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决定二次函数在某区间上的最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向､所给区间及对称轴位置. 在这三大因素中最易确定的是开口方向,而所给区间和对称轴位置的讨论是解决问题的关键.下面就所给区间和对称轴的相互关系进行讨论.
1. 所给区间确定,对称轴位置也确定
若所给区间确定,其对称轴位置也确定,则只要先考虑其对称轴横坐标是否在给定区间内,当对称轴横坐标在给定区间内时,其一个最值在顶点取得,另一个最值在与顶点横坐标距离较远的端点取得;当对称轴横坐标不在给定区间时,可利用函数单调性确定其最值.
例1 已知:y = x2 - 2x + 3,当x∈[-3,2]时,求函数的最大值和最小值.
解 ∵函数的图像开口向上,对称轴为x = 1∈[-3,2],∴当x = -3时,f(x)取得最大值,最大值为f(-3)= 18;当x = 1时, f(x)取得最小值,最小值为f(1) = 2. 例2 已知函数f(x) = ,若对任意x∈[1,∞),f(x) > 0恒成立,求实数a的取值范围.
解 在区间[1,∞)上, f(x) = > 0恒成立等价于x2 + 2x + a > 0恒成立.
设y =x2 + 2x + a,x∈[1,∞),其图像的对称轴x = -1?埸[1,∞). ∵函数y = x2 + 2x + a在x∈[1,∞)上单调递增,∴ ymin = f(1) = 3 + a.
当且仅当ymin = 3 + a > 0时,f(x) > 0恒成立.
解得a的取值范围是(-3,∞).
2. 所给区间变化,对称轴位置确定
若所给区间变化,而对称轴位置确定,则对于区间变化时,是否包含对称轴的横坐标必须进行分类讨论,其分类标准为:变化区间中包含对称轴的横坐标;变化区间中不包含对称轴的横坐标.
例3 求函数f(x) = x2 + 2x + 1在区间[t,t+1]上的最小值g(t)的解析式.
解 ∵ f(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ,x∈[t,t+1],图像的开口向上,对称轴为x = -1.
当对称轴在区间[t,t + 1]右侧时,t + 1 ≤ -1,即t ≤ -2时, g(t) = f(x)min = f(t + 1) = (t + 2)2.
当对称轴在区间[t,t + 1]内时,t < -1 < t + 1. 即-2 < t <-1时,g(t) = f(x)min= f(-1) = 0.
当对称轴在区间[t,t + 1]左侧时,t ≥ -1,g(t)=f(x)min = f(t) = (t + 1)2.
综上: g(t)= (t + 2)2 (t ≤ -2),0 (-2 < t < -1), (t + 1)2 (t ≥ -1).
3. 所给区间确定,对称轴位置变化
若所给区间确定,但对称轴位置是变化的,则对于对称轴位置变化情况必须进行分类讨论:对称轴横坐标在给定区间内变化;对称轴横坐标在给定区间外变化. 若对称轴横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.
例4 设函数f(x) = -x2 + 2ax + 1 - a在区间[0,1]上有最大值2,求实数a的值.
分析 题中抛物线开口向下,但是由于对称轴x = a中含参数a,要对a进行讨论,分对称轴在区间[0,1]内､左､右三种情况求a的值.
解 ∵ f(x) = -(x - a)2 + a2 - a + 1,
① 当0 ≤ a ≤ 1时,f(x)max = f(a) = a2 - a + 1 = 2 . 解得 a =?埸[0,1], ∴舍去.
② 当a < 0时,f(x)在[0,1]上递减,∴ f(x)max = f(0) = 1 - a = 2,∴ a = -1.
当a ﹥ 1时,f(x)在[0,1]上递增,
∴ f(x)max = f(1) = 2a - a = 2 ,∴ a = 2.
综上得a = -1或a = 2.
4. 所给区间变化,对称轴位置也变化
若所给区间是变化的,而且对称轴位置也在变化,由于它们的变化是相互制约的,故必须对它们的制约关系(含参量)进行讨论:对称轴横坐标在所给区间内;对称轴横坐标不在所给区间内.
例5 函数f(x) = -x2 + (a - 1)x + a在区间[1,a)上的最大值为1,求a的值.
解 ∵图像开口向下,对称轴为x = .
当 ≤ 1,即1 ﹤ a ≤ 3时,f(x)max = f(1) = 2a - 2 = 1,∴ a =∈(1,3].
当1﹤﹤a,即a﹥3时,f(x)max = f( )= = 1,得a = 1 或a = -3,都不满足a﹥3.
∴都舍去.
当 ≥ a时, a≤-1与a ﹥ 1矛盾,即对称轴不可能在x = a的右侧.
综上a = .
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
1. 所给区间确定,对称轴位置也确定
若所给区间确定,其对称轴位置也确定,则只要先考虑其对称轴横坐标是否在给定区间内,当对称轴横坐标在给定区间内时,其一个最值在顶点取得,另一个最值在与顶点横坐标距离较远的端点取得;当对称轴横坐标不在给定区间时,可利用函数单调性确定其最值.
例1 已知:y = x2 - 2x + 3,当x∈[-3,2]时,求函数的最大值和最小值.
解 ∵函数的图像开口向上,对称轴为x = 1∈[-3,2],∴当x = -3时,f(x)取得最大值,最大值为f(-3)= 18;当x = 1时, f(x)取得最小值,最小值为f(1) = 2. 例2 已知函数f(x) = ,若对任意x∈[1,∞),f(x) > 0恒成立,求实数a的取值范围.
解 在区间[1,∞)上, f(x) = > 0恒成立等价于x2 + 2x + a > 0恒成立.
设y =x2 + 2x + a,x∈[1,∞),其图像的对称轴x = -1?埸[1,∞). ∵函数y = x2 + 2x + a在x∈[1,∞)上单调递增,∴ ymin = f(1) = 3 + a.
当且仅当ymin = 3 + a > 0时,f(x) > 0恒成立.
解得a的取值范围是(-3,∞).
2. 所给区间变化,对称轴位置确定
若所给区间变化,而对称轴位置确定,则对于区间变化时,是否包含对称轴的横坐标必须进行分类讨论,其分类标准为:变化区间中包含对称轴的横坐标;变化区间中不包含对称轴的横坐标.
例3 求函数f(x) = x2 + 2x + 1在区间[t,t+1]上的最小值g(t)的解析式.
解 ∵ f(x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ,x∈[t,t+1],图像的开口向上,对称轴为x = -1.
当对称轴在区间[t,t + 1]右侧时,t + 1 ≤ -1,即t ≤ -2时, g(t) = f(x)min = f(t + 1) = (t + 2)2.
当对称轴在区间[t,t + 1]内时,t < -1 < t + 1. 即-2 < t <-1时,g(t) = f(x)min= f(-1) = 0.
当对称轴在区间[t,t + 1]左侧时,t ≥ -1,g(t)=f(x)min = f(t) = (t + 1)2.
综上: g(t)= (t + 2)2 (t ≤ -2),0 (-2 < t < -1), (t + 1)2 (t ≥ -1).
3. 所给区间确定,对称轴位置变化
若所给区间确定,但对称轴位置是变化的,则对于对称轴位置变化情况必须进行分类讨论:对称轴横坐标在给定区间内变化;对称轴横坐标在给定区间外变化. 若对称轴横坐标只能在给定区间内变化,则只需考虑其与端点的距离.
例4 设函数f(x) = -x2 + 2ax + 1 - a在区间[0,1]上有最大值2,求实数a的值.
分析 题中抛物线开口向下,但是由于对称轴x = a中含参数a,要对a进行讨论,分对称轴在区间[0,1]内､左､右三种情况求a的值.
解 ∵ f(x) = -(x - a)2 + a2 - a + 1,
① 当0 ≤ a ≤ 1时,f(x)max = f(a) = a2 - a + 1 = 2 . 解得 a =?埸[0,1], ∴舍去.
② 当a < 0时,f(x)在[0,1]上递减,∴ f(x)max = f(0) = 1 - a = 2,∴ a = -1.
当a ﹥ 1时,f(x)在[0,1]上递增,
∴ f(x)max = f(1) = 2a - a = 2 ,∴ a = 2.
综上得a = -1或a = 2.
4. 所给区间变化,对称轴位置也变化
若所给区间是变化的,而且对称轴位置也在变化,由于它们的变化是相互制约的,故必须对它们的制约关系(含参量)进行讨论:对称轴横坐标在所给区间内;对称轴横坐标不在所给区间内.
例5 函数f(x) = -x2 + (a - 1)x + a在区间[1,a)上的最大值为1,求a的值.
解 ∵图像开口向下,对称轴为x = .
当 ≤ 1,即1 ﹤ a ≤ 3时,f(x)max = f(1) = 2a - 2 = 1,∴ a =∈(1,3].
当1﹤﹤a,即a﹥3时,f(x)max = f( )= = 1,得a = 1 或a = -3,都不满足a﹥3.
∴都舍去.
当 ≥ a时, a≤-1与a ﹥ 1矛盾,即对称轴不可能在x = a的右侧.
综上a = .
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”