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《义务教育数学课程标准(2011年版)》对于“用数对确定位置”的教学,有以下说明:“需要先在方格纸上标明正整数的刻度,希望学生能够把握数对与方格纸上点(行列或者列行)的对应关系,并且知道不同的数对之间可以进行比较,这个过程有利于学生将来直观理解直角坐标系。”[1]特级教师周卫东近日在我校以“小鸭在哪儿”为题,引导四年级学生学习“用数对确定位置”,可谓深刻体现了这一主旨。
【片段一】为什么是数对?
教学开始,老师出示
师:如何表示小鸭走到了哪里?
生:小鸭从0点出发向右走了5格。
师:这位同学的回答包含了两条信息:一是向右,二是5格。
生:如果只有方向没有距离,不能确定小鸭的位置;如果只有距离而没有方向,也不能确定小鸭的位置。
师:小鸭不满足于在一条线上行走,(随机板书:线)世界这么大——
生:我想去看看。
老师接着出示
师:怎样表示小鸭现在的位置呢?
生1:小鸭在第一格的上面。
生2:需要知道小鸭与横线的距离。
生3:再加一条竖着的标注距离的线,就可以准确描述小鸭的位置了。
老师让学生根据讨论的想法,画出需要的元素,学生统一到下图:
师:那么这个点和哪两条线有关系?
学生上黑板比画如下:
师:那我们可以看到小鸭现在的位置分明就是两条线的交点,即——
生:第1列第2行。
师:小鸭又游到了B和C的位置,如下图,怎么表示?
生1:第2列第1行。
生2:第4列第3行。
师:画面上这样的点还有很多吧?为了研究的方便,老师把网格画全,那么左下角这个点是否可以优化一下?
生:把两个0写成一个0就好。
师:数学家在研究描述位置的时候,从未停止过脚步,而且数学是人类共同的语言,我们这样的描述既不简单,也不容易推广,你们觉得可以怎样描述更好一些?
生1:列2行1。
生2:因为有中文,不好。
生3:1∕2。
生4:也不好,容易和分数混淆。
生5:2| 1—。
生6:虽然好理解,但“|”和“—”容易和罗马数字混淆,也不太美观。
生7:1,2。
生8:既简洁,又容易理解,只是1和2应该是一个整体,如果加一个括号就更好了。
【赏析】确定物体的位置,在生活中是结合方位词来描述的,常用的方位词有:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北、上、中、下、前、后、左、右、里、外。如果表述座位或者队列中的位置,常用的方位词是:第几排第几个。因此,周老师在教学起始之际,让学生用方向和距离描述直线上的行走路径,前述方位词足够满足定位需要。但是,小鸭要去看世界,不在同一条线上游走了,那仅用方位词就不够了,这就需要创造新的数学方法。
回顾片段一的教学,要表示出物体的动态或者说运动中的位置,显然学生曾经的所学无法满足需求。周老师也正是以此为任务,逼迫着学生将横线上的思考“立”起来,构成两个维度上的方向及距离。这样,学生在平衡之处失衡,同时重新寻找平衡,即同化与顺应同时发生,直角坐标系这个本属于未来的知识,被学生表征了出来。
同时,老师让学生用自己的方式表达坐标系中的点,学生在创造符号的过程中,感悟了数学之所以深刻,是因为其任何一次扩张,都是一种思维的提升,其每一个规定,都是出于准确性的需要。这样在否定肯定各种数对的表达中,学生明显能感受到自己智力在拓开,那么创新这种品质因为有了经验的积累,便积淀成了素养,化作学生的下意识。
【片段二】数对有什么用?
师:你能设计四只小鸭排成一个花样游泳的图案吗?用数对表示它们的位置。
生:(1,4)、(3,4)、(1,2)、(3,2),它们排成了一个正方形。
师:先横着看,再竖着看,发现了什么规律?
生:横着看,竖着看,每两只小鸭相隔的距离都相等。
师:我们来消化一下这位同学的发现,能用数对间的关系来解释你的发现吗?
生:(1,4)、(3,4)这两只小鸭在同一行上,3-1=2格,同样(1,2)、(3,2)这两只小鸭在同一行上,还是3-1=2格;而(1,4)、(1,2)这两只小鸭在同一列上,4-2=2格,同样(3,4)、(3,2),这两只小鸭在同一列上,还是4-2=2格。
师:河面上还剩下2只小鸭,小白鸭说“我来做原点”,小黄鸭在哪里?
生:(1,1)。
师:小黄鸭再动一动,游到了哪里?如下图:
生:(2.5,2.5)。
师:哪里来的2.5?
生:再画两条线就好了。(上台在PPT上描述这两条线相交于小黄鸭。)
师:是呀,不是所有的数字都会明明白白地写出来,我们还可以在脑海里想象出没有画出的知识。
师:小黄鸭再动一动,游到了哪里?
生:(1,1)。
师:两只小鸭玩累了,竟睡着了,轴也漂走了(如下图),当小白鸭醒来睁开眼一看,发生了什么?
生:小白鸭的位置由(0,0)变成了(1,1),小黄鸭的位置由之前的(1,1)变成了(2,2)。
师:看来位置由谁决定?
生:轴。
师:轴由谁决定?
生:原点。原点动了,轴也就动了。
师:小黄鸭说“我再动一下”,如下图,到哪儿了?
生:(-2,2)。
【赏析】有了纵横两个维度,点和数对就一一对应了起来,有了数对,我们就可以研究物体的位置规律了。在片段二的教学中,周老师先是通过学生自行设计小鸭花样游泳成正方形,来感受为什么要建立点与数对的关系。正如张奠宙先生所言:“为什么要建立数对和格点之间的对应关系呢?是为了今后建立坐标系,为了研究曲线和方程。当然,小学里不可能也不必要说清楚建立坐标系的真正意义,但举几个容易体现坐标价值的示例还是不难做到的。”[2]所以老师在课堂中引导学生分析“每两只小鸭相隔的距离为什么都相等”。当然,如果再往前走一步,让学生感受(1,2)、(1,4)构成的边向右平移两格便是(3,2)、(3,4),(1,2)、(3,2)构成的边向上平移两格便是(1,4)、(3,4),学生会感悟并积累对形的分析可以借助数的运算,数的运算也可以由形的直观支撑。
事实上,用数来描述几何图形,其目的正是为了数形结合,学生看到了根据数对的某种特性,在几何学上就可以表现出许多不同的直线。所以不乏名师们会设计(x,3)、(3,x)、(x,x)、(x,y)之类的变式辨析,就是同一个道理。
尤其值得再提及的是,周老师没有让学生的数学眼光局限于第一象限,轴漂走了小黄鸭游到了轴外的设计,既让学生体悟到了位置的相对性,又让学生经历了整数对无法确定位置的失衡,从而将思维打开,负数就满足重新建立平衡的需要,尽管这些知识是中学的,但学生已然明了为什么象限需要补充。不乏老师喜欢教学生用未来的知识解决当下的问题,可谓拔苗助长;但是周老师却引导学生用眼前的知识解决了未来的问题,学生的智力边疆得以拓宽,思维品质得以加厚,这样才算真正把学生当作学习的主体,才算学习深度发生。
总之,纵观上述两个片段的教学,周老师引领学生从线上点的位置确定,迁移到用有序的整数数对、负数数对,确定面上的点的位置,感悟着代数数对对形的抽象;而且注重引导学生关注起始点、标注两個方向的刻度、定数对的顺序,并据此渗透其几何与图形教学的价值,这正是有效教学要实现的过程性目标。同时,将点动起来,将数对代数化、关系化,又为今后学习变量、运动类的数学播下了种子。因为学生对数对的表征,已与未来的平面直角坐标系相吻合,这种高于生活的几何学表示,正是笛卡尔当年提出的解析几何的思想内涵。
(作者单位:江苏省南京师范大学苏州实验学校)
参考文献
[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2012:97.
[2]张奠宙,巩子坤等.小学数学教材中的大道理[M].上海:上海教育出版社,2018:225.
【片段一】为什么是数对?
教学开始,老师出示
师:如何表示小鸭走到了哪里?
生:小鸭从0点出发向右走了5格。
师:这位同学的回答包含了两条信息:一是向右,二是5格。
生:如果只有方向没有距离,不能确定小鸭的位置;如果只有距离而没有方向,也不能确定小鸭的位置。
师:小鸭不满足于在一条线上行走,(随机板书:线)世界这么大——
生:我想去看看。
老师接着出示
师:怎样表示小鸭现在的位置呢?
生1:小鸭在第一格的上面。
生2:需要知道小鸭与横线的距离。
生3:再加一条竖着的标注距离的线,就可以准确描述小鸭的位置了。
老师让学生根据讨论的想法,画出需要的元素,学生统一到下图:
师:那么这个点和哪两条线有关系?
学生上黑板比画如下:
师:那我们可以看到小鸭现在的位置分明就是两条线的交点,即——
生:第1列第2行。
师:小鸭又游到了B和C的位置,如下图,怎么表示?
生1:第2列第1行。
生2:第4列第3行。
师:画面上这样的点还有很多吧?为了研究的方便,老师把网格画全,那么左下角这个点是否可以优化一下?
生:把两个0写成一个0就好。
师:数学家在研究描述位置的时候,从未停止过脚步,而且数学是人类共同的语言,我们这样的描述既不简单,也不容易推广,你们觉得可以怎样描述更好一些?
生1:列2行1。
生2:因为有中文,不好。
生3:1∕2。
生4:也不好,容易和分数混淆。
生5:2| 1—。
生6:虽然好理解,但“|”和“—”容易和罗马数字混淆,也不太美观。
生7:1,2。
生8:既简洁,又容易理解,只是1和2应该是一个整体,如果加一个括号就更好了。
【赏析】确定物体的位置,在生活中是结合方位词来描述的,常用的方位词有:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北、上、中、下、前、后、左、右、里、外。如果表述座位或者队列中的位置,常用的方位词是:第几排第几个。因此,周老师在教学起始之际,让学生用方向和距离描述直线上的行走路径,前述方位词足够满足定位需要。但是,小鸭要去看世界,不在同一条线上游走了,那仅用方位词就不够了,这就需要创造新的数学方法。
回顾片段一的教学,要表示出物体的动态或者说运动中的位置,显然学生曾经的所学无法满足需求。周老师也正是以此为任务,逼迫着学生将横线上的思考“立”起来,构成两个维度上的方向及距离。这样,学生在平衡之处失衡,同时重新寻找平衡,即同化与顺应同时发生,直角坐标系这个本属于未来的知识,被学生表征了出来。
同时,老师让学生用自己的方式表达坐标系中的点,学生在创造符号的过程中,感悟了数学之所以深刻,是因为其任何一次扩张,都是一种思维的提升,其每一个规定,都是出于准确性的需要。这样在否定肯定各种数对的表达中,学生明显能感受到自己智力在拓开,那么创新这种品质因为有了经验的积累,便积淀成了素养,化作学生的下意识。
【片段二】数对有什么用?
师:你能设计四只小鸭排成一个花样游泳的图案吗?用数对表示它们的位置。
生:(1,4)、(3,4)、(1,2)、(3,2),它们排成了一个正方形。
师:先横着看,再竖着看,发现了什么规律?
生:横着看,竖着看,每两只小鸭相隔的距离都相等。
师:我们来消化一下这位同学的发现,能用数对间的关系来解释你的发现吗?
生:(1,4)、(3,4)这两只小鸭在同一行上,3-1=2格,同样(1,2)、(3,2)这两只小鸭在同一行上,还是3-1=2格;而(1,4)、(1,2)这两只小鸭在同一列上,4-2=2格,同样(3,4)、(3,2),这两只小鸭在同一列上,还是4-2=2格。
师:河面上还剩下2只小鸭,小白鸭说“我来做原点”,小黄鸭在哪里?
生:(1,1)。
师:小黄鸭再动一动,游到了哪里?如下图:
生:(2.5,2.5)。
师:哪里来的2.5?
生:再画两条线就好了。(上台在PPT上描述这两条线相交于小黄鸭。)
师:是呀,不是所有的数字都会明明白白地写出来,我们还可以在脑海里想象出没有画出的知识。
师:小黄鸭再动一动,游到了哪里?
生:(1,1)。
师:两只小鸭玩累了,竟睡着了,轴也漂走了(如下图),当小白鸭醒来睁开眼一看,发生了什么?
生:小白鸭的位置由(0,0)变成了(1,1),小黄鸭的位置由之前的(1,1)变成了(2,2)。
师:看来位置由谁决定?
生:轴。
师:轴由谁决定?
生:原点。原点动了,轴也就动了。
师:小黄鸭说“我再动一下”,如下图,到哪儿了?
生:(-2,2)。
【赏析】有了纵横两个维度,点和数对就一一对应了起来,有了数对,我们就可以研究物体的位置规律了。在片段二的教学中,周老师先是通过学生自行设计小鸭花样游泳成正方形,来感受为什么要建立点与数对的关系。正如张奠宙先生所言:“为什么要建立数对和格点之间的对应关系呢?是为了今后建立坐标系,为了研究曲线和方程。当然,小学里不可能也不必要说清楚建立坐标系的真正意义,但举几个容易体现坐标价值的示例还是不难做到的。”[2]所以老师在课堂中引导学生分析“每两只小鸭相隔的距离为什么都相等”。当然,如果再往前走一步,让学生感受(1,2)、(1,4)构成的边向右平移两格便是(3,2)、(3,4),(1,2)、(3,2)构成的边向上平移两格便是(1,4)、(3,4),学生会感悟并积累对形的分析可以借助数的运算,数的运算也可以由形的直观支撑。
事实上,用数来描述几何图形,其目的正是为了数形结合,学生看到了根据数对的某种特性,在几何学上就可以表现出许多不同的直线。所以不乏名师们会设计(x,3)、(3,x)、(x,x)、(x,y)之类的变式辨析,就是同一个道理。
尤其值得再提及的是,周老师没有让学生的数学眼光局限于第一象限,轴漂走了小黄鸭游到了轴外的设计,既让学生体悟到了位置的相对性,又让学生经历了整数对无法确定位置的失衡,从而将思维打开,负数就满足重新建立平衡的需要,尽管这些知识是中学的,但学生已然明了为什么象限需要补充。不乏老师喜欢教学生用未来的知识解决当下的问题,可谓拔苗助长;但是周老师却引导学生用眼前的知识解决了未来的问题,学生的智力边疆得以拓宽,思维品质得以加厚,这样才算真正把学生当作学习的主体,才算学习深度发生。
总之,纵观上述两个片段的教学,周老师引领学生从线上点的位置确定,迁移到用有序的整数数对、负数数对,确定面上的点的位置,感悟着代数数对对形的抽象;而且注重引导学生关注起始点、标注两個方向的刻度、定数对的顺序,并据此渗透其几何与图形教学的价值,这正是有效教学要实现的过程性目标。同时,将点动起来,将数对代数化、关系化,又为今后学习变量、运动类的数学播下了种子。因为学生对数对的表征,已与未来的平面直角坐标系相吻合,这种高于生活的几何学表示,正是笛卡尔当年提出的解析几何的思想内涵。
(作者单位:江苏省南京师范大学苏州实验学校)
参考文献
[1]教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2012:97.
[2]张奠宙,巩子坤等.小学数学教材中的大道理[M].上海:上海教育出版社,2018:225.