【摘要】利用体积法或向量法求点到平面的距离间接求得直线与平面所成的角.
　　【关键词】点；平面；距离；角
　　求直线与平面所成的角是近几年高考在立体几何方面的命题热点，也是考查学生空间想象能力的较好的知识点，一般地是根据定义找出这直线在平面的射影，但有时比较难确定该直线在平面内的射影；当直线在平面内的射影不易确定时我们就可以另辟路径，把线面角转化为点到平面距离来求可能柳暗花明轻松求解，此时直线与平面所成的角的正弦值等于该点到平面的距离除以该点和直线与平面交点的线段长.利用棱锥体积把“点面距离”转化为“棱锥的高”来求，或利用向量的数量积来确定射影点来求点面距离.下面以今年高考一试题为例说明用法，以期抛砖引玉.
　　例 （2011年全国卷）如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.
　　（1）证明：SD⊥平面SAB；
　　（2）求AB与平面SBC所成的角的大小.
　　一、体积法
　　在三棱锥P-ABC，若三棱锥P-ABC的体积与△ABC面积可求，利用VP-ABC=VC-PAB可求出P到平面ABC的距离.
　　证明 （1）连接BD，由已知易算得AD=BD=5.
　　∴SD2+SA2=AD2，SD2+SB2=BD2，
　　即SD⊥SA，SD⊥SB.
　　从而SD⊥平面SAB.
　　解 （2）由（1）知SD⊥平面SAB，则
　　VD-SAB=13S△SAB•SD=13•34•22×1=33.
　　∴VS-ABC=VS-ABD=VD-SAB=33.
　　设A到平面SBC的距离为h,
　　由于VA-SBC=VS-ABC=33，VA-SBC=13S△SBC•h，
　　又由于SD⊥AB，AB∥CD，则
　　SD⊥CD，SC=SD2+CD2=2.
　　∴cos∠SBC=BS2+BC2-SC22BS•BC=4+4-22×2×2=34.
　　从而有sin∠SBC=74，S△SBC=12SB•BC•sin∠SBC=72，
　　∴h=3VA-SBCS△SBC=3×33×27=2217.
　　设AB与平面SBC所成的角为θ，则sinθ=AHAB=217.
　　∴AB与平面SBC所成的角为arcsin217.
　　二、向量法
　　设该点P在平面ABC内的射影是O，设AO=mAB+nAC，则PO=PA+mAB+nAC，利用PO⊥AB，PO⊥AC，求出待定系数m，n，从而可求出点P到平面ABC的距离.
　　证明 （1）连接BD，由已知易算得AD=BD=5.
　　∴SD2+SA2=AD2，SD2+SB2=BD2，
　　即SD⊥SA，SD⊥SB.
　　从而SD⊥平面SAB.
　　（2）由（1）知SD⊥平面SAB，有SD⊥AB，又AB∥CD，由SD⊥CD，SC=SD2+CD2=2，
　　cos∠SBC=BS2+BC2-SC22BS•BC=4+4-22×2×2=34，
　　BS•BC=|BS|•|BC|•cos∠SBC=3，
　　AB•BS=|AB|•|BS|•cos(π-∠ABS)=-2.
　　过点A作AH⊥平面SBC，垂足为H，设BH=mBC+nBS，则
　　AH=AB+BH=AB+mBC+nBS.
　　由AH⊥BC，AH⊥BS，则有
　　AH•BC
　　=(AB+mBC+nBS)•BC
　　=AB•BC+mBC•BC+nBS•BC
　　=4m+3n=0.①
　　AH•BS
　　=(AB+mBC+nBS)•BS
　　=AB•BS+mBC•BS+nBS•BS
　　=-2+3m+4n=0.②
　　由①②，解得m=-67,n=87.
　　∴AH=AB-67BC+87BS，
　　|AH|2=AB-67BC+87BS2
　　=|AB|2+3649|BC|2+6449|BS|2-127AB•BC+ 167AB•BS-9649BC•BS
　　=4+3649×4+6449×4-0+167×(-2)-9649×3
　　=8449，
　　∴|AH|=2217.
　　设AB与平面SBC所成的角为θ，则sinθ=AHAB=217.
　　∴AB与平面SBC所成的角为arcsin217.