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摘 要：在《小数除以整数》一课教学中，通过前测调研发现学生存在两个难点：对除法意义的再认识和对小数位值制的再理解。同时发现，直观模型对于促进学生理解算理的效果明显。基于此，教学时应从整体上把握小数除法教学，同时提供适当的学具作为直观模型，让学生按需使用，借助直观模型说理，沟通计量单位与计数单位之间的联系，由动作表征、模型表征到竖式表征，最终真正从直观走向抽象，深入理解小数除法的算理及算法。
关键词：小数除以整数 前测调研 直观模型 计量单位 计数单位
“小数除法”是小学数学中运算教学的重要内容，也是小学阶段“数的运算”中学生普遍错误率较高的部分。在实际教学中笔者发现，利用学具（如人民币模型等）能够帮助学生更好地理解小数除法的算理，那么，学生初次接触小数除法时的学习难点是什么？如何更有效地运用直观模型突破这些难点？基于以上思考，以北师大版小学数学五年级上册《小数除法》的第一课时《小数除以整数》为例，笔者对同时执教的学习水平相当的两个班学生进行了深入的前测调研（问卷、追访），以探寻直观模型在本课教学中的作用。
一、前测调研
（一）调研题目及调研意图
A班没有创设现实背景，不提供直观模型，调研题目为：“10.2÷3等于多少？请想办法解决，尽可能详细地记录下你的思考过程。” B班创设了现实背景，提供直观模型，调研题目为：“买3袋牛奶一共花10.2元，每袋牛奶多少钱？可以利用直观模型研究，并尽可能详细地记录下你的思考过程。”这样的前测调研，意图有二：一是了解学生是否有主动寻求直观模型帮助的意识，他们会想到哪些直观模型，以及直观模型在“小数除以整数”学习中的价值；二是探寻学生学习“小数除以整数”的难点在哪里。
（二）数据统计结果
1.关于直观模型的使用。
对于调研意图一，答卷后，笔者通过对学生逐个追访收集数据。
A班情况见表1，B班情况见表2。
从表中可见，两个班在解决问题时使用直观模型的学生分别占47.5%和67.5%，但实际上，无论A班还是B班，学生开始时能够主动想到使用直观模型帮助自己解决问题的人数分别只占10%和20%，在教师提示后尝试使用直观模型的人数才有了一定幅度的上升，但A班依然沒有过半。这表明，学生在解决问题时主动寻求直观模型帮助的意识十分薄弱。学生能想到的直观模型有人民币（实物模型）、方格纸（面积模型）和直观图（包括线段图、圆圈图等），而选择方格纸和人民币的学生占使用直观模型学生的绝大多数（其中，A班选择方格纸的学生多一些，B班选择人民币的学生多一些）。另外，无论是A班还是B班，使用直观模型的学生多数都是在完成后借助直观模型来验证的，而真正在解决问题的过程中使用直观模型的学生仅占少数。
2.关于学习难点。
对于调研意图二，笔者以问卷和追访两种方式对A、B两班的情况分别调研，调研的项目有：①不知道如何运算。②竖式运算中整数部分剩余的“1”和小数部分的“2”组成的新数，还能分吗？③商中的小数点怎么办？④我会做。调研数据见表3。
从问卷作答看，无论是A班还是B班，不知道如何运算的仅占7.5%；对于竖式运算中整数部分剩余的“1”和小数部分的“2”组成的新数，分不了或不清楚能不能继续分的也不多，B班仅有7.5%，A班相比之下高一些，占20%；对于商中的小数点，不知道怎么办的更是少数，A班仅有10%，B班没有；认为自己“会做”（主要指竖式运算）的学生占绝大多数，A班占62.5%，B班更高，占85%。而令人感到惊讶的是，在答卷完成后对学生逐个追访时笔者发现，同样的调研项目，两个班的前后数据对比都发生了奇妙的变化：对于“还能分吗”，陷入纠结的学生两个班均上升了17.5%；对于“商中的小数点怎么办”，只关注竖式表面结构或不清楚该不该点在这儿的学生，A班上升了20%，B班上升了12.5%（详见图1、图2）。
下面我们来看两个典型的追访案例——
（访谈两名竖式运算书写完全正确的学生。）
师 （指着商中的小数点）小数点为什么点在这儿？
生 我觉得都对齐吧，被除数有小数点，商也应该有小数点。
（这名学生关注的是竖式结构表征的整齐划一，并没有关注到计数单位的变化和转换。）
……
师 1.2在这里是什么意思？
生 ……
（学生答不上来，教师启发他从除法“平均分”的角度考虑。）
生 把1.2平均分成3份……不够分啊……感觉也能分……
（接下来这名学生就陷入了“能分”与“不能分”的纠结之中，开始怀疑自己的答案是否正确。）
学生从面对问卷上的问题开始，按照自己的认知路径拾级而上，最终完成竖式运算并书写与作答，这是学生意识中的“我会做”。但通过追访我们发现，很多认为“我会做”的学生陷入了对商中小数点的质疑和能不能分的纠结之中。根据数据统计结果，这部分学生占比竟然达到40%左右，其中A班有45%，B班有32.5%。看来，学生“会做”并不代表他懂算理，即知其然但不知其所以然。
（三）对数据结果的进一步分析
1.学生认知的两道“坎”。
面对问题，学生由起初的“不知道”到最终的“我会做”之间，有两道“坎”要跨越：一个是对于整数部分剩余的“1”和小数部分的“2”组成的新数“还能分吗”，这是学生认识和理解上的难点；另一个是商中的小数点怎么办，这是学生思维容易搁浅之处。前者的实质是对于除法中“余数”的重新认识，是对整数除法意义的承袭，退回到原点，其本质是对除法意义的再认识；后者的实质是小数计数单位的转化与变换，商中的小数点是为了保持商与被除数在计数单位上的一致性，退回到原点，其本质是对小数位值制的再理解。可见，上述两道“坎”是学生在学习小数除法中的核心问题。 2.直观模型对于促进学生理解算理的效果明显。
从两次调研的数据中能够看出，提供直观模型的B班比不提供直观模型的A班情况要好得多。比如，能够借助于直观模型的学生B班占比更多一些；追访后，因“不会算”“还能分吗”“小数点怎么办”而陷入纠结或产生自我怀疑的学生，相比于A班，B班的占比都要少很多；通过追访发现，真正懂算理的学生B班占比更是优势明显。可见，对学生来说，直观模型促进算理理解的效果十分明显。特别是对整数部分分完后剩余数的处理——进一步化小单位再与相同计数单位上的数合并，对这一过程的理解最好能借助直观模型。如将12表示为12角，学生可借助人民币实物模型来理解；将1.2表示成12个0.1，学生可借助方格纸面积模型来理解。
二、基于前测调研的教学探索
（一）对小数除法教学的整体把握
对小数除法教学，教师应从整体上把握（见图3）。
首先，要在真实可感的现实生活情境中呈现问题，让学生经历实际问题数学化的过程，即将现实生活中的实际问题抽象成为数学问题，在情境中感悟小数除法的意义。其次，通过精确计算获得运算结果，对于算法，探索分享计算的多样化策略，关注学生起点的差异，尊重学生原生态的思考和思维的多层次性；对于算理，聚焦小数除法的核心问题，感悟计算方法背后的算理——小数位值制，这是小数除法教学的核心。此外，还要为学生创设观察、操作、思考、交流的空间，从而沟通算理与算法，同时对比不同计算策略的异同，让学生更好地掌握小数除法。
（二）借助直观模型帮助学生跨越两道“坎”
史宁中教授指出，量的关系的本质是多少，数的关系的本质是大小，数是对量的抽象。比如，元、角、米、分米等，这些是计量单位，量是直观的（见图4）；十、一、十分之一等，这些是计数单位，数是抽象的（见图5）。
因此，教学中应借助直观模型沟通计量单位与计数单位之间的联系，以直观的计量单位的转换支撑抽象的计数单位的转换。首先，量的转换可以使整数部分剩余的“1”转化为与小数部分的“2”同一计量单位的数，实现学生对除法意义的再认识。通过转化，学生认识到，整数部分剩余的“1”和小數部分的“2”组成的新数还能再分。其次，计量单位能直观、有效地帮助学生理解位值制，从而认识到不同数位上的数字代表着不同的量。学生只有明晰了核心问题，才能真正深入地理解小数除法的算理。
当然，从直观的具体运算阶段过渡到抽象的形式运算阶段不是一蹴而就的事情，这个过程要经过半抽象的过渡（详见图6）。其间，直观模型起到了重要的沟通作用，它可以是人民币实物模型，也可以是方格纸面积模型。
教学中，教师应提供适当的学具作为直观模型，让学生按需使用，借助直观模型说理，沟通计量单位与计数单位之间的联系，由动作表征、模型表征到竖式表征，最终真正从直观走向抽象，从而深入理解小数除法的算理及算法。
关键词：小数除以整数 前测调研 直观模型 计量单位 计数单位
“小数除法”是小学数学中运算教学的重要内容，也是小学阶段“数的运算”中学生普遍错误率较高的部分。在实际教学中笔者发现，利用学具（如人民币模型等）能够帮助学生更好地理解小数除法的算理，那么，学生初次接触小数除法时的学习难点是什么？如何更有效地运用直观模型突破这些难点？基于以上思考，以北师大版小学数学五年级上册《小数除法》的第一课时《小数除以整数》为例，笔者对同时执教的学习水平相当的两个班学生进行了深入的前测调研（问卷、追访），以探寻直观模型在本课教学中的作用。
一、前测调研
（一）调研题目及调研意图
A班没有创设现实背景，不提供直观模型，调研题目为：“10.2÷3等于多少？请想办法解决，尽可能详细地记录下你的思考过程。” B班创设了现实背景，提供直观模型，调研题目为：“买3袋牛奶一共花10.2元，每袋牛奶多少钱？可以利用直观模型研究，并尽可能详细地记录下你的思考过程。”这样的前测调研，意图有二：一是了解学生是否有主动寻求直观模型帮助的意识，他们会想到哪些直观模型，以及直观模型在“小数除以整数”学习中的价值；二是探寻学生学习“小数除以整数”的难点在哪里。
（二）数据统计结果
1.关于直观模型的使用。
对于调研意图一，答卷后，笔者通过对学生逐个追访收集数据。
A班情况见表1，B班情况见表2。
从表中可见，两个班在解决问题时使用直观模型的学生分别占47.5%和67.5%，但实际上，无论A班还是B班，学生开始时能够主动想到使用直观模型帮助自己解决问题的人数分别只占10%和20%，在教师提示后尝试使用直观模型的人数才有了一定幅度的上升，但A班依然沒有过半。这表明，学生在解决问题时主动寻求直观模型帮助的意识十分薄弱。学生能想到的直观模型有人民币（实物模型）、方格纸（面积模型）和直观图（包括线段图、圆圈图等），而选择方格纸和人民币的学生占使用直观模型学生的绝大多数（其中，A班选择方格纸的学生多一些，B班选择人民币的学生多一些）。另外，无论是A班还是B班，使用直观模型的学生多数都是在完成后借助直观模型来验证的，而真正在解决问题的过程中使用直观模型的学生仅占少数。
2.关于学习难点。
对于调研意图二，笔者以问卷和追访两种方式对A、B两班的情况分别调研，调研的项目有：①不知道如何运算。②竖式运算中整数部分剩余的“1”和小数部分的“2”组成的新数，还能分吗？③商中的小数点怎么办？④我会做。调研数据见表3。
从问卷作答看，无论是A班还是B班，不知道如何运算的仅占7.5%；对于竖式运算中整数部分剩余的“1”和小数部分的“2”组成的新数，分不了或不清楚能不能继续分的也不多，B班仅有7.5%，A班相比之下高一些，占20%；对于商中的小数点，不知道怎么办的更是少数，A班仅有10%，B班没有；认为自己“会做”（主要指竖式运算）的学生占绝大多数，A班占62.5%，B班更高，占85%。而令人感到惊讶的是，在答卷完成后对学生逐个追访时笔者发现，同样的调研项目，两个班的前后数据对比都发生了奇妙的变化：对于“还能分吗”，陷入纠结的学生两个班均上升了17.5%；对于“商中的小数点怎么办”，只关注竖式表面结构或不清楚该不该点在这儿的学生，A班上升了20%，B班上升了12.5%（详见图1、图2）。
下面我们来看两个典型的追访案例——
（访谈两名竖式运算书写完全正确的学生。）
师 （指着商中的小数点）小数点为什么点在这儿？
生 我觉得都对齐吧，被除数有小数点，商也应该有小数点。
（这名学生关注的是竖式结构表征的整齐划一，并没有关注到计数单位的变化和转换。）
……
师 1.2在这里是什么意思？
生 ……
（学生答不上来，教师启发他从除法“平均分”的角度考虑。）
生 把1.2平均分成3份……不够分啊……感觉也能分……
（接下来这名学生就陷入了“能分”与“不能分”的纠结之中，开始怀疑自己的答案是否正确。）
学生从面对问卷上的问题开始，按照自己的认知路径拾级而上，最终完成竖式运算并书写与作答，这是学生意识中的“我会做”。但通过追访我们发现，很多认为“我会做”的学生陷入了对商中小数点的质疑和能不能分的纠结之中。根据数据统计结果，这部分学生占比竟然达到40%左右，其中A班有45%，B班有32.5%。看来，学生“会做”并不代表他懂算理，即知其然但不知其所以然。
（三）对数据结果的进一步分析
1.学生认知的两道“坎”。
面对问题，学生由起初的“不知道”到最终的“我会做”之间，有两道“坎”要跨越：一个是对于整数部分剩余的“1”和小数部分的“2”组成的新数“还能分吗”，这是学生认识和理解上的难点；另一个是商中的小数点怎么办，这是学生思维容易搁浅之处。前者的实质是对于除法中“余数”的重新认识，是对整数除法意义的承袭，退回到原点，其本质是对除法意义的再认识；后者的实质是小数计数单位的转化与变换，商中的小数点是为了保持商与被除数在计数单位上的一致性，退回到原点，其本质是对小数位值制的再理解。可见，上述两道“坎”是学生在学习小数除法中的核心问题。 2.直观模型对于促进学生理解算理的效果明显。
从两次调研的数据中能够看出，提供直观模型的B班比不提供直观模型的A班情况要好得多。比如，能够借助于直观模型的学生B班占比更多一些；追访后，因“不会算”“还能分吗”“小数点怎么办”而陷入纠结或产生自我怀疑的学生，相比于A班，B班的占比都要少很多；通过追访发现，真正懂算理的学生B班占比更是优势明显。可见，对学生来说，直观模型促进算理理解的效果十分明显。特别是对整数部分分完后剩余数的处理——进一步化小单位再与相同计数单位上的数合并，对这一过程的理解最好能借助直观模型。如将12表示为12角，学生可借助人民币实物模型来理解；将1.2表示成12个0.1，学生可借助方格纸面积模型来理解。
二、基于前测调研的教学探索
（一）对小数除法教学的整体把握
对小数除法教学，教师应从整体上把握（见图3）。
首先，要在真实可感的现实生活情境中呈现问题，让学生经历实际问题数学化的过程，即将现实生活中的实际问题抽象成为数学问题，在情境中感悟小数除法的意义。其次，通过精确计算获得运算结果，对于算法，探索分享计算的多样化策略，关注学生起点的差异，尊重学生原生态的思考和思维的多层次性；对于算理，聚焦小数除法的核心问题，感悟计算方法背后的算理——小数位值制，这是小数除法教学的核心。此外，还要为学生创设观察、操作、思考、交流的空间，从而沟通算理与算法，同时对比不同计算策略的异同，让学生更好地掌握小数除法。
（二）借助直观模型帮助学生跨越两道“坎”
史宁中教授指出，量的关系的本质是多少，数的关系的本质是大小，数是对量的抽象。比如，元、角、米、分米等，这些是计量单位，量是直观的（见图4）；十、一、十分之一等，这些是计数单位，数是抽象的（见图5）。
因此，教学中应借助直观模型沟通计量单位与计数单位之间的联系，以直观的计量单位的转换支撑抽象的计数单位的转换。首先，量的转换可以使整数部分剩余的“1”转化为与小数部分的“2”同一计量单位的数，实现学生对除法意义的再认识。通过转化，学生认识到，整数部分剩余的“1”和小數部分的“2”组成的新数还能再分。其次，计量单位能直观、有效地帮助学生理解位值制，从而认识到不同数位上的数字代表着不同的量。学生只有明晰了核心问题，才能真正深入地理解小数除法的算理。
当然，从直观的具体运算阶段过渡到抽象的形式运算阶段不是一蹴而就的事情，这个过程要经过半抽象的过渡（详见图6）。其间，直观模型起到了重要的沟通作用，它可以是人民币实物模型，也可以是方格纸面积模型。
教学中，教师应提供适当的学具作为直观模型，让学生按需使用，借助直观模型说理，沟通计量单位与计数单位之间的联系，由动作表征、模型表征到竖式表征，最终真正从直观走向抽象，从而深入理解小数除法的算理及算法。