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概率与统计以其独特的研究对象和研究方法,在中学数学中是相对独立的,但是,概率与统计试题的背景与日常生活最贴近,联系最为紧密,不管是从内容上,还是从思想方法上,都体现着应用的观念与意识,在展现分类讨论、化归思想的同时,培养同学们解决问题的能力.
在高考解答题中,理科重点考查随机变量的分布列与期望,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复事件的概率等,穿插考查计数原理知识、合情推理能力和有关优化决策能力.
【例1】(2009全国卷Ⅱ文)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人。现采用分层抽样(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.
【分析】第一问直接利用分层统计原理即可得人数,第二问注意要用组合公式得出概率,第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义,从而正确分类求概率。
【解】(Ⅰ)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人。
(Ⅱ)记表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则
P(A)=C14C16C210=815
(Ⅲ)Ai表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人,i=0,1,2
Bj表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人,j=0,1,2
B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人。
Ai与Bj独立,i,j=0,1,2,且B=A0•B2+A1•B1+A2•B0
故P(B)=P(A0•B2+A1•B1+A2•B0)
=P(A0)•P(B2)+P(A1)•P(B1)+P(A2)•P(B0)
=C24C210•C24C210+C14C16C210•C16C14C210+C26C210•C26C210=3175
所以抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率为3175.
【点评】本题考查概率统计知识,要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力,注意正确选择恰当的计数原理.
【例2】(2009四川卷文)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 .
【分析】这是一道典型的排列组合题,在解题时要注意对特殊元的处理,遵循“特殊元优先”的原则,从而找到解题的切入点.
解:从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C23A22=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻,只有把男生乙排在A、B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有12×4=48种不同排法。
【点评】通过本题的解题过程,可发现在解题时,要熟练掌握“捆绑法”、“插空法”、“隔板法”等排列组合的常规方法.
【例3】(08•重庆高考)在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:(Ⅰ)恰有两道题答对的概率;(Ⅱ)至少答对一道题的概率.
【分析】第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验,因此可直接计算;第(Ⅱ)小题可以考虑利用正面解答,但若考虑其对立事件进行解答,则更加简捷.
【解】“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由独立重复试验的概率计算公式得:
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为P4(2)=C24(14)2(34)2=27128.
(Ⅱ)解:至少有一道题答对的概率为1-P4(0)=1-C04(14)0(34)4=1-81256=175256.
【点评】本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.
【例4】(2009四川卷理)为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中34是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡,在省内游客中有23持银卡。
(Ⅰ)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;
(Ⅱ)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ。
【分析】本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察运用概率解决实际问题的能力。
【解】(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,
事件A1为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,
事件A2为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。
P(B)=P(A1)+P(A2)=C19C221C336+C19C16C121C336=934+27170=3685.
所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685。
(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3
P(ξ=0)=C33C39=184,P(ξ=1)=C16C23C39=314
P(ξ=2)=C26C13C39=1528,P(ξ=3)=C36C39=521
所以ξ的分布列为
ξ0123
P1843141528521
所以Eξ=0×184+1×314+2×1528+3×521=2.
【点评】求离散型随机变量的分布列有三个步骤:①明确随机变量X取哪些值;②计算随机变量X取每一个值时的概率;③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与结合知识.
【例5】(08全国Ⅱ高考)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999104.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
【分析】第(Ⅰ)小题利用对立事件,并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出险的概率p;第(Ⅱ)小题首先求投保的10000人中出险的人数ξ的期望,再利用期望的线性关系的性质求取盈利期望Eη的值.
【解】各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p,
记投保的10000人中出险的人数为ξ,则ξ～B(104,p).
(Ⅰ)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金,则A发生当且仅当ξ=0,
P(A)=1-P(A)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104
又P(A)=1-0.999104,故p=0.001.
(Ⅱ)该险种总收入为10000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.
支出 10000ξ+50000,
盈利η=10000a-(10000ξ+50000),
盈利的期望为 Eη=10000a-10000Eξ-50000,
由ξ～B(104,10-3)知,Eξ=104×10-3,
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.
Eη≥0104a-104×104×10-3-5×104≥0(a≥15(元).
故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
【点评】本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计算一般不利用求解离散型随机变量X的期望与方差的方法求解,因计算较为繁琐,而是根据其自身的期望与方差的计算公式,常可使问题得到快速的解决.
【例5】(2008全国Ⅰ20)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.
【分析】(Ⅰ)中根据题意,确定两种方案所需化验次数的所有可能取值,由排列组合知识求出相应的概率;(Ⅱ)根据分布表,运用公式求得期望.
【解】(Ⅰ)方案甲的分布表为:
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望,以及根据分布列进行比较方案优劣,在求解分布列时根据题意明确可能的所有取值是解答此题的易错之处.由于本题涉及到的数据较多,交叉性也较强,因此容易把对应的数据搞错.
从以上例题可以看出,概率统计及计数原理的试题与实际生活密切相关,往往以实际问题为背景,结合排列、组合,甚至算法、函数、数列等知识,试题难度均不大,但重视基础知识和基本技能,而且试题通常是通过对常见题型进行改编,通过对基础知识的整合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧的实际问题.所以我们在复习过程中,要注意夯实基础知识,强化双基训练,把握基本题型,熟悉常规解法,才能进一步增强应用意识,提高应用和解题能力.
在高考解答题中,理科重点考查随机变量的分布列与期望,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复事件的概率等,穿插考查计数原理知识、合情推理能力和有关优化决策能力.
【例1】(2009全国卷Ⅱ文)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有10名工人,其中有6名女工人。现采用分层抽样(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.
【分析】第一问直接利用分层统计原理即可得人数,第二问注意要用组合公式得出概率,第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义,从而正确分类求概率。
【解】(Ⅰ)由于甲、乙两组各有10名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核,则从每组各抽取2名工人。
(Ⅱ)记表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则
P(A)=C14C16C210=815
(Ⅲ)Ai表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人,i=0,1,2
Bj表示事件:从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人,j=0,1,2
B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人。
Ai与Bj独立,i,j=0,1,2,且B=A0•B2+A1•B1+A2•B0
故P(B)=P(A0•B2+A1•B1+A2•B0)
=P(A0)•P(B2)+P(A1)•P(B1)+P(A2)•P(B0)
=C24C210•C24C210+C14C16C210•C16C14C210+C26C210•C26C210=3175
所以抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率为3175.
【点评】本题考查概率统计知识,要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力,注意正确选择恰当的计数原理.
【例2】(2009四川卷文)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 .
【分析】这是一道典型的排列组合题,在解题时要注意对特殊元的处理,遵循“特殊元优先”的原则,从而找到解题的切入点.
解:从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有C23A22=6种不同排法),剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在A、B之间(若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻,只有把男生乙排在A、B之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,所以,共有12×4=48种不同排法。
【点评】通过本题的解题过程,可发现在解题时,要熟练掌握“捆绑法”、“插空法”、“隔板法”等排列组合的常规方法.
【例3】(08•重庆高考)在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:(Ⅰ)恰有两道题答对的概率;(Ⅱ)至少答对一道题的概率.
【分析】第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验,因此可直接计算;第(Ⅱ)小题可以考虑利用正面解答,但若考虑其对立事件进行解答,则更加简捷.
【解】“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由独立重复试验的概率计算公式得:
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率为P4(2)=C24(14)2(34)2=27128.
(Ⅱ)解:至少有一道题答对的概率为1-P4(0)=1-C04(14)0(34)4=1-81256=175256.
【点评】本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.
【例4】(2009四川卷理)为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中34是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡,在省内游客中有23持银卡。
(Ⅰ)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;
(Ⅱ)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ。
【分析】本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察运用概率解决实际问题的能力。
【解】(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,
事件A1为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,
事件A2为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。
P(B)=P(A1)+P(A2)=C19C221C336+C19C16C121C336=934+27170=3685.
所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685。
(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3
P(ξ=0)=C33C39=184,P(ξ=1)=C16C23C39=314
P(ξ=2)=C26C13C39=1528,P(ξ=3)=C36C39=521
所以ξ的分布列为
ξ0123
P1843141528521
所以Eξ=0×184+1×314+2×1528+3×521=2.
【点评】求离散型随机变量的分布列有三个步骤:①明确随机变量X取哪些值;②计算随机变量X取每一个值时的概率;③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与结合知识.
【例5】(08全国Ⅱ高考)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999104.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p;(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
【分析】第(Ⅰ)小题利用对立事件,并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出险的概率p;第(Ⅱ)小题首先求投保的10000人中出险的人数ξ的期望,再利用期望的线性关系的性质求取盈利期望Eη的值.
【解】各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p,
记投保的10000人中出险的人数为ξ,则ξ～B(104,p).
(Ⅰ)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金,则A发生当且仅当ξ=0,
P(A)=1-P(A)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104
又P(A)=1-0.999104,故p=0.001.
(Ⅱ)该险种总收入为10000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.
支出 10000ξ+50000,
盈利η=10000a-(10000ξ+50000),
盈利的期望为 Eη=10000a-10000Eξ-50000,
由ξ～B(104,10-3)知,Eξ=104×10-3,
Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.
Eη≥0104a-104×104×10-3-5×104≥0(a≥15(元).
故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
【点评】本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计算一般不利用求解离散型随机变量X的期望与方差的方法求解,因计算较为繁琐,而是根据其自身的期望与方差的计算公式,常可使问题得到快速的解决.
【例5】(2008全国Ⅰ20)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ的期望.
【分析】(Ⅰ)中根据题意,确定两种方案所需化验次数的所有可能取值,由排列组合知识求出相应的概率;(Ⅱ)根据分布表,运用公式求得期望.
【解】(Ⅰ)方案甲的分布表为:
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望,以及根据分布列进行比较方案优劣,在求解分布列时根据题意明确可能的所有取值是解答此题的易错之处.由于本题涉及到的数据较多,交叉性也较强,因此容易把对应的数据搞错.
从以上例题可以看出,概率统计及计数原理的试题与实际生活密切相关,往往以实际问题为背景,结合排列、组合,甚至算法、函数、数列等知识,试题难度均不大,但重视基础知识和基本技能,而且试题通常是通过对常见题型进行改编,通过对基础知识的整合、变式和拓展,从而加工为立意高、情境新、设问巧的实际问题.所以我们在复习过程中,要注意夯实基础知识,强化双基训练,把握基本题型,熟悉常规解法,才能进一步增强应用意识,提高应用和解题能力.