摘 要：函数中的任意性、存在性问题，是历年高考的热点和难点.这两类问题与函数、导数、方程、不等式等整合在一起. 本文结合函数的值域和最值，总结解决这两类问题的四种基本模式，并结合实例说明如何解决函数中的任意性、存在性问题.
　　关键词：函数；任意性、存在性；值域
　　函数中的任意性、存在性问题，即恒成立和能成立问题，是历年高考的热点和难点. 这两类问题常常与函数、导数、方程、不等式等整合在一起，能够有效考查对中学数学知识中蕴涵的数学思想方法的掌握程度，考查学生运用知识的能力. 这类问题都涉及函数的最值和值域，其基本模式如下：设函数y=f（x），x∈D的值域是[A，B]，则
　　1. 不等式f（x）≥t对于?x∈D恒成立?t≤f（x）min=A；
　　2. 不等式f（x）≤t对于?x∈D恒成立?t≥f（x）max=B；
　　3. ?x∈D，使得不等式f（x）≥t成立?t≤f（x）max=B；
　　4. ?x∈D，使得不等式f（x）≤t成立?t≥f（x）min=A.
　　实际解题时，可能涉及两个函数或者是同时出现任意性和存在性情况，很多学生感到非常棘手，其实，在复杂的情况下，解题的基本思路仍然不变.下面举例说明.
　　例题 已知函数f（x）=2x2-8x t，g（x）=2x3 3x2-12x，其中t∈R.
　　（1）对于任意x∈[-2，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：令h（x）=g（x）-f（x）=2x3 x2-4x-t，x∈[-2，3]，h′（x）=2（3x-2）（x 1），则
　　h（x）在x∈[-2，3]的值域是[-4-t，51-t]. 依题设，h（x）min=-4-t≥0，即，t≤-4.
　　（2）若存在x∈[-2，3]，使得f（x）≤g（x）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：存在x∈[-2，3]，使得f（x）≤g（x），即g（x）-f（x）≥0成立?h（x）max=51-t≥0，即，t≤51.
　　（3）若存在x∈[-2，3]，使得f（x）=g（x）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：存在x∈[-2，3]，使得f（x）=g（x），即f（x）-g（x）=0成立?h（x）min≤0≤h（x）max，即-4≤t≤51.
　　（4）对于任意x1，x2∈[-2，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：函数f（x），g（x）在x∈[-2，3]的值域分别是[t-8，t 24]，[-7，45]. 对于任意x1，x2∈[-2，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立?f（x）max≤g（x）min，t 24≤-7，即t≤ -31.
　　（5）对于任意x∈[-2，3]，存在x1∈[-2，3]使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：对于任意x2∈[-2，3]，存在x1∈[-2，3]使得f（x1）≤g（x2）成立?f（x）min≤g（x）min，t-8≤-7，即t≤1.
　　（6）对于任意x1∈[-2，3]，存在x2∈[-2，3]使得f（x1）=g（x2）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：对于任意x1∈[-2，3]，存在x2∈[-2，3]使得f（x1）=g（x2）成立?f（x）的值域是g（x）的值域的子集，即1≤t≤21.
　　（7）若存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）≤g（x2）成立?f（x）min≤g（x）max，t-8≤45，即t≤53.
　　（8）若存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数t的取值范围.
　　解析：存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）=g（x2）成立?f（x）与g（x）的值域的交集不是空集，即-7≤t-8≤45或-7≤t 24≤45，即-31≤t≤53.
　　可以看出，函数的任意性和存在性问题都用到了函数的思想、化归与转化的思想，在整体上是既对立又统一的问题. 当然，对于具体的问题，则需要在基本思路原则不变的情况下具体分析，才能拨云见日，顺利解决问题.