题目：（2011江苏卷18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M,N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作轴x的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．
　　（1） 当直线PA平分线段MN，求k的值；
　　（2） 当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
　　（3） 对任意k>0，求证：PA⊥PB．
　　1. 命题背景：
　　从2008年开始，江苏实行新的高考模式 “3+学业水平测试+综合素质评价”，数学学科起到了举足轻重的地位，而解析几何在数学中的地位又不言而喻.但《江苏高考考试说明》对圆锥曲线与方程仅给出了3个小节，“椭圆的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）”为B级要求，而“双曲线的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）”，“抛物线的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）”仅为A级要求，减去了“直线与圆锥曲线的位置关系”.近4年的江苏高考命题严格遵循《考试说明》，但并不意味弱化圆锥曲线，仅是删除了一些繁难的计算，思维量并没有减少.
　　2. 试题求解：
　　（1）、（2）小问略
　　（3） （解法一）：设直线PA的方程为：y=kx，代入椭圆方程：x24+y22=1，
　　解得x=±21+k2，记μ=21+k2，则P(μ,μk)，A(-μ,-μk)，于是C(μ,0).所以直线AB的斜率为k2，因此AB的方程为y=k2(x-μ)，代入椭圆方程得到：(2+k2)x2-2μk2x-μ2(2k2+2)=0，解得x=μ(3k2+2)2+k2或x=-μ，所以Bμ(3k2+2)2+k2,μk22+k2.于是直线PB的斜率k1=μk22+k2-μkμ(3k2+2)2+k2-μ=k2-k(2+k2)3k2+2-(2+k2)=-1k
　　因此k1k=-1，所以PA⊥PB.
　　(解法二)：设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),于是直线AB的方程为y=y02x0(x-x0)，代入椭圆方程得(2x20+y20)x2-2x0y20x+x20y20-8x20=0，解得x=-x0或x=-x0(y20-8)2x20+y20，即B点的横坐标xB=-x0(y20-8)2x20+y20.则直线PB的斜率
　　kPB=y0-yBx0-xB=y0-y02x0(xB-x0)x0-xB=
　　y02x0+y0x0+x0(y20-8)2x20+y20=
　　y02x0+y0x0·2x20+y202x20+2y20-8=
　　y0x012+2x20+y202x20+2y20-8
　　， ①
　　因为点P在椭圆上，所以x20+2y20=4，即x20=4-2y20 ②
　　将②式代入①式得
　　kPB=
　　y0x012+
　　8-3y20-2y20=y0x0·8-4y20-2y20=y0x0·2x20-2y20=-x0y0，而kPA=y0x0，所以kPA·kPB=-1，所以PA⊥PB.
　　(解法三)：设P(x1,y1),B(x2,y),则x1>0,x2>0且x1≠x2，A(-x1,-y1)，C(x1,0).设直线PA，PB，AB的斜率分别为k,k1,k2，因为C在直线AB上，所以k2=0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k2.从而k1k=2k1k2=2·y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x1)=2(y22-y21)x22-x21.因为点P、B在椭圆上，所以x21+2y21=4 ③，
　　x22+2y22=4 ④
　　将④-③得
　　2(y22-y21)=-(x22-x21)，所以k1k=-1，即PA⊥PB.
　　点评：解法一与解法二的思路一致，区别在于设点还是设直线方程，这也是圆锥曲线中常用的两种设法.解法三和前面两种解法相比运算量减少，巧妙地将PA的斜率转化为PB的斜率来处理.
　　3. 探究：
　　探究1：一般性的结论：如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k1．直线PB的斜率为k2，则k1·k2为定值.
　　证明：设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0且x1≠x2，A(-x1,-y1)，C(x1,0).设直线PA，PB，AB的斜率分别为k1,k2,k3，因为C在直线AB上，所以k3=0-(-y1)x1-(-x1)=y12x1=k12.从而k1k2=2k2k3=2·y2-y1x2-x1·y2-(-y1)x2-(-x1)=2(y22-y21)x22-x21.因为点P、B在椭圆上，所以x21a2+y21b2=1 ③，
　　x22a2+y22b2=1 ④
　　将④-③得
　　y22-y21b2=-x22-x21a2，∴y22-y21x22-x21=-b2a2，因此k1·k2=-2b2a2
　　探究2：如果把探究（1）中的椭圆改为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，同样可得到类似的结论：k1·k2=2b2a2（证明同上）
　　4. 反思：
　　我们来看一下这道高考题的命题背景：
　　如图，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的直线交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于P,A两点，B为椭圆上任意一点，设AB、PB的斜率分别为k1、k2，则k1·k2为定值-b2a2.
　　这道题在高三复习中经常遇到，高考题仅把AB的斜率通过构造转化为直线PA的斜率，而我们教师在复习的时候又有几个人能对这道题进行反思，变题呢?荷兰著名数学家弗赖登塔尔曾指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”.著名数学家波利亚也说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的一个重要而有效益的方面.”高三复习课中，对每一个问题的处理，师生应该经过必不可少的三个过程：（1） 理解题意，揭示问题本质，寻求解题思路；（2） 实施解题方案；（3） 对问题进行回顾反思.其中教师应该带着学生重点完成第（1）个步骤和第（3）个步骤，学生自己完成第（2）个步骤，再由教师和学生一起来点评.但在高三教学实践中，发现第（1）和第（3）两个过程往往容易被教师忽略，特别是第（3），很多老师都借口没有时间，取而代之的是教师直接奉送给学生解题方案，再在黑板或投影仪上板书解题过程，就题讲题，根本没有反思和探究：反思这道题的命题背景，在教材中的位置，探究这道题有没有一般性的结论.有没有其他的变式.其实长期这样教学，学生解决问题的能力不能得到提高和发展，即使以后再碰到类似问题，恐怕这类问题的“背影已远走”“往事以随风过”，我们也就在长期无效的复习中与高考题“擦肩而过”.高考命题并不是凭空造题，而是来源于我们的《考纲》，我们的教材，我们身边的题目.只要我们在平时多注意积累，多反思，我们就不会“不识庐山真面目”.
　　参考文献：
　　尤荣勇.高三数学复习课教学的误区举隅.《中学数学教学参考》，2011,6