函数在每年的高考中都占有很大比例，而且是常考常新，尤其是导数加盟后，拓宽了高考对函数问题的命题空间，导数常与函数、不等式、数列、向量、三角函数等知识的联系比较密切,是试题考查能力、渗透数学思想和方法的重要载体,这也是高考命题的特点和热点,体现了知识的交汇性.以下将举例说明导数与其它知识的交汇,供大家参考.
　　一、导数与函数、不等式知识的交汇
　　例1 （2010山东临沂市高三测试）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞,0)时，不等式f(x)+xf′(x)<0成立，若a=30.3•f(30.3)，b=(logπ3)•f(logπ3)，c=(log319)•f(log319)，则a,b,c的大小关系是______.
　　解析:令F(x)=xf(x)，则，在x∈(－∞,0)时，F′(x)<0，故F(x)在(－∞,0)上单调递减，又因为F(－x)=－xf(－x)=xf(x)=F(x)，故F(x)是R上的偶函数，即F(x)在(0,+∞)上单调递增，a=30.3•f(30.3)=F(30.3)，b=(logπ3)•f(logπ3)=F(logπ3)，
　　c=(log319)•f(log319)=F(log319)=F(－2)=F(2)，
　　logπ3<logππ=1=30<30.3<30.5=3<2，所以b　　评注:本题从考查导数的运算法则出发，并考查了函数的图象和性质，关键是构建适当的辅助函数，即设法利用导数方法来研究函数的单调性，从而研究不等式的问题以及综合运用数学知识解决问题的能力.
　　二、导数与数列知识的交汇
　　例2 （2010江苏卷）已知函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=______.
　　解析：y′=2x，切线方程为y－a2k=2ak(x－ak)，令y=0，x=ak2=ak+1 ，即ak+1ak=12，故数列{an}为等比数列，故an=16×(12)n－1=25－n，则a1+a3+a5=16+4+1=21.
　　评注：本题考查导数的几何意义以及等比数列等基础知识，以及逻辑推理能力.
　　三、导数与向量知识的交汇
　　例3 已知向量a=(x23,x),b=(x,x－3),x∈，求当a•b取最小值时，向量a与向量b夹角的大小.
　　解析：由于a•b=13x3+x(x－3)=13x3+x2－3x，令f(x)=13x3+x2－3x，则f′(x)=x2+2x－3，令f′(x)=0得x=－3或x=1.列表如下：
　　
　　x－4(－4,－3)－3(－3,1)1(1,4)4
　　f′(x)＋0－0＋
　　f(x)203↗极大值0↘极小值－53↗763
　　故f(x)在上的最小值为－53，此时x=1，所以a=(13,1),b=(1,－2)，故
　　cosθ=a•b|a|•|b|=－53103•5=－22，可得向量a与向量b的夹角θ=34π.
　　评注：本题主要结合导数求函数的最值，从而求得两向量的夹角.
　　
　　四、导数与函数、方程知识的交汇
　　例4 （2010苏、锡、常、镇高三调研）已知函数f(x)=|ax－2|+blnx(x>0)，
　　（1）若a=1,f(x)在(0,+∞)是单调增函数，求b的取值范围；
　　（2）若a≥2,b=1，求方程f(x)=1x在(0,1〗上解的个数.
　　解析：（1）f(x)=|x－2|+blnx
　　=－x+2+blnx,0　　当0　　当x≥2时，f′(x)=1+bx≥0恒成立，即b≥－x恒成立，即b≥－2.
　　综上b的取值范围是b≥2.
　　（2）令g(x)=|ax－2|+lnx－1x，即g(x)=－ax+2+lnx－1x,0　　当0　　0a2≥1，则g′(x)>g′(2a)，而g′(2a)=
　　a24-a2=a(a－2)4≥0，
　　故g′(x)>0，从而g(x)在(0,2a)上是递增函数.
　　当x≥2a时，g(x)=ax－2+lnx－1x,g′(x)=a+1x+1x2>0,
　　故g(x)在(a2,+∞)上是增函数.
　　由于g(x)的图象在(0,+∞)上不间断，故g(x)在(0,+∞)上是递增函数.
　　g(2a)=ln2a－a2<0，由于g(1)=a－3，
　　当a≥3时，g(1)=a－3≥0，故g(x)=0在(0,1〗上有唯一解；当2≤a<3时，
　　g(1)=a－3<0，故g(x)=0在(0,1〗上无解.
　　综上，当a≥3时，g(x)=0在(0,1〗上有唯一解；当2≤a<3时，g(x)=0在(0,1〗上无解.
　　评注：本题主要考查运用导数研究函数性质，以及分类讨论的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.
　　五、导数与三角函数知识的交汇
　　例5 （2010江苏扬州期末调研）某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为2m，通过金属杆BC,CA1,CA2,CA3支撑在地面B处（BC垂直于水平面），A1,A2,A3是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面10m，设金属杆CA1,CA2,CA3所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ.（圆环及金属杆均不计粗细）
　　
　　（1）当θ的正弦值为多少时，金属杆BC,CA1,CA2,CA3的总长最短？
　　（2）为美观与安全，在圆环上设置A1,A2,…,An(n≥4)个等分点，并仍按上面方法连接，若还要求金属杆BC,CA1,CA2,…,CAn的总长最短，对比（1）中C点位置，此时C点将会上移还是下移，请说明理由.
　　解析：（1）设O为圆环的圆心，依题意，∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O=θ，
　　CA1=CA2=CA3=2cosθ，CO=2tanθ，设金属杆总长为y m，则y=6cosθ+10－2tanθ=2(3－sinθ)cosθ+10，（0<θ<π2）
　　y′=2(3sinθ－1)cos2θ，当sinθ<13时，y′<0；当sinθ>13时，y′>0，
　　当sinθ=13时，函数有极小值，也是最小值.
　　（2）依题意，y=2ncosθ+10－2tanθ=2(n－sinθ)cosθ+10，
　　y′=2(nsinθ－1)cos2θ，当sinθ<1n时，y′<0；当sinθ>1n时，y′>0，
　　∴当sinθ=1n时，函数有极小值，也是最小值.当n≥4时，1n<13，所以C点应上移.
　　
　　评注：此类考题主要结合求函数极值（最值）、参数取值范围，解决数学应用等问题，来考查导数最值性质在函数问题中的应用.本题设计导数与函数建模问题，意在考查将实际问题转化为数学问题，应用导数性质去解决最优化问题的数学应用意识与实践能力.
　　
　　（作者:郭波,江苏连云港）
　　
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