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摘要：在教学过程中如何选择适当的方法，让所有的学生都参与到学习的过程中，使各层次的学生得到共同的发展，是一个值得每位教师探索的问题。
关键词：数学；分层教学；探究
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）02-079-2
我校是一所新创办的普通高级中学，学生来源广，知识水平、认知能力参差不齐。如果课堂教学不顾学生的个性差异，搞“一刀切”，则会带来消极后果；若要求较高，只顾及少数尖子生的“迅速发展”，必然会影响中、“学困生”（把基础较差或学习有困难的学生称为“学困生”）的学习效果，造成两极分化的现象；若总是片面地照顾“学困生”，低要求、低标准，则既不能真正地转化“学困生”，更抑制了优秀生的发展要求。因此，要贯彻面向全体的教学思想，就必需在两者之间找到平衡点，力求使各个层次的学生互相促进共同发展，“学困生”不弱，优生更优。
一、降低起点，显现根源，同时起步
复习导引：师问：（1）数轴上两点间的距离公式？（2）直角坐标系中点A（x1，0），B（x2，0）之间的距离如何表示？改为A（0，y1），B（0，y2）呢？（3）直角坐标系中点A（x1，0），B（x2，y2）之间的距离如何表示？改为A（x1，y1），B（0，y2）呢？（4）求下列两点间的距离：1. A（2，3），B（5，3）2. A（-2，3），B（-2，5）3. A（1，0），B（3，5）4. A（1，4），B（1，-3）你能得到更一般的结论吗？（让学生先思考，再讨论交流）
生答：对A（x1，y0），B（x2，y0）有|AB|=|x1-x2|；对A（x0，y1），B（x0，y2）有|AB|=|y1-y2|；
师问：A（2，3），B（3，5）之间的距离如何求？一般地，对A（x1，y1），B（x2，y2），当AB不平行于坐标轴时，|AB|又如何表示呢？
板书课题：两点间的距离公式
（一个好的教学设计就是由若干个“问题串“形成的一个完整的过程。如果“问题串”中的“问题“设计得太简单了，那么就达不到让学生认知的目的，如果设计得太难了学生的理解跟不上，那么就违背了我们的初衷。因此，要把握好“问题串”的“度”。
本节课开始若直接由数轴上的两点间的距离引入直角坐标平面上两点间的距离，优生的抽象思维能力可以得到很好的训练，但会使中、“学困生”产生思维障碍，特别是基础不好的学生，其思维启动慢，需较多地依赖于感性认识，习惯于形象思维。故本节课从已有的知识出发，通过自然的类比引伸，符合学生的认知能力，对优生亦有吸引力。对特殊情形的研究，为基础不好的学生提供了所需的感性材料，从特殊到一般的过程为学生创造了认知的情境，为解决课题作好了铺垫，并培养了学生抽象、概括能力。提供原型，发展已知，探求矛盾恰恰是认识的出发点，也是提高学习兴趣的根本做法，因此能促使所有学生同时启动思维的闸门，进入对新知渴求、希望探索的思维状态）
二、放慢节奏，延迟判断，共同参与
新授：让学生探求：A（2，3），B（3，5）之间的距离，留足够思考的时间，并进行讨论。
（教师在课堂上要敢于给学生以思考的时间，把数学发现的成功机会留给学生，让学生真正成为数学发现的主人。有老师担心这样做耗时较多，带来课堂容量不足，影响教学效果。其实，片面追求课堂内容上容量是“填鸭式”教学的典型特征，没有学生的主动参与就不可能有高密度的思维容量，而这恰恰是我们追求的目标。要增加思维容量，一种有效的手段就是放慢节奏，延迟判断，留下充裕的时间，将探索和发现的机会让给学生。若直接得出结论，再加以证明则失去了一次训练思维，渗透数学思想的良机。这种做法无论对优生还是学习困难的学生都是很有必要的：优生发现问题的机会大大增加，并赢得反思的时间；“学困生”增加了思考的时间，由于可以互相讨论，他们可以从其他同学那里得到某种启发，并有足够的时间进行“所以然”的讨论。可见这一做法增加了集体的参与程度，促进了学生的互相作用，提高了课堂思维密度）
三、仔细分解，收缩跨度，各得发展
提问：你是怎样求A（2，3），B（3，5）之间的距离的？（尽可能让“学困生”回答）
师（提炼思想）：构造直角三角形的过程，实际上是把未知问题转化为已知的过程。这就是化归思想。那么对A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离又如何求呢？
由于特例的启发，学生可以想到解决的方法，而发现的过程本身就是证明。
（以上的过程作了两个方面的分解，其一，先研究特例再解决一般情形，前者为后者作了有效的铺垫，并有机地渗透了特殊化的思想方法。其二，将AB的距离分解为两直角边的探求，通过转化步入了“最近发现区”。这种做法既能帮助“学困生”弄懂弄通，又是对科学的思想方法的演示和数学思想方法的操练，对全体学生都是大有裨益的。因此对于学生层次不整齐的班级，合理的分解思维过程，逐步收缩思维的跨度是非常必要的。不过这一收缩和分解的主动权应交给学生，决不是由教师分解得一清二楚。收缩过程要让学生明了分解的目的，力求上升到思想的高度，获得高效能的教学效果）
四、及时反馈，加以巩固，夯实基础
巩固：练习1 求两点间的距离
1.已知：平面内A，B两点，求两点间的距离
（1）A（-2，3）， B（4，5）（2）A（-5，-6）， B（2，-4）
练习2 已知：点A（x，0）和B（2，3）的距离为32，求x的值。若|AB|为3或2呢？
练习3 判断△ABC的形状
已知：△ABC三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（12，32），试判断△ABC的形状
（在概念讲解以后，通过题组的形式，对概念及时巩固，通过反馈有利于及时发现问题，解决问题。练习1是两点间的距离公式的直接应用；练习2是两点间的距离公式的逆用，训练学生的逆向思维；练习3是两点间的距离公式的实际应用，训练学生应用公式解决实际问题的能力。） 例题：求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
注意讲解例时要使学生明确两点，第一为什么要建立坐标系（要表示式中的线段长，就需要知道各点的坐标）；第二怎样选择坐标系？（培养求简意识）
（公式的形式对称，易于记忆，及时利用利于提高记忆效果。知识是能力的保证，上述例题练习对掌握基础知识基本技能是非常必要的，练习1直应用公式，起记忆之效；练习2反映了公式中的变量知四求一，渗透了方程的思想，学会灵活运用；例题体现了解析几何的基本思想；用代数的方法研究几何问题，是解析法的启蒙，合理建立坐标系和恰当设点也是解析几何的基本技能，几个问题逐层深入，使各个层次的学生的基础知识，基本技能得到训练和强化，为进一步发展创造了有利的条件。
应该注意为使巩固练习起到反馈信息的作用，练习的形式要灵活多样，如对容易混淆的概念要创设适当的纠错情境，从正、反、侧多方面对概念进行剖析，在对比和分析判断中正确辨析新旧概念的异同。对过于抽象的内容要以循环反复，螺旋递进的方式进行练习，力求在练习中加深对概念的理解。应重视外延对理解内涵的辅助作用，在对特殊对象的共性分析中深化对内涵的理解。总之，扎实的基本功对所有学生都是不可或缺的）
五、巧妙引伸，适度拓展，挖掘潜能
提问：（3 1）2 （-2-1）2表示哪两点间的距离？（x 1）2 （y-1）2表示哪两点间的距离？求函数y=x2 x 2 x2-2x 2的最小值。
（两点间的距离公式实是计算线段长度的代数式，它体现了一种特定形式的代数式的几何意义，因此应该在应用这种几何意义进行逆向思维训练的同时将知识活化，通过数形转化培养思维的创造性和深刻性。这是利用知识的内涵进行的拓展，对优生来说无疑是一次发展能力优化思维的良机，而对中、“学困生”而言也是不难接受的。特别是在由具体实例作了感性准备后，又由于问题本身的趣味性能调动起积极的参与意识和活跃的思维活动，对挖掘“学困生”的潜能也是很有功效的。）
六、多讨论，交互作用，互相促进
让学生讨论如何应用距离公式求上述函数的最小值。
（学生水平差异较大时，发挥学生的交互作用是逐步缩小差距的主要措施。这种交互作用一方面能使“学困生”得到优生的帮助启发，感受到团结互助的温暖和集体智慧的力量，从而增强上进的信心和勇气。由于讨论是在平等的氛围中进行的，与由教师提问优生得到结果相比，不仅是“学困生”的参与程度增加了，更使其参与意识增强了。特别是“学困生”想到了某些优生也未想到的方法时其信心更是倍增。另一方面，讨论在培养优生的能力上也是很有益的：要将自己的观点让“学困生”理解，就必须准确、形象地表达自己思想。这一表述过程既有优生自己的反思，也有“学困生”的评价，对完善思维是有很大帮助的。而“学困生”难以理解之处正可以使优生弄清问题的关键，从而强化对重点难点的认识。当然当“学困生”提出了优生未想到的见解时也是对优生的自我教育）
七、善于总结，归纳提炼，发现规律
解决上述问题后，让学生思考还有何种最值问题也可以用这种转化方法处理。根据平面几何中的两类问题的类比，可以发现形如最大值的问题亦可运用数形结合法解决再引导学生对课本内容进行小结：
（1）公式及其推导方法；
（2）公式的作用：①求距离；
②代数问题几何化；
③蕴涵的数学思想。
（总结是抽象概括的过程，是使学习内容条理化的过程。总结过程本身能培养学生的抽象概括能力，而总结的结果能使学生抓住这一节课的精髓，尤其是“学困生”，其条理化程度低、掌握的知识较为零碎，只有通过总结使之形成板块结构，方能让其抓住“纲”而带动“目”。另外，将思想方法应于分析过程之中对优生是有效的，但对“学困生”效果不佳。笔者认为，通过总结将隐于教学之中的思想方法加以明显化，并使学生掌握这些思想方法，对提高学生尤其是中差生的能力是必不可少的。也只有做到这一点，对“学困生”的转化才能变为现实。）
八、留有余味，延伸课外，发展特长
最后提出问题课后思考：求函数y=x4-3x2-6x 13-x4-x2 1的最大值。
（运用课堂内容的自然延伸，创设课外的思维空间是促使学生个性特长得到充分发挥的一种有效手段，也是因材施教教学原则的重要体现。）
关键词：数学；分层教学；探究
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）02-079-2
我校是一所新创办的普通高级中学，学生来源广，知识水平、认知能力参差不齐。如果课堂教学不顾学生的个性差异，搞“一刀切”，则会带来消极后果；若要求较高，只顾及少数尖子生的“迅速发展”，必然会影响中、“学困生”（把基础较差或学习有困难的学生称为“学困生”）的学习效果，造成两极分化的现象；若总是片面地照顾“学困生”，低要求、低标准，则既不能真正地转化“学困生”，更抑制了优秀生的发展要求。因此，要贯彻面向全体的教学思想，就必需在两者之间找到平衡点，力求使各个层次的学生互相促进共同发展，“学困生”不弱，优生更优。
一、降低起点，显现根源，同时起步
复习导引：师问：（1）数轴上两点间的距离公式？（2）直角坐标系中点A（x1，0），B（x2，0）之间的距离如何表示？改为A（0，y1），B（0，y2）呢？（3）直角坐标系中点A（x1，0），B（x2，y2）之间的距离如何表示？改为A（x1，y1），B（0，y2）呢？（4）求下列两点间的距离：1. A（2，3），B（5，3）2. A（-2，3），B（-2，5）3. A（1，0），B（3，5）4. A（1，4），B（1，-3）你能得到更一般的结论吗？（让学生先思考，再讨论交流）
生答：对A（x1，y0），B（x2，y0）有|AB|=|x1-x2|；对A（x0，y1），B（x0，y2）有|AB|=|y1-y2|；
师问：A（2，3），B（3，5）之间的距离如何求？一般地，对A（x1，y1），B（x2，y2），当AB不平行于坐标轴时，|AB|又如何表示呢？
板书课题：两点间的距离公式
（一个好的教学设计就是由若干个“问题串“形成的一个完整的过程。如果“问题串”中的“问题“设计得太简单了，那么就达不到让学生认知的目的，如果设计得太难了学生的理解跟不上，那么就违背了我们的初衷。因此，要把握好“问题串”的“度”。
本节课开始若直接由数轴上的两点间的距离引入直角坐标平面上两点间的距离，优生的抽象思维能力可以得到很好的训练，但会使中、“学困生”产生思维障碍，特别是基础不好的学生，其思维启动慢，需较多地依赖于感性认识，习惯于形象思维。故本节课从已有的知识出发，通过自然的类比引伸，符合学生的认知能力，对优生亦有吸引力。对特殊情形的研究，为基础不好的学生提供了所需的感性材料，从特殊到一般的过程为学生创造了认知的情境，为解决课题作好了铺垫，并培养了学生抽象、概括能力。提供原型，发展已知，探求矛盾恰恰是认识的出发点，也是提高学习兴趣的根本做法，因此能促使所有学生同时启动思维的闸门，进入对新知渴求、希望探索的思维状态）
二、放慢节奏，延迟判断，共同参与
新授：让学生探求：A（2，3），B（3，5）之间的距离，留足够思考的时间，并进行讨论。
（教师在课堂上要敢于给学生以思考的时间，把数学发现的成功机会留给学生，让学生真正成为数学发现的主人。有老师担心这样做耗时较多，带来课堂容量不足，影响教学效果。其实，片面追求课堂内容上容量是“填鸭式”教学的典型特征，没有学生的主动参与就不可能有高密度的思维容量，而这恰恰是我们追求的目标。要增加思维容量，一种有效的手段就是放慢节奏，延迟判断，留下充裕的时间，将探索和发现的机会让给学生。若直接得出结论，再加以证明则失去了一次训练思维，渗透数学思想的良机。这种做法无论对优生还是学习困难的学生都是很有必要的：优生发现问题的机会大大增加，并赢得反思的时间；“学困生”增加了思考的时间，由于可以互相讨论，他们可以从其他同学那里得到某种启发，并有足够的时间进行“所以然”的讨论。可见这一做法增加了集体的参与程度，促进了学生的互相作用，提高了课堂思维密度）
三、仔细分解，收缩跨度，各得发展
提问：你是怎样求A（2，3），B（3，5）之间的距离的？（尽可能让“学困生”回答）
师（提炼思想）：构造直角三角形的过程，实际上是把未知问题转化为已知的过程。这就是化归思想。那么对A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离又如何求呢？
由于特例的启发，学生可以想到解决的方法，而发现的过程本身就是证明。
（以上的过程作了两个方面的分解，其一，先研究特例再解决一般情形，前者为后者作了有效的铺垫，并有机地渗透了特殊化的思想方法。其二，将AB的距离分解为两直角边的探求，通过转化步入了“最近发现区”。这种做法既能帮助“学困生”弄懂弄通，又是对科学的思想方法的演示和数学思想方法的操练，对全体学生都是大有裨益的。因此对于学生层次不整齐的班级，合理的分解思维过程，逐步收缩思维的跨度是非常必要的。不过这一收缩和分解的主动权应交给学生，决不是由教师分解得一清二楚。收缩过程要让学生明了分解的目的，力求上升到思想的高度，获得高效能的教学效果）
四、及时反馈，加以巩固，夯实基础
巩固：练习1 求两点间的距离
1.已知：平面内A，B两点，求两点间的距离
（1）A（-2，3）， B（4，5）（2）A（-5，-6）， B（2，-4）
练习2 已知：点A（x，0）和B（2，3）的距离为32，求x的值。若|AB|为3或2呢？
练习3 判断△ABC的形状
已知：△ABC三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（12，32），试判断△ABC的形状
（在概念讲解以后，通过题组的形式，对概念及时巩固，通过反馈有利于及时发现问题，解决问题。练习1是两点间的距离公式的直接应用；练习2是两点间的距离公式的逆用，训练学生的逆向思维；练习3是两点间的距离公式的实际应用，训练学生应用公式解决实际问题的能力。） 例题：求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
注意讲解例时要使学生明确两点，第一为什么要建立坐标系（要表示式中的线段长，就需要知道各点的坐标）；第二怎样选择坐标系？（培养求简意识）
（公式的形式对称，易于记忆，及时利用利于提高记忆效果。知识是能力的保证，上述例题练习对掌握基础知识基本技能是非常必要的，练习1直应用公式，起记忆之效；练习2反映了公式中的变量知四求一，渗透了方程的思想，学会灵活运用；例题体现了解析几何的基本思想；用代数的方法研究几何问题，是解析法的启蒙，合理建立坐标系和恰当设点也是解析几何的基本技能，几个问题逐层深入，使各个层次的学生的基础知识，基本技能得到训练和强化，为进一步发展创造了有利的条件。
应该注意为使巩固练习起到反馈信息的作用，练习的形式要灵活多样，如对容易混淆的概念要创设适当的纠错情境，从正、反、侧多方面对概念进行剖析，在对比和分析判断中正确辨析新旧概念的异同。对过于抽象的内容要以循环反复，螺旋递进的方式进行练习，力求在练习中加深对概念的理解。应重视外延对理解内涵的辅助作用，在对特殊对象的共性分析中深化对内涵的理解。总之，扎实的基本功对所有学生都是不可或缺的）
五、巧妙引伸，适度拓展，挖掘潜能
提问：（3 1）2 （-2-1）2表示哪两点间的距离？（x 1）2 （y-1）2表示哪两点间的距离？求函数y=x2 x 2 x2-2x 2的最小值。
（两点间的距离公式实是计算线段长度的代数式，它体现了一种特定形式的代数式的几何意义，因此应该在应用这种几何意义进行逆向思维训练的同时将知识活化，通过数形转化培养思维的创造性和深刻性。这是利用知识的内涵进行的拓展，对优生来说无疑是一次发展能力优化思维的良机，而对中、“学困生”而言也是不难接受的。特别是在由具体实例作了感性准备后，又由于问题本身的趣味性能调动起积极的参与意识和活跃的思维活动，对挖掘“学困生”的潜能也是很有功效的。）
六、多讨论，交互作用，互相促进
让学生讨论如何应用距离公式求上述函数的最小值。
（学生水平差异较大时，发挥学生的交互作用是逐步缩小差距的主要措施。这种交互作用一方面能使“学困生”得到优生的帮助启发，感受到团结互助的温暖和集体智慧的力量，从而增强上进的信心和勇气。由于讨论是在平等的氛围中进行的，与由教师提问优生得到结果相比，不仅是“学困生”的参与程度增加了，更使其参与意识增强了。特别是“学困生”想到了某些优生也未想到的方法时其信心更是倍增。另一方面，讨论在培养优生的能力上也是很有益的：要将自己的观点让“学困生”理解，就必须准确、形象地表达自己思想。这一表述过程既有优生自己的反思，也有“学困生”的评价，对完善思维是有很大帮助的。而“学困生”难以理解之处正可以使优生弄清问题的关键，从而强化对重点难点的认识。当然当“学困生”提出了优生未想到的见解时也是对优生的自我教育）
七、善于总结，归纳提炼，发现规律
解决上述问题后，让学生思考还有何种最值问题也可以用这种转化方法处理。根据平面几何中的两类问题的类比，可以发现形如最大值的问题亦可运用数形结合法解决再引导学生对课本内容进行小结：
（1）公式及其推导方法；
（2）公式的作用：①求距离；
②代数问题几何化；
③蕴涵的数学思想。
（总结是抽象概括的过程，是使学习内容条理化的过程。总结过程本身能培养学生的抽象概括能力，而总结的结果能使学生抓住这一节课的精髓，尤其是“学困生”，其条理化程度低、掌握的知识较为零碎，只有通过总结使之形成板块结构，方能让其抓住“纲”而带动“目”。另外，将思想方法应于分析过程之中对优生是有效的，但对“学困生”效果不佳。笔者认为，通过总结将隐于教学之中的思想方法加以明显化，并使学生掌握这些思想方法，对提高学生尤其是中差生的能力是必不可少的。也只有做到这一点，对“学困生”的转化才能变为现实。）
八、留有余味，延伸课外，发展特长
最后提出问题课后思考：求函数y=x4-3x2-6x 13-x4-x2 1的最大值。
（运用课堂内容的自然延伸，创设课外的思维空间是促使学生个性特长得到充分发挥的一种有效手段，也是因材施教教学原则的重要体现。）