论文部分内容阅读
涂色问题在排列组合问题中占有很重要的地位.并且涂色问题比较复杂，也是大家学习中的一个难点.现结合具体例子谈谈这类问题的求解方法.
一、直线型涂色问题
例1 用四种不同的颜色给图中的4个区域涂色每个区域涂一种颜色，问：
（1） 共有多少种不同的涂色方法？
（2） 若要求相邻区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？
分析：由于所要完成的一件事是“进行逐一涂色”，故可利用分步乘法计数原理解决。
解（1） 由于1至4号区域各有4种不同的涂法，故按照分步乘法计数原理得，不同的涂色方法共有 种。
（2）先涂区域1有四种方法，涂区域2时，由于要与区域1不同色，故只有3种方法，同理涂区域3和区域4均有3种方法。故有分步乘法计数原理得，共有不同涂色方法 种。
二、方形涂色问题
例二 用5种不同的颜色给下图中的4个区域涂色，每一个区域涂一种颜色，若要求相邻区域（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
分析：若按图中顺序涂色，涂区域1有5种，涂区域2有4种，但是涂区域3时就比较麻烦了，区域3是否与区域1同色直接影响区域4的涂色。
解：第一类：区域1与区域3同色。
按区域顺序，有分步乘法计数原理的共有 种不同的涂法。
第二类：区域1与区域3不同色。
按区域顺序，有分步乘法计数原理的共有 种不同的涂法。
依据分类加法计数原理可知，共有不同的涂色方法 种。
点评：方形中的区域就较为复杂了，各临近的区域均互相干扰，因此，一般处理方法是根据着色要求，应对相隔区域是否同色加以分类讨论，即综合运用分类与分布来解决。
三、圆形涂色问题
例3 如图，用5种不同的颜色给图中的5个区域涂色，每一个区域涂一种颜色，若要求相邻区域（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
分析：由于有5种不同颜色可供选择，所以可选择
3种、4种、5种不同的颜色，可见有3类方法可以独立完成这件事，
而每一类又不能一次完成，所以分步进行。
解：（1）当用3种颜色时，区域2、4涂同种颜色，有5种方法，
区域3、5涂同种颜色，有4种方法，区域1有3种方法，
由分步乘法计数原理知有 种
（2）当用4种颜色时，则区域2、4涂同种颜色，或区域3、5涂同种颜色。若区域2、4涂同种颜色，有5种方法。区域3有4方法，区域5有3种方法，区域1有2种方法，由分步乘法计数原理有 种不同方法；若区域3、5涂同种颜色，同理得也有 种不同方法；再有分类加法计数原理共有 种不同方法。
（3）当用5种颜色时，有 种不同方法。
根据分类加法计数原理共有 种不同方法
点评：当两个原理混合使用时，常见的思维模式是分类讨论，再逐类分析。
教育不仅具有生产力等经济功能和价值，而且这种价值和功能要与人的精神世界的丰富，道德品质的提高，人与自然的和谐，人文精神的培养相协调。而我们原来的一些教育方法，对学生个性心理的发展，以及创新素质的培养是格格不入的。针对这一客观事实，教师的职能应该做相应的改变，由封闭式的教学改为指导学生“开放式学习”，教师应树立以“学生的发展 为本”的教育观念。建立完全平等的新型师生关系。另外，“双基”是我国教育的特长，但“双基”是随着时代而变化的，“代数运算的熟练和逻辑推理的严谨”虽然是双基的两个基本点，应该是“新双基”的有机组成部分，高中数学教师对此必须有清醒的认识。
新课程中，增设了“数学建模，探究性问题，数学文化”这三个模块式的内容。这些内容的增设其主要目的是培养学生的数学素质。这些内容要求教师要用全新的教学模式来教学，因此，要求教师要具有创新精神，要能够推崇创新，追求创新和以创新为荣，善于发现问题和提出问题。要善于打破常规，突破传统观念，具有敏锐的洞察力和丰富的想象力。使思维具有超前性和独创性。教师自身应具备宽厚的基础知识和现代信息素质，形成多层次、多元化的知识结构；有开阔的视野，善于分析综合信息，有创新的数学模式，创新的教学方法，灵活的教学内容选择，以创新思维培养为核心的评价标准等。善于创设“创新的自由空间”，为学生提供更广阔的学习园地，指导学生改进学习方式。
新的高中课程，具备有多样的选择性，在共同基础上设置不同的系列课程，以供学生进行适合自己发展的选择。整个高中数学课程体系，包括课程设置，课程目标，课程内容等，都将致力于根据学生的不同志趣，能力特征以及未来职业需求和發展需要，向他们提供侧重于不同面数学学习内容和数学实践活动（实行学分制，达到规定学分该科即可毕业）。
这就要求高中数学教师有能力胜任不同的课程，既能教基础课程也能教系列课。教师不仅是解惑者，还应是问题的诊断者，学习的启发者，还要求教师能了解所教学生的个性发展。指导帮助学生按自己的能力需要选择所学课程，去塑造自我，实现超越自我。
一、直线型涂色问题
例1 用四种不同的颜色给图中的4个区域涂色每个区域涂一种颜色，问：
（1） 共有多少种不同的涂色方法？
（2） 若要求相邻区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？
分析：由于所要完成的一件事是“进行逐一涂色”，故可利用分步乘法计数原理解决。
解（1） 由于1至4号区域各有4种不同的涂法，故按照分步乘法计数原理得，不同的涂色方法共有 种。
（2）先涂区域1有四种方法，涂区域2时，由于要与区域1不同色，故只有3种方法，同理涂区域3和区域4均有3种方法。故有分步乘法计数原理得，共有不同涂色方法 种。
二、方形涂色问题
例二 用5种不同的颜色给下图中的4个区域涂色，每一个区域涂一种颜色，若要求相邻区域（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
分析：若按图中顺序涂色，涂区域1有5种，涂区域2有4种，但是涂区域3时就比较麻烦了，区域3是否与区域1同色直接影响区域4的涂色。
解：第一类：区域1与区域3同色。
按区域顺序，有分步乘法计数原理的共有 种不同的涂法。
第二类：区域1与区域3不同色。
按区域顺序，有分步乘法计数原理的共有 种不同的涂法。
依据分类加法计数原理可知，共有不同的涂色方法 种。
点评：方形中的区域就较为复杂了，各临近的区域均互相干扰，因此，一般处理方法是根据着色要求，应对相隔区域是否同色加以分类讨论，即综合运用分类与分布来解决。
三、圆形涂色问题
例3 如图，用5种不同的颜色给图中的5个区域涂色，每一个区域涂一种颜色，若要求相邻区域（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？
分析：由于有5种不同颜色可供选择，所以可选择
3种、4种、5种不同的颜色，可见有3类方法可以独立完成这件事，
而每一类又不能一次完成，所以分步进行。
解：（1）当用3种颜色时，区域2、4涂同种颜色，有5种方法，
区域3、5涂同种颜色，有4种方法，区域1有3种方法，
由分步乘法计数原理知有 种
（2）当用4种颜色时，则区域2、4涂同种颜色，或区域3、5涂同种颜色。若区域2、4涂同种颜色，有5种方法。区域3有4方法，区域5有3种方法，区域1有2种方法，由分步乘法计数原理有 种不同方法；若区域3、5涂同种颜色，同理得也有 种不同方法；再有分类加法计数原理共有 种不同方法。
（3）当用5种颜色时，有 种不同方法。
根据分类加法计数原理共有 种不同方法
点评：当两个原理混合使用时，常见的思维模式是分类讨论，再逐类分析。
教育不仅具有生产力等经济功能和价值，而且这种价值和功能要与人的精神世界的丰富，道德品质的提高，人与自然的和谐，人文精神的培养相协调。而我们原来的一些教育方法，对学生个性心理的发展，以及创新素质的培养是格格不入的。针对这一客观事实，教师的职能应该做相应的改变，由封闭式的教学改为指导学生“开放式学习”，教师应树立以“学生的发展 为本”的教育观念。建立完全平等的新型师生关系。另外，“双基”是我国教育的特长，但“双基”是随着时代而变化的，“代数运算的熟练和逻辑推理的严谨”虽然是双基的两个基本点，应该是“新双基”的有机组成部分，高中数学教师对此必须有清醒的认识。
新课程中，增设了“数学建模，探究性问题，数学文化”这三个模块式的内容。这些内容的增设其主要目的是培养学生的数学素质。这些内容要求教师要用全新的教学模式来教学，因此，要求教师要具有创新精神，要能够推崇创新，追求创新和以创新为荣，善于发现问题和提出问题。要善于打破常规，突破传统观念，具有敏锐的洞察力和丰富的想象力。使思维具有超前性和独创性。教师自身应具备宽厚的基础知识和现代信息素质，形成多层次、多元化的知识结构；有开阔的视野，善于分析综合信息，有创新的数学模式，创新的教学方法，灵活的教学内容选择，以创新思维培养为核心的评价标准等。善于创设“创新的自由空间”，为学生提供更广阔的学习园地，指导学生改进学习方式。
新的高中课程，具备有多样的选择性，在共同基础上设置不同的系列课程，以供学生进行适合自己发展的选择。整个高中数学课程体系，包括课程设置，课程目标，课程内容等，都将致力于根据学生的不同志趣，能力特征以及未来职业需求和發展需要，向他们提供侧重于不同面数学学习内容和数学实践活动（实行学分制，达到规定学分该科即可毕业）。
这就要求高中数学教师有能力胜任不同的课程，既能教基础课程也能教系列课。教师不仅是解惑者，还应是问题的诊断者，学习的启发者，还要求教师能了解所教学生的个性发展。指导帮助学生按自己的能力需要选择所学课程，去塑造自我，实现超越自我。