题目：已知 （b－c）2 ＝ （a－b）（c－a）（a≠0），求的值。（1999年全国数学竞赛试题）
　　最初看到此题，感到很难入手，但仔细观察、勤思善想，就会发掘丰富的内涵，有助于培养思维的广泛性、深刻性，有利于提高数学思维品质。本文给出竞赛题的解题思路，以飨读者。
　　思路1：从条件出发，直接推导（b＋c）＝2a。
　　解法1：由（b－c）2 ＝（a－b）（c－a） 得 b2＋2bc＋c2＋4a2－4ab－4ac＝0，所以 （b＋c－2a）2＝0，即b＋c＝2a
　　∵a≠0∴ ＝2
　　思路2：由条件结构联想一元二次方程的判别式，从而构造出一元二次方程，然后由根与系数的关系求解。
　　解法2：⑴当a＝b＝c≠0时，显然有＝2；
　　⑵当a≠b≠c时，由（b－c）2 ＝（a－b）（c－a）得
　　（b－c）2 －4（a－b）（c－a）＝0，构造一元二次方程（a－b）x2＋（b－c）x＋（c－a）＝0……①
　　∵（b－c）2－4（a－b）（c－a）＝0，（a－b）＋（b－ c）＋（c－a）＝0
　　∴方程①有根x1＝x2＝1，由根与系数关系有＝2（或＝1）即b＋c＝2a
　　∵a≠0 ∴＝2
　　思路3：由条件联想到二元均值定理：a、bR＋，ab≤（）2，当且仅当 a＝b时，取“=”号。由取“=”条件可得：b＋c＝2a。
　　解法3：⑴当a＝b＝c≠0 时，显然有＝2；
　　⑵当a≠b≠c时，不妨设c＞a＞b，则c－a＞0，a－b＞0
　　所以（a－b）（c －a）≤（）2＝（b－ c）2 ……②
　　当且仅当a－b＝c－a时，②式取“=”号，即满足条件
　　由a－b＝c－a得b＋c＝2a
　　∵a≠0 ∴＝2
　　思路4：将条件变形为（b＋c）2＋4a2＝4ab＋4ac。由此联想a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“=”号，从而求得b＋c＝2a。
　　解法4：由（b－ c）2 ＝（a－b）（c－a）得（b＋ c）2＋4a2＝4ab＋4ac
　　而（b＋c）2＋4a2 ≥2（b＋c）＋2a＝4ab＋4ac……③
　　当且仅当b＋c＝2a时，③式取“=”号，即满足条件
　　∵a≠0∴＝2
　　思路5：由条件联想等比中项，由等比数列知识，求得b＋c＝2a。
　　解法5：⑴当a＝b＝c≠0 时，显然有＝2；
　　⑵当a≠b≠c时，由（b－ c）2 ＝（a－b）（c－a）得
　　（b－c）2 ＝4（a－b）（c－a）
　　∴2（a－b），b－c，2（c－a）成等比数列
　　即b－c＝k·2（a－b）……①，＝k……②
　　∴ 将①代入②，得
　　（k＋1）2＝0
　　∴k＝－1
　　即b－c＝－2（a－b）或＝－1
　　∴b＋c＝2a
　　∵a≠0∴＝2
　　思路6：巧妙换元，将条件转化为（x－y）2＝0，即x＝y，求得b＋c＝2a。
　　解法6：设b＝u－v，c＝u＋v，代入条件得：
　　4v2－4（u＋v－a）（a－u＋v）＝0
　　即（u－a）2＝0
　　∴u ＝a，故 b＋c＝2a
　　∵a≠0∴＝2
　　由此可见，勤思善想、从多侧面进行探究、多层次地进行思考，拓宽了解题思路，深化了数学思维，培养了发散思维及创造精神，更增强了解题能力。
　　（作者单：810003青海省西宁市第四高级中学）
　　
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