出，“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。……有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野”；在教学中，如何渗透数学与生活的联系并让学生逐步形成数学应用的意识，是每一位数学教师值得思考的问题。本文以函数思想在生产实践与生活实际中的应用作为线索，谈谈笔者对该问题的思考，以便引起广大中学教师的重视。
一、函数思想的形成与发展
函数在数学的发生、发展过程中，起到了十分重要的作用；随着科学的进步和发展，函数概念的作用还在逐步扩大。在中学数学中，函数知识既是一个包容性很强的核心概念，又是一种应用性十分广泛的数学思想方法。德国著名数学家F.克菜茵﹙F.Kiein，1849--1925﹚称函数为数学的“灵魂”，并应该成为数学的“基石”[2]。通过函数概念的学习，对提高学生的数学素养，培养学生的创新意识和应用实践能力，都具有不可替代的作用。
函数概念在中学数学中是以逐步精确的定义方式出现的，第一次出现在初中三年级《函数及其图象》中，利用欧拉变量的观点给出了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。在此基础上，研究了一次函数、二次函数的图象和性质。第二次出现在高中一年级《集合与函数概念》中，在引入集合与映射的概念后，利用狄利克雷集合的观点将函数解释为：设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记为y=f（x），x∈A[2]。在此基础上，研究了幂函数、指数函数和对数函数以及三角函数的图象和性质，从而使函数成为数与形有机结合的桥梁和纽带。第三次出现在高中三年级，在学习微积分初步时，对函数的性质作了进一步的介绍（比如函数的敛散性、可导与连续等）。通过三阶段的学习，可以用函数概念串联起中学数学的基本内容，形成系统知识。
二、函数思想是数形结会的有效载体，与生产实际密切相联
函数思想成为中学数学课程的一个起统率作用的核心概念，紧紧围绕“数----式----方程---函数”的主线展开，逐步解决了函数与方程、函数与数列、函数与不等式及线性规划、函数与解三角形、函数与解析几何、函数与导数的关系。例如对于代数式、方程、不等式、数列等知识都可以用函数思想作出解释，代数式可以看成函数的值，如3a可以看成y=3x当x=3时的值；方程f（x）=0的根可以看成函数y=f（x）的图象与x轴交点横坐标；数列是自变量为正整数的离散函数。
在学习函数知识的过程中，主要以函数的概念和性质作为理论指导，在掌握各种函数的定义、图像和性质的过程中，渗透建模思想，从而改变传统高中函数概念教学中的形式化趋向，逐步提升学生将实际问题抽象为函数模型过程中的符号化、模型化思想； 利用函数图像讨论方程根分布过程中的数形结合思想； 用二分法求方程近似解过程中的算法思想。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，而且还用集合与对应的语言来刻画函数，使函数的思想贯穿于高中数学课程的始终。在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中，具有十分重要的意义。
（一）用函数思想求方程根的问题
对于方程的根来说，并不是每个方程都可以用代数方法求解，有些方程只能求出它的近似解，为了解决这个问题，就需要将函数与方程联起来，通过求函数的零点来找出方程的近似解。其主要方法是利用二分法的原理逐步逼近。对于在区间[a，b]上连续不断，且满足 的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到方程的近似解。这样求方程的解就变成了思考函数图像与x轴的交点问题，高中数学课程增加用二分法求方程的近似解的内容， 就是想利用数形结合的思想解决一些近似值的求解问题。例如CCTV-2“幸运52”中的有奖竞猜活动就是用二分法求近似解的生动情景：某种商品实际价值80元，参赛者猜该商品值100元时，主持人说多了，又猜50元时，主持人说少了，经多轮回合，直到猜中为止，时间规定在一分钟内，最接近者为胜。
（二）用函数思想解决线性规划问题
线性规划问题是用函数思想解决实际问题的典范，用函数的观点看，线性规划就是确定目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题，解线性规划的问题，可归结为三个基本步骤：第一步确定目标函数； 笫二步确定目标函数的可行域； 第三步确定目标函数的可行域内的最值。它研究的问题主要有两类：一是一项任务确定后，如何统筹安排才能使得完成任务所消耗的人力、物力、财力资源最少； 二是己有一定数量的人力、物力、财力资源，怎样合理调配，才能使完成的任务量最多。
例1：某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品用5个A配件耗时1小时，每生产一件乙产品需用3个B配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂中获得15个A配件和12个B配件，按每天生产8小时计，若生产一个甲产品获利3万元，生产一个乙产品获利4万元，应怎样安排，才能获利最多？
分析：设甲、乙两种产品分别生产x，y件
（1）线性约束条件为： （2）线性目标函数为：z=3x+4y
此问题即为在线性约束条件（1）下，求目标函数z的最大值的线性规划问题。
三、利用函数思想指导获取利息、年金和投资决策
现代企业与企业、企业与市场之间的经济决策，以及个人存款与贷款等，都要通过银行进行，这就必须产生借贷活动和利息，不同的存款方式，计算利息的方法和公式也不同。
若一次存入本金，按期（日、月、年）计利息，上期利息不计入下期本金重复计息，称为单利；如果存款到期时上期利息转入下期本金再次计息，称为复利；分期存入，每次本金（年金）固定，n期后本利和，称为年金终值；由n期后本利和，反求初期本金，称为本（年）金现值。
在经济数学中通常采用如下符号：
P——本金 A——每期等额发生的本金 Q——本（年）金现值 n——利息期数 I——利息 R——利率 S——本利和
（一）计算单利问题
单利问题是有关利息计算中常见的数学应用问题，经济数学中给出了以下的计算公式：
1°利息 I=nR （1）
2°本利和 S=P（1+nR） （2）
3°单利现值 （3）
4°单利（期初发生）年金现值 （4）
例2： 某单位将住房卖给职工，总价60000元，职工付款方式为三种：甲：一次交清，优惠15%；乙：两次交清：先交30000元，一年后再交30000元；丙：四次交清：先交30000元，以后每隔一年交10000元，三年交清。
试问，在假定物价平稳的条件下，哪种付款方式最合算？﹙注：利率按银行大额储蓄年率11.529%计﹚
解 甲方案现值：Q1=60000（1-0.15）=51000（元）
乙方案现值： （元）
丙方案现值： （元）
相比较而言，甲方案现值最小，如考虑物价因素，丙方案也不错，乙方案现值最大。
（二）计算复利问题
复利问题是在单利的基础上衍生出来的数学问题，通常有以下计算公式：
1°本利和 S=P（1+R） （5）
2°复利（期初发生）年金终值 （6）
3°复利（期初发生）年金现值
（7）
例3：某人将100元钱存入银行，假定各种存款方式的年率均为12.5%，那么用不同方式将本金100元存8年带利取出，哪种方式获得的利息较多？
第一种方式：将本金100元存入后8年不动，直到第8年末再连本带利取出，则利本和为：
S1=100×（1+12.5%×8）=100×（1+1）=200元 （这是单利问题）
第二种方式：将本金100元先存入4年，4年后将本利取出立即又存入银行，再存4年，则8年后所得本利和为：
第三、四、五……种方式可以将8年期限分得更细，若分别将8年期限等分为存三次、存四次、存五次……每次取出本利后又立即存入，不断缩短存入时间，这样连续下去8年后的本利和为：
由于 为常数，这样，本利和不可能无现增大，当n无限增大时，趋于一个常数 元。因此，只要存8年期的利率不低于 。银行就不会出现频繁地取钱又存钱人的混乱局面。
由于银行很好地运用了数学的一些重要原理，才使得广大储户不断地将钱存入银行中，而且这些数学原理就是当今银行倡导的财新理念产生的根源。因此，学习数学知识后更重要的是如何将其运用到生产实践和生活实际中去。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003
[2]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书数学第一册（上）[M].北京：人民教育出版社，2007
[3]任明俊，汪晓勤. 中学生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007，16（4）：84
[4]杨玉东，范文贵. 高中数学新课程理念与实施[M].海口：海南出版社，2004
（作者单位：遵义师范学院 数学系 贵州遵义）
[关键词]新课程改革 函数思想 应用意识
[中图分类号]G630 [文献标识码]C
《普通高中数学课程标准》[1]指出，“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。……有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野”；在教学中，如何渗透数学与生活的联系并让学生逐步形成数学应用的意识，是每一位数学教师值得思考的问题。本文以函数思想在生产实践与生活实际中的应用作为线索，谈谈笔者对该问题的思考，以便引起广大中学教师的重视。
一、函数思想的形成与发展
函数在数学的发生、发展过程中，起到了十分重要的作用；随着科学的进步和发展，函数概念的作用还在逐步扩大。在中学数学中，函数知识既是一个包容性很强的核心概念，又是一种应用性十分广泛的数学思想方法。德国著名数学家F.克菜茵﹙F.Kiein，1849--1925﹚称函数为数学的“灵魂”，并应该成为数学的“基石”[2]。通过函数概念的学习，对提高学生的数学素养，培养学生的创新意识和应用实践能力，都具有不可替代的作用。
函数概念在中学数学中是以逐步精确的定义方式出现的，第一次出现在初中三年级《函数及其图象》中，利用欧拉变量的观点给出了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。在此基础上，研究了一次函数、二次函数的图象和性质。第二次出现在高中一年级《集合与函数概念》中，在引入集合与映射的概念后，利用狄利克雷集合的观点将函数解释为：设A、B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记为y=f（x），x∈A[2]。在此基础上，研究了幂函数、指数函数和对数函数以及三角函数的图象和性质，从而使函数成为数与形有机结合的桥梁和纽带。第三次出现在高中三年级，在学习微积分初步时，对函数的性质作了进一步的介绍（比如函数的敛散性、可导与连续等）。通过三阶段的学习，可以用函数概念串联起中学数学的基本内容，形成系统知识。
二、函数思想是数形结会的有效载体，与生产实际密切相联
函数思想成为中学数学课程的一个起统率作用的核心概念，紧紧围绕“数----式----方程---函数”的主线展开，逐步解决了函数与方程、函数与数列、函数与不等式及线性规划、函数与解三角形、函数与解析几何、函数与导数的关系。例如对于代数式、方程、不等式、数列等知识都可以用函数思想作出解释，代数式可以看成函数的值，如3a可以看成y=3x当x=3时的值；方程f（x）=0的根可以看成函数y=f（x）的图象与x轴交点横坐标；数列是自变量为正整数的离散函数。
在学习函数知识的过程中，主要以函数的概念和性质作为理论指导，在掌握各种函数的定义、图像和性质的过程中，渗透建模思想，从而改变传统高中函数概念教学中的形式化趋向，逐步提升学生将实际问题抽象为函数模型过程中的符号化、模型化思想； 利用函数图像讨论方程根分布过程中的数形结合思想； 用二分法求方程近似解过程中的算法思想。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，而且还用集合与对应的语言来刻画函数，使函数的思想贯穿于高中数学课程的始终。在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中，具有十分重要的意义。
（一）用函数思想求方程根的问题
对于方程的根来说，并不是每个方程都可以用代数方法求解，有些方程只能求出它的近似解，为了解决这个问题，就需要将函数与方程联起来，通过求函数的零点来找出方程的近似解。其主要方法是利用二分法的原理逐步逼近。对于在区间[a，b]上连续不断，且满足 的函数y=f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到方程的近似解。这样求方程的解就变成了思考函数图像与x轴的交点问题，高中数学课程增加用二分法求方程的近似解的内容， 就是想利用数形结合的思想解决一些近似值的求解问题。例如CCTV-2“幸运52”中的有奖竞猜活动就是用二分法求近似解的生动情景：某种商品实际价值80元，参赛者猜该商品值100元时，主持人说多了，又猜50元时，主持人说少了，经多轮回合，直到猜中为止，时间规定在一分钟内，最接近者为胜。
（二）用函数思想解决线性规划问题
线性规划问题是用函数思想解决实际问题的典范，用函数的观点看，线性规划就是确定目标函数在可行域（由约束条件确定的定义域）内的最值问题，解线性规划的问题，可归结为三个基本步骤：第一步确定目标函数； 笫二步确定目标函数的可行域； 第三步确定目标函数的可行域内的最值。它研究的问题主要有两类：一是一项任务确定后，如何统筹安排才能使得完成任务所消耗的人力、物力、财力资源最少； 二是己有一定数量的人力、物力、财力资源，怎样合理调配，才能使完成的任务量最多。
例1：某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品用5个A配件耗时1小时，每生产一件乙产品需用3个B配件耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂中获得15个A配件和12个B配件，按每天生产8小时计，若生产一个甲产品获利3万元，生产一个乙产品获利4万元，应怎样安排，才能获利最多？
分析：设甲、乙两种产品分别生产x，y件
（1）线性约束条件为： （2）线性目标函数为：z=3x+4y
此问题即为在线性约束条件（1）下，求目标函数z的最大值的线性规划问题。
三、利用函数思想指导获取利息、年金和投资决策
现代企业与企业、企业与市场之间的经济决策，以及个人存款与贷款等，都要通过银行进行，这就必须产生借贷活动和利息，不同的存款方式，计算利息的方法和公式也不同。
若一次存入本金，按期（日、月、年）计利息，上期利息不计入下期本金重复计息，称为单利；如果存款到期时上期利息转入下期本金再次计息，称为复利；分期存入，每次本金（年金）固定，n期后本利和，称为年金终值；由n期后本利和，反求初期本金，称为本（年）金现值。
在经济数学中通常采用如下符号：
P——本金 A——每期等额发生的本金 Q——本（年）金现值 n——利息期数 I——利息 R——利率 S——本利和
（一）计算单利问题
单利问题是有关利息计算中常见的数学应用问题，经济数学中给出了以下的计算公式：
1°利息 I=nR （1）
2°本利和 S=P（1+nR） （2）
3°单利现值 （3）
4°单利（期初发生）年金现值 （4）
例2： 某单位将住房卖给职工，总价60000元，职工付款方式为三种：甲：一次交清，优惠15%；乙：两次交清：先交30000元，一年后再交30000元；丙：四次交清：先交30000元，以后每隔一年交10000元，三年交清。
试问，在假定物价平稳的条件下，哪种付款方式最合算？﹙注：利率按银行大额储蓄年率11.529%计﹚
解 甲方案现值：Q1=60000（1-0.15）=51000（元）
乙方案现值： （元）
丙方案现值： （元）
相比较而言，甲方案现值最小，如考虑物价因素，丙方案也不错，乙方案现值最大。
（二）计算复利问题
复利问题是在单利的基础上衍生出来的数学问题，通常有以下计算公式：
1°本利和 S=P（1+R） （5）
2°复利（期初发生）年金终值 （6）
3°复利（期初发生）年金现值
（7）
例3：某人将100元钱存入银行，假定各种存款方式的年率均为12.5%，那么用不同方式将本金100元存8年带利取出，哪种方式获得的利息较多？
第一种方式：将本金100元存入后8年不动，直到第8年末再连本带利取出，则利本和为：
S1=100×（1+12.5%×8）=100×（1+1）=200元 （这是单利问题）
第二种方式：将本金100元先存入4年，4年后将本利取出立即又存入银行，再存4年，则8年后所得本利和为：
第三、四、五……种方式可以将8年期限分得更细，若分别将8年期限等分为存三次、存四次、存五次……每次取出本利后又立即存入，不断缩短存入时间，这样连续下去8年后的本利和为：
由于 为常数，这样，本利和不可能无现增大，当n无限增大时，趋于一个常数 元。因此，只要存8年期的利率不低于 。银行就不会出现频繁地取钱又存钱人的混乱局面。
由于银行很好地运用了数学的一些重要原理，才使得广大储户不断地将钱存入银行中，而且这些数学原理就是当今银行倡导的财新理念产生的根源。因此，学习数学知识后更重要的是如何将其运用到生产实践和生活实际中去。
[参考文献]
[1]中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003
[2]人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书数学第一册（上）[M].北京：人民教育出版社，2007
[3]任明俊，汪晓勤. 中学生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007，16（4）：84
[4]杨玉东，范文贵. 高中数学新课程理念与实施[M].海口：海南出版社，2004
（作者单位：遵义师范学院 数学系 贵州遵义）