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【内容摘要】本文通过2019年高考数学理科立体几何试题和教材相关习题的对比，挖掘了教材习题和高考习题的关联，说明了模型化思想教学的重要性和重视教材习题的关键性。
【关键词】模型化思想 教材 习题核心素养
2019高考结束了，数学全国Ⅰ卷整体贯穿了建模思想的应用，重视学生学会学习能力的培养，给我印象深刻的是理科第18题，下面我就本题谈谈自己的想法：
考题再现
（1）求证：PA∥平面EDB
（2）求证：PB∥平面EFD
（3）二面角C-PB-D的大小.
链接思考
1.幾何图形背景分析
无论是高考第18题还是两道习题，都是以基本的常规图形直四棱柱、直四棱锥、正方体等作为模板背景来设问。这样的背景都具有共同的特征：
（1）侧棱和底面具有垂直关系，由线面垂直可以得到一系列的面面垂直和线线垂直。
（2）构成立体图形的面是特殊的四边形或特殊的三角形。如平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、直角三角形。既然是特殊的平面图形，这些平面图形则具有特殊的性质，无论是设问还是解题，只要能很好的利用这些特殊性质，则是比较有意义。
2.衍生点的分析
无论是高考第18题还是两道习题，都是以特殊点———中点作为衍生点，以衍生点或者已知顶点来构造线段，进而构建构造新的平面图形和立体图形，这样的点组成的直线与已知直线具有特殊的线线关系，运用这些特殊的线线关系就能得到线面关系。
3.设问及解法分析
无论是高考第18题还是两道习题，都是以线面的垂直、平行关系作为问题，都是以二面角作为背景来考察。其中线面关系的考查都是以三角形中位线或者构造平行四边形为线线平行的突破口来考查，其中一个中点都要用到平行四边形的对角线互相平分的性质。高考第18题中的点N、人教A版必修2第56页练习2底面中心、人教A版选修2-1第109页例4便是这样的点。二面角的求法在08课改理科引入空间向量之后，便一直是考查用空间向量中的法向量求二面角，既然要求两个平面的法向量，就必须建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系优劣直接影响计算量的大小，而这两道题中，都已知了底面的垂线和底面的特殊性，因此，我们只需要在底面找到两条相互垂直的直线，空间直角坐标系中可以顺利建立，而底面又是比较特殊的菱形或者正方形，利用正方形邻边互相垂直和菱形的对角线互相垂直，很快就能得到过同一点的三条直线两两垂直，空间直角坐标系顺利建立，问题得以解决。
教学感悟
通过以上分析，我认为在以后的教学中，我们应该从以下几方面进行教学：
1.充分重视模型化思想的应用，深度挖掘教材习题中蕴含的基本模型
新修订的高中数学课程标准提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
特级教师张思明提出：我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。近年来，数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。
模型化思想也是数学建模思想的体现，在教学中，如果我们能更好地运用教材习题，挖掘习题中蕴含的基本模型思想，能充分的分析几何图形中蕴含的丰富的模型思想和模型性质，引导学生在识图、析图的过程中感受几何图形的特殊美，那么学生将会产生探究几何图形的兴趣，进而克服“见图就烦”的心理障碍，反而形成一种“见中点就找中位线”的条件反射，在解题过程中找到学习的成就感和愉悦感。
2.找到共性，分析个性，挖掘习题内涵，促进“学会学习”
“学会学习”是核心素养的关键，是核心素养的能力体现。“学会学习”不仅是学会知识，而是学会知识的探究方法和其中蕴含的研究思想。高考题依托于教材习题，但是又不拘泥于教材习题，作为教师，我们在教学过程中要充分的设置教材习题的变式题，引导学生发现其中的本质共性。如：对于人教A版选修2-1第109页例4，我们可以将底面正方形的特殊性逐渐去掉，变式成矩形，再变式成菱形、平行四边形，给出需要的边角关系，引导学生在自己的探究过程中找到建立空间直角坐标系的步骤：线面垂直→面内两条垂线→平移至三线共点。可见，在教学中我们只要注重挖掘教材习题，充分考虑几何图形的特殊性，设置变式题，便能和高考接轨，提高学生的解题能力，便能有效地引导学生“学会学习”。
【参考文献】
[1]黄宗积.浅谈高中数学教学如何贯彻新课标的指导作用[J].才智，2012（10）：116.
[2]吴荣华.以生为本：“问题教学法”在高中数学教学的运用刍论[J].南昌教育学院学报，2012（08）：135-136.
[3]王相儒.正视教材变化优化教学结构———浅谈高中数学教学中如何使用新教材[J].数学学习与研究，2014（21）：53.
[4]王笋.如何在高中数学教学中帮助学生形成完善的知识体系[J].新课程导学，2016（26）：10.
[5]高双云.高中数学三角函数教学策略分析[J].新课程（中学），2016（1）：97.
[6]房胜.把握例题教学环节全面提升思维水平[J].中学数学，2016（9）：33-35.
[7]梁环义.浅析小组合作学习在高中数学教学中的应用[J].数学学习与研究，2019（15）.
[8]赵美娜.浅谈高中数学教学的几点体会[J].新课程：教育学术版，2009（3）：84.
[9]胡锦梅.试论高中数学优等生的培养探究[J].亚太教育，2015（32）：177.
[10]李仁兵.引入生活源泉浇灌高中数学教学之花[J].新课程（下），2018（11）：84.
（作者单位：太原市第二中学校）
【关键词】模型化思想 教材 习题核心素养
2019高考结束了，数学全国Ⅰ卷整体贯穿了建模思想的应用，重视学生学会学习能力的培养，给我印象深刻的是理科第18题，下面我就本题谈谈自己的想法：
考题再现
（1）求证：PA∥平面EDB
（2）求证：PB∥平面EFD
（3）二面角C-PB-D的大小.
链接思考
1.幾何图形背景分析
无论是高考第18题还是两道习题，都是以基本的常规图形直四棱柱、直四棱锥、正方体等作为模板背景来设问。这样的背景都具有共同的特征：
（1）侧棱和底面具有垂直关系，由线面垂直可以得到一系列的面面垂直和线线垂直。
（2）构成立体图形的面是特殊的四边形或特殊的三角形。如平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰三角形、直角三角形。既然是特殊的平面图形，这些平面图形则具有特殊的性质，无论是设问还是解题，只要能很好的利用这些特殊性质，则是比较有意义。
2.衍生点的分析
无论是高考第18题还是两道习题，都是以特殊点———中点作为衍生点，以衍生点或者已知顶点来构造线段，进而构建构造新的平面图形和立体图形，这样的点组成的直线与已知直线具有特殊的线线关系，运用这些特殊的线线关系就能得到线面关系。
3.设问及解法分析
无论是高考第18题还是两道习题，都是以线面的垂直、平行关系作为问题，都是以二面角作为背景来考察。其中线面关系的考查都是以三角形中位线或者构造平行四边形为线线平行的突破口来考查，其中一个中点都要用到平行四边形的对角线互相平分的性质。高考第18题中的点N、人教A版必修2第56页练习2底面中心、人教A版选修2-1第109页例4便是这样的点。二面角的求法在08课改理科引入空间向量之后，便一直是考查用空间向量中的法向量求二面角，既然要求两个平面的法向量，就必须建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系优劣直接影响计算量的大小，而这两道题中，都已知了底面的垂线和底面的特殊性，因此，我们只需要在底面找到两条相互垂直的直线，空间直角坐标系中可以顺利建立，而底面又是比较特殊的菱形或者正方形，利用正方形邻边互相垂直和菱形的对角线互相垂直，很快就能得到过同一点的三条直线两两垂直，空间直角坐标系顺利建立，问题得以解决。
教学感悟
通过以上分析，我认为在以后的教学中，我们应该从以下几方面进行教学：
1.充分重视模型化思想的应用，深度挖掘教材习题中蕴含的基本模型
新修订的高中数学课程标准提出，数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力。高中数学核心素养主要包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
其中，对于数学建模，详细描述为数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
特级教师张思明提出：我们通过数学建模的教与学要为学生创设一个学数学、用数学的环境，为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会。近年来，数学建模应用题的数量和分值在高考中逐步增加，可见在命题中已经在转变传统的数学学科体系观念，旨在引导学生关心社会、关心未来，实现高考命题改革与中学教育、教学观念改革的结合。
模型化思想也是数学建模思想的体现，在教学中，如果我们能更好地运用教材习题，挖掘习题中蕴含的基本模型思想，能充分的分析几何图形中蕴含的丰富的模型思想和模型性质，引导学生在识图、析图的过程中感受几何图形的特殊美，那么学生将会产生探究几何图形的兴趣，进而克服“见图就烦”的心理障碍，反而形成一种“见中点就找中位线”的条件反射，在解题过程中找到学习的成就感和愉悦感。
2.找到共性，分析个性，挖掘习题内涵，促进“学会学习”
“学会学习”是核心素养的关键，是核心素养的能力体现。“学会学习”不仅是学会知识，而是学会知识的探究方法和其中蕴含的研究思想。高考题依托于教材习题，但是又不拘泥于教材习题，作为教师，我们在教学过程中要充分的设置教材习题的变式题，引导学生发现其中的本质共性。如：对于人教A版选修2-1第109页例4，我们可以将底面正方形的特殊性逐渐去掉，变式成矩形，再变式成菱形、平行四边形，给出需要的边角关系，引导学生在自己的探究过程中找到建立空间直角坐标系的步骤：线面垂直→面内两条垂线→平移至三线共点。可见，在教学中我们只要注重挖掘教材习题，充分考虑几何图形的特殊性，设置变式题，便能和高考接轨，提高学生的解题能力，便能有效地引导学生“学会学习”。
【参考文献】
[1]黄宗积.浅谈高中数学教学如何贯彻新课标的指导作用[J].才智，2012（10）：116.
[2]吴荣华.以生为本：“问题教学法”在高中数学教学的运用刍论[J].南昌教育学院学报，2012（08）：135-136.
[3]王相儒.正视教材变化优化教学结构———浅谈高中数学教学中如何使用新教材[J].数学学习与研究，2014（21）：53.
[4]王笋.如何在高中数学教学中帮助学生形成完善的知识体系[J].新课程导学，2016（26）：10.
[5]高双云.高中数学三角函数教学策略分析[J].新课程（中学），2016（1）：97.
[6]房胜.把握例题教学环节全面提升思维水平[J].中学数学，2016（9）：33-35.
[7]梁环义.浅析小组合作学习在高中数学教学中的应用[J].数学学习与研究，2019（15）.
[8]赵美娜.浅谈高中数学教学的几点体会[J].新课程：教育学术版，2009（3）：84.
[9]胡锦梅.试论高中数学优等生的培养探究[J].亚太教育，2015（32）：177.
[10]李仁兵.引入生活源泉浇灌高中数学教学之花[J].新课程（下），2018（11）：84.
（作者单位：太原市第二中学校）