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高中只给出了圆和椭圆的切线的定义,那就是和圆(或椭圆)只有1个交点的直线。那么与曲线只有一个交点的一定是该曲线的切线吗?答案肯定不是,因为抛物线与双曲线就不一定,那么该如何准确理解切线的定义呢?
一、切线的定义
如图,直线PQ与曲线C相交于P、Q两点;直线PQ叫作曲线C的割线;当点Q沿曲线C在P点左、右两侧无限逼近点P时,若割线PQ无限逼近一条直线PT,那么直线PT叫作曲线C在点P处的切线。
根据切线的定义,我们不难发现:(1)直线或由直线段连接而成的曲线没有切线;(2)由两条曲线段(非直线段)连接而成的曲线,在连接点处不一定有切线。例如函数 ,令P(0,3),如图,当点Q在P点左侧逼近P点时, ,当点Q在P点右侧逼近P点时, ;所以当点Q在P点左、右两侧逼近P点时,割线PQ并不逼近一条固定直线,即过P点无切线。
二、圆锥曲线的切线与函数图象的切线之间的区别
(1)在圆锥曲线中,切线与曲线有且只有一个公共点;求切线方程的一般方法为:联立切线方程与圆锥曲线方程,消元后,由判别式 求解;在函数图象中,三角函数、高次(三次、四次、…)函数图象,切线与函数图象不一定只有一个公共点;求切线方程的一般方法为:求导函数 ,若切点坐标为 ,则切线斜率 ,点斜式写出切线方程。
例1、求过点 且与抛物线 相切的直线方程。
解:设切线方程为: ,联立方程组
点评:过圆锥曲线外部一点,有两条切线;过圆锥曲线上一点,有一条切线;过圆锥曲线内部一点,无切线;本题易丢失竖直切线 。
例2、(1)求曲线C: 在原点(0,0)处的切线,并说明切线与曲线有几个公共点。
(2)求三角函数 在点 处的切线方程及公共点的坐标
点评:(1)注意区分“在一点的切线(该点为切点)”与“过一点的切线(该点不一定为切点)”是两个不同的概念;
(2)若P点不是切点,应先设切点,再结合导数的几何意义求切线方程。
(3)在圆锥曲线中,连续曲线在其切线的同一侧;在函数图象中,函数图象可能分布在切线的两侧。
一、切线的定义
如图,直线PQ与曲线C相交于P、Q两点;直线PQ叫作曲线C的割线;当点Q沿曲线C在P点左、右两侧无限逼近点P时,若割线PQ无限逼近一条直线PT,那么直线PT叫作曲线C在点P处的切线。
根据切线的定义,我们不难发现:(1)直线或由直线段连接而成的曲线没有切线;(2)由两条曲线段(非直线段)连接而成的曲线,在连接点处不一定有切线。例如函数 ,令P(0,3),如图,当点Q在P点左侧逼近P点时, ,当点Q在P点右侧逼近P点时, ;所以当点Q在P点左、右两侧逼近P点时,割线PQ并不逼近一条固定直线,即过P点无切线。
二、圆锥曲线的切线与函数图象的切线之间的区别
(1)在圆锥曲线中,切线与曲线有且只有一个公共点;求切线方程的一般方法为:联立切线方程与圆锥曲线方程,消元后,由判别式 求解;在函数图象中,三角函数、高次(三次、四次、…)函数图象,切线与函数图象不一定只有一个公共点;求切线方程的一般方法为:求导函数 ,若切点坐标为 ,则切线斜率 ,点斜式写出切线方程。
例1、求过点 且与抛物线 相切的直线方程。
解:设切线方程为: ,联立方程组
点评:过圆锥曲线外部一点,有两条切线;过圆锥曲线上一点,有一条切线;过圆锥曲线内部一点,无切线;本题易丢失竖直切线 。
例2、(1)求曲线C: 在原点(0,0)处的切线,并说明切线与曲线有几个公共点。
(2)求三角函数 在点 处的切线方程及公共点的坐标
点评:(1)注意区分“在一点的切线(该点为切点)”与“过一点的切线(该点不一定为切点)”是两个不同的概念;
(2)若P点不是切点,应先设切点,再结合导数的几何意义求切线方程。
(3)在圆锥曲线中,连续曲线在其切线的同一侧;在函数图象中,函数图象可能分布在切线的两侧。