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《加法的初步认识》是学生第一次认识加法运算，也是四则运算教学的初始，它的教学地位与重要性是不言而喻的。尽管是作为初识性教学，我们却不可漠视这个学习现实起点。对于多数一年级学生来说，加法并非第一次接触，透过这种“似曾相识”乃至“比较熟悉”的感知经验，我们应该看到，学生的这种经验仅停留在对加法算式的认知上居多，对图意蕴含的加法意义缺乏准确的解读与口叙，更不能从抽象的加法式题外化列举具体化的生活原型。也就是说，学生对加法含义的认识是模糊的、不明确的、不深刻的，加法结构并没有真正建立。
笔者认为，只有当学生对图与式有着较好的对应性理解，对加法生活原型能顺利提炼与表述，才显示学生对加法含义有了正确认识，对加法结构有了初步构建。为此，图式表述和语言表达是落实加法含义这个教学重点的两个达成点，也是教学的难点所在。在教学中，我们习惯的是以“三部曲”为代表的建构引领方式。
1.模拟操作。组织学生开展操作活动（如左手拿2支铅笔，右手拿1支铅笔，然后合并起来），让学生边说边做动作。
2.抽象算式。教师揭示，两支铅笔可以用2来表示，一支铅笔用1来表示，合起来一共多少支，可以用加法算式“2＋1＝3”来表示。
3.深化意义。认读算式，说说1＋2＝3中1、2、3分别表示什么。
上述加法概念建构中，既有操作感知，也不乏抽象概括，似乎建构流程顺利完整。但值得我们反思的是，概念的形成一般分动作表征、图形表征、符号表征三个层次，在学生认知水平上相应落点为操作水平、表象水平和分析水平。而在“三部曲”里，这种认知梯度被割裂，从操作动作直接跨越到符号语言，忽略了图形认知这个中间环节，直接把学生思维推向二级抽象，造成学生思维活动断层，一时无法把具体实物与抽象符号联系起来加以理解和建构。因此，图示理应成为加法结构建立进程中不可或缺的引领权杖。
一、教学实践
1.教师演示，组织口叙。
（教师左手出示2支铅笔，右手出示1支铅笔）
师：能用自己的话来说一说刚才老师的动作吗？
指名让学生口叙并伺机引导学生用“先……又……合起来一共……”句式进行描述。
2.学生模仿重复，边操作边口叙。
3.尝试画图。
师：如果用圆圈代表铅笔，你能把刚才的过程画下来吗？你是怎样画的？
学生画图，教师选择学生作品进行交流比较：刚才的动作用下面哪幅图表示更合适？
图1○○○ 图2○○○
通过交流，学生认识到图2可以清楚地看出先画2个圆圈，再画1个圆圈的画圈过程，比较好地反映了刚才拿铅笔的操作过程。同时教师补充指出，可用一个方框把两部分的圆圈框起来表示合起来的意思。（
）
4.认读算式。
2支铅笔、2个圆圈可以用哪个数字来表示？1支铅笔、1个圆圈呢？刚才我们把铅笔合起来、画圆圈的过程在数学上就可以用一道算式来表示，你知道是哪道算式吗？学生试写，认读算式“2＋1＝3”。
5.看图联想。
师：刚才我们用圆圈代表了铅笔，如果用圆圈代表的是苹果，这幅图表示什么意思？
生：我先吃了2个苹果，又吃了1个苹果，合起来一共吃了3个苹果。
生：妈妈先给我2个苹果，又给了我1个苹果，合起来一共给我3个苹果。
师：你想用圆圈代表什么？能够说说这幅图的意思吗？
生：我买了2只梨，又买了1只梨，合起来一共是3只梨。
生：爸爸送给我2个皮球，后来又给我1个皮球，合起来一共有3个皮球。
生：我养了2只兔子，又买了1只，合起来一共有3只兔子。
小结指出：不管圆圈代表的是水果、动物，还是玩具，都表示把这类东西合并起来。
6.判断思考。
师：下面的图都能用算式“2＋1＝3”表示吗？
组织学生思考：
图5 能用加法算式表示吗？你认为可以用哪道加法算式表示？算式中的“3”“1”“4”分别表示什么？
7.图式转换训练。
（1）根据图意列式计算。
观察比较，你发现了什么？
（2）根据算式画图并计算结果。
2＋2＝ 3＋1＝
8.解决问题。
（1）（出示日课表）引出：
我们上午要学习3节课，下午要学习2节课，一天一共要学习几节课？
（2）二年级有3个班，一年级有2个班，一共有几个班？
（3）（情景显示）引出：
胡老师给班级买来了3盒乒乓球，后来又买了2盒，一共有几盒乒乓球？
解决反馈后讨论：这里为什么都可以用算式“3＋2＝5”来算。
9.总结延伸。
二、教学思考
学生的学习是新旧知识、认知经验不断相互作用的一个过程。在这个过程中，学生带着原有的经验系统和认知结构参与新知的学习，而新知的进入可能使原有的认知结构在量和质上发生调整与改变，从而实现认知结构的重建。上述教学实践以心理认知理论为指导，以图示为扶手，学生原有的经验系统得以充分调用，新旧认知结构间得到比较有效的相互作用，主要体现为以下两点。
1.从抽象算式逆化为具体实例
加法概念的本质是进行归类合并，“归并”意识的程度是判断学生是否从算式认知走向结构建立的重要标志。教学前，学生对“2＋1＝3”仅停留在抽象算式的认读上，缺乏归并意识，更无法体会到这是对现实世界归类合并抽象后的结果。也就是说，学生空有抽象的结论，却无实质的抽象经历。由此，我们不能盲目认为学生对加法含义已经有了较好的理解，从而高估学习起点。
概念的构建，一般都是从具体走向抽象。恰恰相反，此时学生的认知状态是处在一种“假抽象”的边缘，我们必须通过适当的方式引领他们从抽象走向具体进行回补。在教学中教师着力于两个层面进行回补。
首先，让学生历经一个“具象—表象—抽象”的完整认知进程。思维总是由动作引发的，在合并铅笔的模拟操作中，学生对“合并”产生动作具象的感知；接着通过画圆圈活动继续厚积“合并”的感知，并从动作表征提升到图象表征，最后在算式认读中完成“合并”含义的符号表征。这样，在图示的介入下，学生从具象、表象、抽象三个维度对“合并”的含义进行认知活动，吻合学生学习概念的心理，为学生提供了比较充裕的概念抽象时空和比较完整的概念抽象流程。
其次，注重“抽象”“具体”的相互转换训练。当学生初步经历了加法概念的认知过程，学生原有的认知经验开始萌动，教师不失时机地采用看图联想的方式进行进一步唤醒，学生在原有的经验系统中调用了“水果合并”“球类合并”“动物合并”等生活经验，与加法概念中的“合并”产生积极的联系，意识到算式“2＋1＝3”有着丰富的生活原型，是对许多生活事例的提炼和抽象。在练习中教师安排了“根据图意列式”“根据算式画图”等图式转换专项训练，让学生在“具体到抽象”“抽象到具体”的逆向认知中进一步增强图与式的对应性理解。在这种强化作用下，学生原先停留在算式认读的认知结构被扩充，“合并”的含义被有效内化。
2.从一式向多类进行纵深扩展
如果说学生对算式“2＋1＝3”的含义有着比较到位的认识与理解，那也仅局限在对一道加法算式个例的认知建构上，不足以构成学生对整个加法结构的建立。所以，我们必须有效帮助学生从“一式”向“多类”进行纵深扩展。
在纵深扩展中，教师并没有简单地从量上进行叠加（如提供比较多的图列算式或单纯的算式计算），而是多次组织学生在识辨、质疑中逐步深入。对于算式“2＋1＝3”，教师没有轻易地一带而过，而是采用识图判别的形式引发学生进行反思——怎样的图意可以用算式“2＋1＝3”来表示？从直观的图示比较中，学生意识到图4与圆圈图相比虽然图形发生变换（变为三角形图）而图意并未发生改变；而图6虽然图形没有发生变换（仍是圆圈图），图意却发生了变化；图5的解读则很自然地引出“3＋1＝4”的算式，由一式向他式进行扩展。
由于学生比较习惯于具体物体个数的归并，而对类的归并比较淡漠。教师考虑到这一学习现实，借助具体情境进行有意识的材料扩展，让学生在“课节数”“班级数”“乒乓球盒数”归并中思辨“为什么都可以用算式3＋2＝5来算”，感受到归并既可以是单个的具体数，也可以是以复数为单位的类的归并。这样，学生才有可能跃升到集合归并的高度来感悟加法含义，也才有可能对加法结构产生质的认识。而这些，正是我们加法概念教学所寄予的本真所在。
（浙江省奉化市溪口镇中心小学 315502
浙江省奉化市居敬小学315500）
笔者认为，只有当学生对图与式有着较好的对应性理解，对加法生活原型能顺利提炼与表述，才显示学生对加法含义有了正确认识，对加法结构有了初步构建。为此，图式表述和语言表达是落实加法含义这个教学重点的两个达成点，也是教学的难点所在。在教学中，我们习惯的是以“三部曲”为代表的建构引领方式。
1.模拟操作。组织学生开展操作活动（如左手拿2支铅笔，右手拿1支铅笔，然后合并起来），让学生边说边做动作。
2.抽象算式。教师揭示，两支铅笔可以用2来表示，一支铅笔用1来表示，合起来一共多少支，可以用加法算式“2＋1＝3”来表示。
3.深化意义。认读算式，说说1＋2＝3中1、2、3分别表示什么。
上述加法概念建构中，既有操作感知，也不乏抽象概括，似乎建构流程顺利完整。但值得我们反思的是，概念的形成一般分动作表征、图形表征、符号表征三个层次，在学生认知水平上相应落点为操作水平、表象水平和分析水平。而在“三部曲”里，这种认知梯度被割裂，从操作动作直接跨越到符号语言，忽略了图形认知这个中间环节，直接把学生思维推向二级抽象，造成学生思维活动断层，一时无法把具体实物与抽象符号联系起来加以理解和建构。因此，图示理应成为加法结构建立进程中不可或缺的引领权杖。
一、教学实践
1.教师演示，组织口叙。
（教师左手出示2支铅笔，右手出示1支铅笔）
师：能用自己的话来说一说刚才老师的动作吗？
指名让学生口叙并伺机引导学生用“先……又……合起来一共……”句式进行描述。
2.学生模仿重复，边操作边口叙。
3.尝试画图。
师：如果用圆圈代表铅笔，你能把刚才的过程画下来吗？你是怎样画的？
学生画图，教师选择学生作品进行交流比较：刚才的动作用下面哪幅图表示更合适？
图1○○○ 图2○○○
通过交流，学生认识到图2可以清楚地看出先画2个圆圈，再画1个圆圈的画圈过程，比较好地反映了刚才拿铅笔的操作过程。同时教师补充指出，可用一个方框把两部分的圆圈框起来表示合起来的意思。（
）
4.认读算式。
2支铅笔、2个圆圈可以用哪个数字来表示？1支铅笔、1个圆圈呢？刚才我们把铅笔合起来、画圆圈的过程在数学上就可以用一道算式来表示，你知道是哪道算式吗？学生试写，认读算式“2＋1＝3”。
5.看图联想。
师：刚才我们用圆圈代表了铅笔，如果用圆圈代表的是苹果，这幅图表示什么意思？
生：我先吃了2个苹果，又吃了1个苹果，合起来一共吃了3个苹果。
生：妈妈先给我2个苹果，又给了我1个苹果，合起来一共给我3个苹果。
师：你想用圆圈代表什么？能够说说这幅图的意思吗？
生：我买了2只梨，又买了1只梨，合起来一共是3只梨。
生：爸爸送给我2个皮球，后来又给我1个皮球，合起来一共有3个皮球。
生：我养了2只兔子，又买了1只，合起来一共有3只兔子。
小结指出：不管圆圈代表的是水果、动物，还是玩具，都表示把这类东西合并起来。
6.判断思考。
师：下面的图都能用算式“2＋1＝3”表示吗？
组织学生思考：
图5 能用加法算式表示吗？你认为可以用哪道加法算式表示？算式中的“3”“1”“4”分别表示什么？
7.图式转换训练。
（1）根据图意列式计算。
观察比较，你发现了什么？
（2）根据算式画图并计算结果。
2＋2＝ 3＋1＝
8.解决问题。
（1）（出示日课表）引出：
我们上午要学习3节课，下午要学习2节课，一天一共要学习几节课？
（2）二年级有3个班，一年级有2个班，一共有几个班？
（3）（情景显示）引出：
胡老师给班级买来了3盒乒乓球，后来又买了2盒，一共有几盒乒乓球？
解决反馈后讨论：这里为什么都可以用算式“3＋2＝5”来算。
9.总结延伸。
二、教学思考
学生的学习是新旧知识、认知经验不断相互作用的一个过程。在这个过程中，学生带着原有的经验系统和认知结构参与新知的学习，而新知的进入可能使原有的认知结构在量和质上发生调整与改变，从而实现认知结构的重建。上述教学实践以心理认知理论为指导，以图示为扶手，学生原有的经验系统得以充分调用，新旧认知结构间得到比较有效的相互作用，主要体现为以下两点。
1.从抽象算式逆化为具体实例
加法概念的本质是进行归类合并，“归并”意识的程度是判断学生是否从算式认知走向结构建立的重要标志。教学前，学生对“2＋1＝3”仅停留在抽象算式的认读上，缺乏归并意识，更无法体会到这是对现实世界归类合并抽象后的结果。也就是说，学生空有抽象的结论，却无实质的抽象经历。由此，我们不能盲目认为学生对加法含义已经有了较好的理解，从而高估学习起点。
概念的构建，一般都是从具体走向抽象。恰恰相反，此时学生的认知状态是处在一种“假抽象”的边缘，我们必须通过适当的方式引领他们从抽象走向具体进行回补。在教学中教师着力于两个层面进行回补。
首先，让学生历经一个“具象—表象—抽象”的完整认知进程。思维总是由动作引发的，在合并铅笔的模拟操作中，学生对“合并”产生动作具象的感知；接着通过画圆圈活动继续厚积“合并”的感知，并从动作表征提升到图象表征，最后在算式认读中完成“合并”含义的符号表征。这样，在图示的介入下，学生从具象、表象、抽象三个维度对“合并”的含义进行认知活动，吻合学生学习概念的心理，为学生提供了比较充裕的概念抽象时空和比较完整的概念抽象流程。
其次，注重“抽象”“具体”的相互转换训练。当学生初步经历了加法概念的认知过程，学生原有的认知经验开始萌动，教师不失时机地采用看图联想的方式进行进一步唤醒，学生在原有的经验系统中调用了“水果合并”“球类合并”“动物合并”等生活经验，与加法概念中的“合并”产生积极的联系，意识到算式“2＋1＝3”有着丰富的生活原型，是对许多生活事例的提炼和抽象。在练习中教师安排了“根据图意列式”“根据算式画图”等图式转换专项训练，让学生在“具体到抽象”“抽象到具体”的逆向认知中进一步增强图与式的对应性理解。在这种强化作用下，学生原先停留在算式认读的认知结构被扩充，“合并”的含义被有效内化。
2.从一式向多类进行纵深扩展
如果说学生对算式“2＋1＝3”的含义有着比较到位的认识与理解，那也仅局限在对一道加法算式个例的认知建构上，不足以构成学生对整个加法结构的建立。所以，我们必须有效帮助学生从“一式”向“多类”进行纵深扩展。
在纵深扩展中，教师并没有简单地从量上进行叠加（如提供比较多的图列算式或单纯的算式计算），而是多次组织学生在识辨、质疑中逐步深入。对于算式“2＋1＝3”，教师没有轻易地一带而过，而是采用识图判别的形式引发学生进行反思——怎样的图意可以用算式“2＋1＝3”来表示？从直观的图示比较中，学生意识到图4与圆圈图相比虽然图形发生变换（变为三角形图）而图意并未发生改变；而图6虽然图形没有发生变换（仍是圆圈图），图意却发生了变化；图5的解读则很自然地引出“3＋1＝4”的算式，由一式向他式进行扩展。
由于学生比较习惯于具体物体个数的归并，而对类的归并比较淡漠。教师考虑到这一学习现实，借助具体情境进行有意识的材料扩展，让学生在“课节数”“班级数”“乒乓球盒数”归并中思辨“为什么都可以用算式3＋2＝5来算”，感受到归并既可以是单个的具体数，也可以是以复数为单位的类的归并。这样，学生才有可能跃升到集合归并的高度来感悟加法含义，也才有可能对加法结构产生质的认识。而这些，正是我们加法概念教学所寄予的本真所在。
（浙江省奉化市溪口镇中心小学 315502
浙江省奉化市居敬小学315500）