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【摘 要】在数学实验中发展隐性知识的方式有很多种，除了完成既定的实验目标外，还可以由学生自主选择实验内容来实现。以“智慧珠”的实验为例，它不仅可以促进学生的“心理旋转”空间认知能力的发展，还可以让学生从这个实验材料的不同研究兴趣出发，自主选择实验内容后结伴而行，从而形成个性化的实验结果，感悟得出独特的见解，在自主选择的过程中促进学生的空间思维发展。
【关键词】数学实验；自主选择；高阶思维
小学数学“空间与图形”领域中属于图形的变换有“平移”“旋转”“对称”等，教学难点是“旋转”。有研究测试表明，小学生的“心理旋转”，空间认知是比较弱的，特别是立体图形的“心理旋转”学生往往束手无策。如果采用抽象的语言进行教学，显然连师生交流都会很困难。因为教材呈现的图形内容是静态的，学生看到的是图形变换的结果，图形变换过程的缺失是学生产生认知瓶颈的原因。要破解这一难点，教学中除了安排还原图形的运动过程为学生积累经验外，还可以通过数学实验加深学生的感悟，给学生充分的动手机会，实实在在地去实践，操作并体悟运动的过程。在实验过程中，学生的思维可以立体起来，从而产生平面到立体的“质飞跃”，突破“图形变换”的瓶颈问题，学生的空间认知思维由此也得以发展。
带着这样的思考，我们进行了“智慧珠”实验，总时长1小时，在初步认识实验材料之后，学生可按研究兴趣分组实验。
“智慧珠”由一个半圆形游戏盘和12组不同形状的珠胚组成，共有19887种平面组合方式，2582种立体组合方式，可见“智慧珠”的实验空间很大。单从12个珠胚（图1按字母取名）结构角度看，其蕴含的數学因素是丰富的。从数量角度看：有3珠的F，有4珠的A、J、K，另外是5珠的B、C、D、E、G、H、I、L；从形状对称角度看：不对称的有A、B、C、D、E，对称的有F、G、H、I、J、K、L；从形状来看：有一字形、V字形、十字形、方形……既然智慧胚珠有如此多的数学内涵，那么我们就应该把数学实验的维度进行拓宽，为学生提供能展开“心理旋转”的媒介，从而发展学生的高阶思维。另外，游戏的场景也是多元的，学生可以参与游戏场景的设计，由学生根据自己的解读去创新实验的方法、路径。学生不只是参与者，还可以是设计者、改造者，或是创造者，成为高阶思维者。
一、教学模块1：基础性“分解”实验
实验目标：多维解读胚珠的构成，体会数形结合思想。
实验材料：
（1）胚珠，A～L12个，两人一袋（图1）。
（2）半圆形游戏盘，每2人一个（图2）。
实验过程：
活动情境：分析胚珠（投影见图3）。
师：这是“智慧珠”，仔细观察，你发现了什么？如果把这些“智慧珠”分一分，你们会怎么分呢？
生：我会按照颜色分，红、黄、蓝……
师：好的，还有其他的想法吗？
生：按照形状分，L形、W形、V形……
师：这名学生的想法很好，我们可以用他的方法来给这些智慧珠命名，如“十”字形、“U”形……
生：老师，还可以按照对称来分，如W、V、U……
生：有两个U形，怎么办？
师：你们说呢？对了，可以是大U和小U，那为什么会有大U和小U呢？真奇怪呀！
生：老师，我知道，它们的数量不同。
生：我可以按照数量来分，如3个、4个、5个，一共是3类。
师：为了交流方便，我们可以用字母来命名这12个“智慧珠”……（A、B……L）
（设计意图：“智慧珠”的“胚珠”颜色各异、数量多样、形状不同，丰富的结构势必会刺激学生的思维起点。分类材料的结构直接影响了学生的思维。实验表明，三、四年级学生能够较好地进行“胚珠”分类。这个年龄阶段的学生的形象思维、抽象逻辑思维能力的发展已经形成。学生只有对思维对象的属性进行全面了解，才能促成其思维的广阔性和灵活性，使他们可能进行多种组合分析的分类。思维需要“静观”才能“深虑”，通过“近思”才能“远谋”。以静态的方式呈现智慧珠，有利于学生冷静地思考，理性地分析。关注“智慧珠”的类别不同，有利于学生分类、对应、数形等思想的形成，为实践操作打下理性的思维基础。）
师：我们已经认识了“智慧珠”，你觉得它有哪些玩法？
根据讨论，经过挑选，师生从中确定了以下两个实验，学生可以自选其中一个完成，也可以完成一个后再完成另一个。
二、教学模块2：选择性“高阶”实验
实验分析：
实验A：整体解读胚珠的构成，激发学生的实验兴趣，形成“数形结合”的观念。
实验B：设计拼组的背景图纸，培养学生的数形转换及推理能力，发展空间观念；根据图纸拼组胚珠，在实践中分析、探究、解决问题，发展学生的高阶思维。
实验材料：
（1）背景图纸（见图3）。
（2）半圆形游戏盘，每人一个（见图4）。
实验过程：
实验A：分析胚珠的组合形状，计算它的总数。
智慧珠的设计本身富含数学的结构（见图1），学生通过静心观察、深度思考就可以了解智慧珠整体的情况。独立思考后小组交流。此实验不需要教师指导，全由学生自行完成。
实验B：智慧珠的“家”（设计拼组图）。
（1）设计。
师：在画设计图之前，大家先来设想一下，智慧珠的“家”会是怎样的形状呢？
生：我觉得是圆形的，因为智慧珠是圆的（其实是球形）。
生：长方形、正方形、三角形……
师：如果要密铺，最小的“家”形状是怎样的呢？让我们来设计一下吧。
学生拿出图纸进行设计，然后交流。 生：（出示图5）5×11或11×5。
师：有道理，那还有其他可能吗？
生：正方形不可能。
生：正方形有可能，可以在长方形里面。里面是3×3，也可以是4×4，比如图6。
师：你的意思是可以在长方形的“家”里，划出正方形的“房间”，真厉害！
生：我画的是三角形的“家”（图7），这样正好55个，上面1，然后2、3、4……10，一共55个。1 2 3 4 …… 10=55。
师：那么，现在我们已经找到智慧珠的2个“家”，如果是刚才学生提到5×5的“家”，有可能吗？
生：不可能，55大于25，多了30个。
生：有可能。
师：你是怎么想的？
生：叠起来。
师：嗯，立体的也可以。多的30个在哪里呢？
师：我们来看图，金字塔型（见图8），它有55个你看出来了吗？
生：1 4 9 16 25=55（个）。
生：老师，我发现每一层都是正方形的。每一层的数量都是平方数：1，4，9，16，25。
（设计意图：数学是一门讲结构的学科。通过数量的计算，让学生从整体把握，逆推背景图的结构。学生从生活经验“圆形”判断开始，这是符合学生元认知特点的，真实且有价值。随着数形结合的推理，学生得出长方形背景的结论，就有了自己独特的思考，理性的成分要多一些。最后特殊的正方形呈现，既有部分与整体的区分，又有平面到立体架构的提升。这样的设计促使学生不断地去判断、思考、创造，其空间思维的火花在这一过程中不断闪现。）
（2）操作（见图9）。
师：同学们很厉害，已经找到了多种智慧珠的“家”，那赶快让它们回家吧！
学生根据自己的喜好，商量好选定一个“家”，长方形、正方形、平面立体都可以，一起试试吧！（下发底盘，两人一组 ，见图3）另外几组进行iPad游戏实验模拟。
实验之后交流反馈。
师：汇报一下，你们的实验情况。
生：老师，我们采用了3×3的方格，这个比较简单。
生：我們发现4颗长的那种不行。只有A、B……
师：只有A、B吗？
生：G、K也可以。
师：还有什么发现？
（iPad组）
生：老师，我发现最后一个旋转不行。
生：可以，翻过来……
师：翻过来，什么意思？
生：翻过来就是翻转。
师：对啊，图形变化除了平移、旋转，还可以翻转哦！大家试一试吧！（学生尝试）
（设计意图：“心理旋转”是人在头脑中运用表象对物体进行二维或三维旋转的想象过程，它是学生认知图形变换的短板。如果采用传统的教学语言进行交流，学生的“心理旋转”障碍难以逾越。通过实验物体的实际操作，学生建立“翻转”的动作感悟，有了实验的经验，认知自然得到螺旋提升。从平面抽象到立体的空间想象，从真实物体到类似物体，再从类似物体到抽象物体，逐步克服心理认知的瓶颈。此时，大脑对表象的加工操作，正是基于真实的物体翻转的正迁移。胚珠的翻转完全可以在学生头脑中复现，并且此时心理的复现已经不受任何感觉通道的束缚，所以实验操作很重要！）
师：另外，还有什么发现？
生：我们用长方形5×11，一开始是简单的，到后来很麻烦。
生：立体的很难，我想回家去试试，能不能让我带回家？
学生可以自主选择实验内容（背景图），可以平面密铺，也可以立体架构。学生从“智慧珠”的不同研究兴趣出发，自主选择实验内容结伴研究，从而形成个性化的实验结果。通过合作交流、动手实践、思维碰撞后，感悟得出属于个人的见解。数学实验的主要价值在于促进学生数学活动经验的累积，让学生在“做中学”，通过实物操作培养学生的多种能力。任务是真实而复杂的，需要学生付出努力，自我反思，需要不断地尝试、判断、调整。在操作过程中，学生的分析、实践、创新思维都得到了锻炼，高阶思维在动手操作中得以提升。
“智慧珠”实验可简可难，千变万化，让学生乐在其中，多种的平面及立体的变化，可以持续不断地迎接挑战，带给学生持续的快乐和成就感。在实验过程中，学生判断事物的速度与能力提升了，其敏捷思维的能力加强了，高阶思维的火花在不断地碰撞、激发。当然，在结伴研究的过程中，学生合作的意识、组织协调能力也得到了锻炼，评价思维也有了历练。可以说，通过实验，学生的各项隐性认知都得到了发展。
数学实验是一个内涵丰富的世界，里面充满了学生的情感和认知。学生的想法各式各样，从学生的经验出发，和他们一起去体验、思考、探索。数学隐性知识需要活动经验来滋养，因此数学实验任重而道远。
（浙江省桐乡市教师进修学校 314500 浙江省桐乡市实验小学教育集团中山小学314500）
【关键词】数学实验；自主选择；高阶思维
小学数学“空间与图形”领域中属于图形的变换有“平移”“旋转”“对称”等，教学难点是“旋转”。有研究测试表明，小学生的“心理旋转”，空间认知是比较弱的，特别是立体图形的“心理旋转”学生往往束手无策。如果采用抽象的语言进行教学，显然连师生交流都会很困难。因为教材呈现的图形内容是静态的，学生看到的是图形变换的结果，图形变换过程的缺失是学生产生认知瓶颈的原因。要破解这一难点，教学中除了安排还原图形的运动过程为学生积累经验外，还可以通过数学实验加深学生的感悟，给学生充分的动手机会，实实在在地去实践，操作并体悟运动的过程。在实验过程中，学生的思维可以立体起来，从而产生平面到立体的“质飞跃”，突破“图形变换”的瓶颈问题，学生的空间认知思维由此也得以发展。
带着这样的思考，我们进行了“智慧珠”实验，总时长1小时，在初步认识实验材料之后，学生可按研究兴趣分组实验。
“智慧珠”由一个半圆形游戏盘和12组不同形状的珠胚组成，共有19887种平面组合方式，2582种立体组合方式，可见“智慧珠”的实验空间很大。单从12个珠胚（图1按字母取名）结构角度看，其蕴含的數学因素是丰富的。从数量角度看：有3珠的F，有4珠的A、J、K，另外是5珠的B、C、D、E、G、H、I、L；从形状对称角度看：不对称的有A、B、C、D、E，对称的有F、G、H、I、J、K、L；从形状来看：有一字形、V字形、十字形、方形……既然智慧胚珠有如此多的数学内涵，那么我们就应该把数学实验的维度进行拓宽，为学生提供能展开“心理旋转”的媒介，从而发展学生的高阶思维。另外，游戏的场景也是多元的，学生可以参与游戏场景的设计，由学生根据自己的解读去创新实验的方法、路径。学生不只是参与者，还可以是设计者、改造者，或是创造者，成为高阶思维者。
一、教学模块1：基础性“分解”实验
实验目标：多维解读胚珠的构成，体会数形结合思想。
实验材料：
（1）胚珠，A～L12个，两人一袋（图1）。
（2）半圆形游戏盘，每2人一个（图2）。
实验过程：
活动情境：分析胚珠（投影见图3）。
师：这是“智慧珠”，仔细观察，你发现了什么？如果把这些“智慧珠”分一分，你们会怎么分呢？
生：我会按照颜色分，红、黄、蓝……
师：好的，还有其他的想法吗？
生：按照形状分，L形、W形、V形……
师：这名学生的想法很好，我们可以用他的方法来给这些智慧珠命名，如“十”字形、“U”形……
生：老师，还可以按照对称来分，如W、V、U……
生：有两个U形，怎么办？
师：你们说呢？对了，可以是大U和小U，那为什么会有大U和小U呢？真奇怪呀！
生：老师，我知道，它们的数量不同。
生：我可以按照数量来分，如3个、4个、5个，一共是3类。
师：为了交流方便，我们可以用字母来命名这12个“智慧珠”……（A、B……L）
（设计意图：“智慧珠”的“胚珠”颜色各异、数量多样、形状不同，丰富的结构势必会刺激学生的思维起点。分类材料的结构直接影响了学生的思维。实验表明，三、四年级学生能够较好地进行“胚珠”分类。这个年龄阶段的学生的形象思维、抽象逻辑思维能力的发展已经形成。学生只有对思维对象的属性进行全面了解，才能促成其思维的广阔性和灵活性，使他们可能进行多种组合分析的分类。思维需要“静观”才能“深虑”，通过“近思”才能“远谋”。以静态的方式呈现智慧珠，有利于学生冷静地思考，理性地分析。关注“智慧珠”的类别不同，有利于学生分类、对应、数形等思想的形成，为实践操作打下理性的思维基础。）
师：我们已经认识了“智慧珠”，你觉得它有哪些玩法？
根据讨论，经过挑选，师生从中确定了以下两个实验，学生可以自选其中一个完成，也可以完成一个后再完成另一个。
二、教学模块2：选择性“高阶”实验
实验分析：
实验A：整体解读胚珠的构成，激发学生的实验兴趣，形成“数形结合”的观念。
实验B：设计拼组的背景图纸，培养学生的数形转换及推理能力，发展空间观念；根据图纸拼组胚珠，在实践中分析、探究、解决问题，发展学生的高阶思维。
实验材料：
（1）背景图纸（见图3）。
（2）半圆形游戏盘，每人一个（见图4）。
实验过程：
实验A：分析胚珠的组合形状，计算它的总数。
智慧珠的设计本身富含数学的结构（见图1），学生通过静心观察、深度思考就可以了解智慧珠整体的情况。独立思考后小组交流。此实验不需要教师指导，全由学生自行完成。
实验B：智慧珠的“家”（设计拼组图）。
（1）设计。
师：在画设计图之前，大家先来设想一下，智慧珠的“家”会是怎样的形状呢？
生：我觉得是圆形的，因为智慧珠是圆的（其实是球形）。
生：长方形、正方形、三角形……
师：如果要密铺，最小的“家”形状是怎样的呢？让我们来设计一下吧。
学生拿出图纸进行设计，然后交流。 生：（出示图5）5×11或11×5。
师：有道理，那还有其他可能吗？
生：正方形不可能。
生：正方形有可能，可以在长方形里面。里面是3×3，也可以是4×4，比如图6。
师：你的意思是可以在长方形的“家”里，划出正方形的“房间”，真厉害！
生：我画的是三角形的“家”（图7），这样正好55个，上面1，然后2、3、4……10，一共55个。1 2 3 4 …… 10=55。
师：那么，现在我们已经找到智慧珠的2个“家”，如果是刚才学生提到5×5的“家”，有可能吗？
生：不可能，55大于25，多了30个。
生：有可能。
师：你是怎么想的？
生：叠起来。
师：嗯，立体的也可以。多的30个在哪里呢？
师：我们来看图，金字塔型（见图8），它有55个你看出来了吗？
生：1 4 9 16 25=55（个）。
生：老师，我发现每一层都是正方形的。每一层的数量都是平方数：1，4，9，16，25。
（设计意图：数学是一门讲结构的学科。通过数量的计算，让学生从整体把握，逆推背景图的结构。学生从生活经验“圆形”判断开始，这是符合学生元认知特点的，真实且有价值。随着数形结合的推理，学生得出长方形背景的结论，就有了自己独特的思考，理性的成分要多一些。最后特殊的正方形呈现，既有部分与整体的区分，又有平面到立体架构的提升。这样的设计促使学生不断地去判断、思考、创造，其空间思维的火花在这一过程中不断闪现。）
（2）操作（见图9）。
师：同学们很厉害，已经找到了多种智慧珠的“家”，那赶快让它们回家吧！
学生根据自己的喜好，商量好选定一个“家”，长方形、正方形、平面立体都可以，一起试试吧！（下发底盘，两人一组 ，见图3）另外几组进行iPad游戏实验模拟。
实验之后交流反馈。
师：汇报一下，你们的实验情况。
生：老师，我们采用了3×3的方格，这个比较简单。
生：我們发现4颗长的那种不行。只有A、B……
师：只有A、B吗？
生：G、K也可以。
师：还有什么发现？
（iPad组）
生：老师，我发现最后一个旋转不行。
生：可以，翻过来……
师：翻过来，什么意思？
生：翻过来就是翻转。
师：对啊，图形变化除了平移、旋转，还可以翻转哦！大家试一试吧！（学生尝试）
（设计意图：“心理旋转”是人在头脑中运用表象对物体进行二维或三维旋转的想象过程，它是学生认知图形变换的短板。如果采用传统的教学语言进行交流，学生的“心理旋转”障碍难以逾越。通过实验物体的实际操作，学生建立“翻转”的动作感悟，有了实验的经验，认知自然得到螺旋提升。从平面抽象到立体的空间想象，从真实物体到类似物体，再从类似物体到抽象物体，逐步克服心理认知的瓶颈。此时，大脑对表象的加工操作，正是基于真实的物体翻转的正迁移。胚珠的翻转完全可以在学生头脑中复现，并且此时心理的复现已经不受任何感觉通道的束缚，所以实验操作很重要！）
师：另外，还有什么发现？
生：我们用长方形5×11，一开始是简单的，到后来很麻烦。
生：立体的很难，我想回家去试试，能不能让我带回家？
学生可以自主选择实验内容（背景图），可以平面密铺，也可以立体架构。学生从“智慧珠”的不同研究兴趣出发，自主选择实验内容结伴研究，从而形成个性化的实验结果。通过合作交流、动手实践、思维碰撞后，感悟得出属于个人的见解。数学实验的主要价值在于促进学生数学活动经验的累积，让学生在“做中学”，通过实物操作培养学生的多种能力。任务是真实而复杂的，需要学生付出努力，自我反思，需要不断地尝试、判断、调整。在操作过程中，学生的分析、实践、创新思维都得到了锻炼，高阶思维在动手操作中得以提升。
“智慧珠”实验可简可难，千变万化，让学生乐在其中，多种的平面及立体的变化，可以持续不断地迎接挑战，带给学生持续的快乐和成就感。在实验过程中，学生判断事物的速度与能力提升了，其敏捷思维的能力加强了，高阶思维的火花在不断地碰撞、激发。当然，在结伴研究的过程中，学生合作的意识、组织协调能力也得到了锻炼，评价思维也有了历练。可以说，通过实验，学生的各项隐性认知都得到了发展。
数学实验是一个内涵丰富的世界，里面充满了学生的情感和认知。学生的想法各式各样，从学生的经验出发，和他们一起去体验、思考、探索。数学隐性知识需要活动经验来滋养，因此数学实验任重而道远。
（浙江省桐乡市教师进修学校 314500 浙江省桐乡市实验小学教育集团中山小学314500）