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几何概型是高中新课程数学概率部分中的新增内容，其特点鲜明，应用性强，在新课程高考中备受关注.解决几何概型的关键是利用已知条件建立适当的几何模型.一般地，在几何区域D中随机取点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”这一事件为A，则事件A发生的概率P(A)=d测度D测度.本文以高考题及部分省市质检题为例，分别就测度在一维、二维和三维中的体现，梳理如下.
一、一维几何概型
一维实际是指的是一条线，在理解上即为左右一个方向.也可理解为点动成线，只有长度，没有宽度和高度.
例1 （2010年湖南卷理11）在区间［-1，2］上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为.
分析 数轴上的动点构成线段，所以本题测度定位长度.
解 记事件“|x|≤1”为事件A，则d测度为|1-(-1)|=2，D测度为|2-(-1)|=3，则P(A)=d测度D测度=23.
例2 平面内有一组等距的平行直线,其距离为2a,半径为r 分析 本题的测度为长度,是硬币的中心到平行直线a,b的距离问题.
图 1
解 记事件“硬币不与任一条直线相碰”为事件A，在平面内有一组等距的平行直线中选取两条相邻直线a,b进行研究(如图1).
设硬币的中心字母为O,过中心O向直线a作垂线,垂足为M.
由“半径为r 即D测度为2a.
又“硬币不与任一条直线相碰”,得到硬币的中心到平行直线的范围为r 即d测度为(2a-r)-r=2a-2r.
则P(A)=d测度D测度=2a-2r2a=a-ra.
所以,硬币不与任一条直线相碰的概率为a-ra.
评注 “硬币不与任一条直线相碰”与“硬币不与任一条直线相碰”互为互斥事件，本题亦可用正难则反的思想方法来解决.
例3 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率？
图 2
分析 本题的测度为长度.
记事件“AM小于AC”为事件A.
在AB边上取点S，使得AD=AC(如图2).
又由“等腰直角三角形ABC”，
得到AB=2AC=2AD.
由“斜边AB上任取一点M”，
得到0≤AB≤AB，即D测度为AB.
由“AM小于AC”，得到0≤AM 则P(A)=d测度D测度=ADAB=22.
所以，AM小于AC的概率为22.
在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率.图 3
分析 本题测度是角度.
记事件“AM小于AC”为事件A.
在AB边上取点D，使得AD=AC(如图3).
又由“等腰直角三角形ABC”，
得到∠ACD=∠ADC=67.5°.
由“斜边AB上任取一点M”，
得到0°≤∠ACM≤90°，即D测度为90°.
由“AM小于AC”，
得到0°≤∠ACM<67.5°，即d测度为67.5°.
则P(A)=d测度D测度=67.590=34.
二、二维几何概型
二维即前后、上下两个方向，不存在左右.也可理解为线动成面，只有长度和宽度，没有高度，即只有面积.在一张纸上的内容就可以看成是二维，是没有厚度的物体.
例4 半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，求硬币落下后与小圆无公共点的概率?
分析 本题的测度为面积.
记事件“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A.
图 4
设小圆圆心为O，硬币中心为O′，连接OO′(如图4).
由“硬币抛到此纸板上”，得到硬币中心落在以O为圆心，9为半径的圆及其圆内部分，即D的测度为81π.
又“硬币落下后与小圆无公共点”，
得到硬币中心落在以O为圆心，半径2到9的圆环及其内部，
即d的测度为π(92-22)=77π.
则P(A)=d测度D测度=77π81π=7781.
所以,硬币落下后与小圆无公共点的概率为7781.
总结 “硬币落下后与小圆无公共点”与“硬币落下后与小圆有公共点”互为互斥事件，本题亦可用正难则反的思想方法来解决.
三、三维几何概型
三维即前后、上下、左右三个方向.也可理解为面动成体，长度、宽度和高度都有，即只有体积.
例5 在三棱锥D-ABC内任取一点Q，求其与底面ABC构成体积超过原来一半的概率？
分析 本题的测度为体积.
记事件“三棱锥Q-ABC的体积超过三棱锥D-ABC一半”为事件A.
由“三棱锥D-ABC内任取一点Q”，
得到点Q所在区域为三棱锥D-ABC内，
即D的测度为VD-ABC.
图 5
又“三棱锥Q-ABC的体积超过三棱锥D-ABC一半”，
取DA中点M，DB中点N，DC中点O，连接MN，MO，NO（如图5），
得到点Q所在区域为三棱锥D-MNO内，即d的测度为VD-MNO.
则P(A)=d测度D测度=VD-MNOVD-ABC
=DMDA3=123=18.
所以,三棱锥Q-ABC的体积超过三棱锥D-ABC一半的概率为18.
例6 在(0,1)内任取3数，求这三个数能作为边构成三角形的概率.
分析 记事件“在(0,1)内任取3数能作为边构成三角形”为事件A.
图 6
设在(0,1)内任取3数为x,y,z.
则x,y,z这三个数构成的点(x,y,z)在正方体A1B1C1D1-ABCD内，如图6，A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(1,1,0),D1(0,1,0),A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1),D(0,1,1),本题的测度为体积.
由“(0,1)内任取3数”，
得到D的测度为VA1B1C1D1-ABCD=1.
由“在(0,1)内任取3数能作为边构成三角形”，
得到x,y,z这三个数应满足x+y>z,y+z>x,x+z>y.
其中x+y=z表示的平面为平面A1BD，
y+z=x表示的平面为平面A1C1B，
x+z=y表示的平面为平面A1C1D，
所以点(x,y,z)在多面体A1C1CBD中（如图7）.
图 7
即d的测度为VA1-C1BD+VC-C1BD=VA1B1C1D1-ABCD-3VC-C1BD=1-3×13×12=12.
则P(A)=d测度D测度=12.
所以，在(0,1)内任取3数能作为边构成三角形的概率为12.
求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据的区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件P(x,y)的约束条件，找出约束条件后，就像线性规划求可行域一样求其测度就不困难了.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、一维几何概型
一维实际是指的是一条线，在理解上即为左右一个方向.也可理解为点动成线，只有长度，没有宽度和高度.
例1 （2010年湖南卷理11）在区间［-1，2］上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为.
分析 数轴上的动点构成线段，所以本题测度定位长度.
解 记事件“|x|≤1”为事件A，则d测度为|1-(-1)|=2，D测度为|2-(-1)|=3，则P(A)=d测度D测度=23.
例2 平面内有一组等距的平行直线,其距离为2a,半径为r
图 1
解 记事件“硬币不与任一条直线相碰”为事件A，在平面内有一组等距的平行直线中选取两条相邻直线a,b进行研究(如图1).
设硬币的中心字母为O,过中心O向直线a作垂线,垂足为M.
由“半径为r
又“硬币不与任一条直线相碰”,得到硬币的中心到平行直线的范围为r
则P(A)=d测度D测度=2a-2r2a=a-ra.
所以,硬币不与任一条直线相碰的概率为a-ra.
评注 “硬币不与任一条直线相碰”与“硬币不与任一条直线相碰”互为互斥事件，本题亦可用正难则反的思想方法来解决.
例3 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率？
图 2
分析 本题的测度为长度.
记事件“AM小于AC”为事件A.
在AB边上取点S，使得AD=AC(如图2).
又由“等腰直角三角形ABC”，
得到AB=2AC=2AD.
由“斜边AB上任取一点M”，
得到0≤AB≤AB，即D测度为AB.
由“AM小于AC”，得到0≤AM
所以，AM小于AC的概率为22.
在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率.图 3
分析 本题测度是角度.
记事件“AM小于AC”为事件A.
在AB边上取点D，使得AD=AC(如图3).
又由“等腰直角三角形ABC”，
得到∠ACD=∠ADC=67.5°.
由“斜边AB上任取一点M”，
得到0°≤∠ACM≤90°，即D测度为90°.
由“AM小于AC”，
得到0°≤∠ACM<67.5°，即d测度为67.5°.
则P(A)=d测度D测度=67.590=34.
二、二维几何概型
二维即前后、上下两个方向，不存在左右.也可理解为线动成面，只有长度和宽度，没有高度，即只有面积.在一张纸上的内容就可以看成是二维，是没有厚度的物体.
例4 半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，求硬币落下后与小圆无公共点的概率?
分析 本题的测度为面积.
记事件“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A.
图 4
设小圆圆心为O，硬币中心为O′，连接OO′(如图4).
由“硬币抛到此纸板上”，得到硬币中心落在以O为圆心，9为半径的圆及其圆内部分，即D的测度为81π.
又“硬币落下后与小圆无公共点”，
得到硬币中心落在以O为圆心，半径2到9的圆环及其内部，
即d的测度为π(92-22)=77π.
则P(A)=d测度D测度=77π81π=7781.
所以,硬币落下后与小圆无公共点的概率为7781.
总结 “硬币落下后与小圆无公共点”与“硬币落下后与小圆有公共点”互为互斥事件，本题亦可用正难则反的思想方法来解决.
三、三维几何概型
三维即前后、上下、左右三个方向.也可理解为面动成体，长度、宽度和高度都有，即只有体积.
例5 在三棱锥D-ABC内任取一点Q，求其与底面ABC构成体积超过原来一半的概率？
分析 本题的测度为体积.
记事件“三棱锥Q-ABC的体积超过三棱锥D-ABC一半”为事件A.
由“三棱锥D-ABC内任取一点Q”，
得到点Q所在区域为三棱锥D-ABC内，
即D的测度为VD-ABC.
图 5
又“三棱锥Q-ABC的体积超过三棱锥D-ABC一半”，
取DA中点M，DB中点N，DC中点O，连接MN，MO，NO（如图5），
得到点Q所在区域为三棱锥D-MNO内，即d的测度为VD-MNO.
则P(A)=d测度D测度=VD-MNOVD-ABC
=DMDA3=123=18.
所以,三棱锥Q-ABC的体积超过三棱锥D-ABC一半的概率为18.
例6 在(0,1)内任取3数，求这三个数能作为边构成三角形的概率.
分析 记事件“在(0,1)内任取3数能作为边构成三角形”为事件A.
图 6
设在(0,1)内任取3数为x,y,z.
则x,y,z这三个数构成的点(x,y,z)在正方体A1B1C1D1-ABCD内，如图6，A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(1,1,0),D1(0,1,0),A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1),D(0,1,1),本题的测度为体积.
由“(0,1)内任取3数”，
得到D的测度为VA1B1C1D1-ABCD=1.
由“在(0,1)内任取3数能作为边构成三角形”，
得到x,y,z这三个数应满足x+y>z,y+z>x,x+z>y.
其中x+y=z表示的平面为平面A1BD，
y+z=x表示的平面为平面A1C1B，
x+z=y表示的平面为平面A1C1D，
所以点(x,y,z)在多面体A1C1CBD中（如图7）.
图 7
即d的测度为VA1-C1BD+VC-C1BD=VA1B1C1D1-ABCD-3VC-C1BD=1-3×13×12=12.
则P(A)=d测度D测度=12.
所以，在(0,1)内任取3数能作为边构成三角形的概率为12.
求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据的区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件P(x,y)的约束条件，找出约束条件后，就像线性规划求可行域一样求其测度就不困难了.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文