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摘 要:解析几何中如何求曲线上的点与一个定点的最值问题,往往学生都习惯于利用直线方程与圆锥曲线联立,应用根与系数的关系,将最值问题转化为相关函数问题和不等式问题去求解,有时这样解决问题是很困难,甚至无路可走。而笔者从一个简单问题入手,化繁为简,化难为易,为学生解决数学难题提供了一条重要的思路,充分显示了化归在解决数学问题中的重要作用。
关键词:命题 变式 应用
【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0173-01
在平面解析几何中,有关焦点问题是解题中的一个非常重要的问题。其中曲线上的点到焦点的距离的最值又是一类重要问题,对这一问题如果不从本质上理解,往往会造成思维定势,在解决有关圆锥曲线上的点到一个定点的距离这一类问题时,造成错误。下面以椭圆为例说明这一类问题的解法思路。
一 命题
在椭圆方程+=1(a>b>0)中,F1、F2分别是左、右焦点,A1、A2分别是左、右顶点,则椭圆上的点P到右焦点的距离中最大值为|A1 F2|,最小值为|A2 F2|。
证明:设P(x,y)、F2(c,0)其中 c=且y2=b2-x2,
则|P F2|==,x∈[-a,a]。
设u=x2-2cx+a2,x∈[-a,a],函数的对称轴方程为x=>a,
函数u在x∈[-a,a]上单调递减,所以,当x=-a时umax=(a+c)2;当 x=a时,umin=(a-c)2。即点P到右焦点的距离中最大值为|A1 F2|,最小值为|A2 F2|。
二 变式
如果在命题1中,将F2改为Q(t,0)(t>0),求|PQ|的最小值。
解:设P(x,y),且y2=b2-x2,
|PQ|==,x∈[-a,a]。
设u=x2-2tx+t2+b2,x∈[-a,a],函数的对称轴方程为x=,
当0 当t≥,∴x=a时,umin=(c-t)2+b2,,|PQ|min=。(公式2)
从变式中可以看出,如何将问题转化为函数问题求解,特别对参变量的讨论是解题中的难点。在应用中如何将问题转化为曲线上的点与一个定点的距离的最值,这样问题就迎刃而解了。当然,将定点改为y轴上的点也可求之。将定点再一般化是否也可,请读者试之。
三 应用
1.已知椭圆方程C:+=1,E(3,0),设P是椭圆C上的一个动点,求|PE|的最小值。
分析:因为t=3,满足公式1,把b=3,c=3代入,即可得|PE|min=。
解:设P(x,y),且+=1,则y2=9-,x∈[-6,6],
|PE|==。
设u=x2-6x+18,x∈[-6,6],函数u的对称轴方程为x=4,所以,当x=4时,umin=6,所以,|PE|min=。
[变式]:已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求 的最小值。
分析:常规思路,设PQ的直线方程y=kx+b,把y=kx+b+=1得关于x的一元二次方程,然后利用根与系数的关系转化为P、Q两点的横坐标之间的关系,再应用EP⊥EQ,得到k与b的关系,最后把表达成k或b的关系式,利用有关函数知识应该能解决之。但问题的解决工作量太大,真的解决起來可能难度很大。
我们换一种角度,从结论入手分析将其转化可能会柳暗花明又一村;不妨我们来分析一下结论,=(-)=2
-,而EP⊥EQ,所以=0。所以=2=2,把问题转化为求在曲线上找一点到一个定点的距离最小,从而化归为上述问题即可解决。
[拓展1]如图,已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点E(3,0),设点P、Q是 椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求的最小值。
分析、解决这道题的关键是:首先根据题意求出椭圆方程,解决第一问;然后把第二问问题转化为上述变式问题即可。
解:(Ⅰ)由 e=,所以=。
设a=2k,c=k,所以b=k(k>0)。
又|AB|=ab,即=ab,∴k=3,a=6,b=3。
所以椭圆C的方程为:+=1。
(Ⅱ)设P(x,y)且+=1,则y2=9-,x∈[-6,6]。因为EP⊥EQ,所以=0。
又=(-)=2-2=2
=(x-3)2+y2=-x-6x+18
设u=x2-6x+18,x∈[-6,6],函数u的对称轴方程为x=4,
所以,当x=4时,umin=6即()min=6,
[拓展2]已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2,当•=0时,有9•=2。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求的最大值。
分析:在第一问中,不难求出a2=2,则椭圆M方程为+y2=1 。在第二问中,如果利用直线和圆锥曲线的关系来解决问题就误入邪路了。而将结论转化为=(()而=-。这样,问题转化为=PN2-2=2-2=2-1,即椭圆上的点到定点N(0,2)的距离的最小值问题,利用变式也就不难解决之。
从以上两例拓展中可以看出,对于一些较复杂的数学问题,如果我们在教学中能很好地加以去伪存真、画龙点睛,把复杂问题简单化,学生的解题思路就能从解决问题的源头去思考。因此,在教学中要重视基础知识、基本技能,不仅能提高学生的学习兴趣,提高成绩,有些老师在教学中一味地强调技巧,而忽视基础知识、基本技能,这样不仅不利于教学质量的提高,反而使学生容易形成厌学情绪。所以这样的题组教学,要让学生从易到难,有浅入深,增加学习的兴趣。
关键词:命题 变式 应用
【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0173-01
在平面解析几何中,有关焦点问题是解题中的一个非常重要的问题。其中曲线上的点到焦点的距离的最值又是一类重要问题,对这一问题如果不从本质上理解,往往会造成思维定势,在解决有关圆锥曲线上的点到一个定点的距离这一类问题时,造成错误。下面以椭圆为例说明这一类问题的解法思路。
一 命题
在椭圆方程+=1(a>b>0)中,F1、F2分别是左、右焦点,A1、A2分别是左、右顶点,则椭圆上的点P到右焦点的距离中最大值为|A1 F2|,最小值为|A2 F2|。
证明:设P(x,y)、F2(c,0)其中 c=且y2=b2-x2,
则|P F2|==,x∈[-a,a]。
设u=x2-2cx+a2,x∈[-a,a],函数的对称轴方程为x=>a,
函数u在x∈[-a,a]上单调递减,所以,当x=-a时umax=(a+c)2;当 x=a时,umin=(a-c)2。即点P到右焦点的距离中最大值为|A1 F2|,最小值为|A2 F2|。
二 变式
如果在命题1中,将F2改为Q(t,0)(t>0),求|PQ|的最小值。
解:设P(x,y),且y2=b2-x2,
|PQ|==,x∈[-a,a]。
设u=x2-2tx+t2+b2,x∈[-a,a],函数的对称轴方程为x=,
当0
从变式中可以看出,如何将问题转化为函数问题求解,特别对参变量的讨论是解题中的难点。在应用中如何将问题转化为曲线上的点与一个定点的距离的最值,这样问题就迎刃而解了。当然,将定点改为y轴上的点也可求之。将定点再一般化是否也可,请读者试之。
三 应用
1.已知椭圆方程C:+=1,E(3,0),设P是椭圆C上的一个动点,求|PE|的最小值。
分析:因为t=3,满足公式1,把b=3,c=3代入,即可得|PE|min=。
解:设P(x,y),且+=1,则y2=9-,x∈[-6,6],
|PE|==。
设u=x2-6x+18,x∈[-6,6],函数u的对称轴方程为x=4,所以,当x=4时,umin=6,所以,|PE|min=。
[变式]:已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求 的最小值。
分析:常规思路,设PQ的直线方程y=kx+b,把y=kx+b+=1得关于x的一元二次方程,然后利用根与系数的关系转化为P、Q两点的横坐标之间的关系,再应用EP⊥EQ,得到k与b的关系,最后把表达成k或b的关系式,利用有关函数知识应该能解决之。但问题的解决工作量太大,真的解决起來可能难度很大。
我们换一种角度,从结论入手分析将其转化可能会柳暗花明又一村;不妨我们来分析一下结论,=(-)=2
-,而EP⊥EQ,所以=0。所以=2=2,把问题转化为求在曲线上找一点到一个定点的距离最小,从而化归为上述问题即可解决。
[拓展1]如图,已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点E(3,0),设点P、Q是 椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,求的最小值。
分析、解决这道题的关键是:首先根据题意求出椭圆方程,解决第一问;然后把第二问问题转化为上述变式问题即可。
解:(Ⅰ)由 e=,所以=。
设a=2k,c=k,所以b=k(k>0)。
又|AB|=ab,即=ab,∴k=3,a=6,b=3。
所以椭圆C的方程为:+=1。
(Ⅱ)设P(x,y)且+=1,则y2=9-,x∈[-6,6]。因为EP⊥EQ,所以=0。
又=(-)=2-2=2
=(x-3)2+y2=-x-6x+18
设u=x2-6x+18,x∈[-6,6],函数u的对称轴方程为x=4,
所以,当x=4时,umin=6即()min=6,
[拓展2]已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2,当•=0时,有9•=2。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求的最大值。
分析:在第一问中,不难求出a2=2,则椭圆M方程为+y2=1 。在第二问中,如果利用直线和圆锥曲线的关系来解决问题就误入邪路了。而将结论转化为=(()而=-。这样,问题转化为=PN2-2=2-2=2-1,即椭圆上的点到定点N(0,2)的距离的最小值问题,利用变式也就不难解决之。
从以上两例拓展中可以看出,对于一些较复杂的数学问题,如果我们在教学中能很好地加以去伪存真、画龙点睛,把复杂问题简单化,学生的解题思路就能从解决问题的源头去思考。因此,在教学中要重视基础知识、基本技能,不仅能提高学生的学习兴趣,提高成绩,有些老师在教学中一味地强调技巧,而忽视基础知识、基本技能,这样不仅不利于教学质量的提高,反而使学生容易形成厌学情绪。所以这样的题组教学,要让学生从易到难,有浅入深,增加学习的兴趣。