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一、案例主题分析与设计
本节课的主题是苏科版义务教育课程标准实验教科书八年级数学（下册）第八章第3节内容——探索《频率与概率》，它是后面研究等可能条件下概率的基础，是“概率“的重要内容。《义务教育数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。本节课将以“生活·数学”“活动·思考”“表达·应用”为主线开展课堂教学，让学生在“玩”中学习，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生的合作性学习精神。
二、案例描述
1.情境创设
师：最近大家都比较关注马航MH370飞机失事的报道，飞机失事会给旅客造成意外伤害。
生：旅客买保险了吗？
生：这下马航要赔大本了。
师：如果一家保险公司要为购买机票的旅客进行保险，应该向旅客收取多少保费呢？为此，保险公司必须精确计算出飞机失事的可能性有多大。
师：类似这样的问题在我们的日常生活中也经常遇到，你能举出几个随机事件的例子吗？
生：明天下雨的可能性有多大？
生：买张彩票中奖的可能性有多大？
生：在装有彩球的袋子中，任意摸出的1个球恰好是红球的可能性有多大？
生：抛掷1枚均匀骰子，向上一面的点数是6点的可能性有多大？
[说明]学生举出一些随机事件，注重学生从生活中获得直观经验。
师：随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率。若用A表示一个事件，则我们就用P（A）表示事件A发生的概率。
师：你们知道必然事件的概率是多少吗？
生：必然事件发生的可能性是100%，那概率就是1了。
生：不可能事件发生的可能性是0，那概率就是0了。
师：那你能告诉我随机事件发生的概率是多少呢？
生：（不知如何回答）
师：随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0 ■
师：对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小。
2.学生活动
同桌2人为一小组，一人负责做试验，一人负责记录。提前准备好质地均匀的硬币，教师布置游戏并说明规则：每个人抛掷硬币一次，称为一次实验。
师：一次试验中抛掷硬币出现哪几种结果？
生：有正面朝上和反面朝上2种结果。
师：你认为是正面朝上的可能性大，还是反面朝上的可能性大？
师：每一小组做50次试验，依次记录每次正面朝上的结果，将试验结果填写在所发的表格中。
■
师：根据表格，制作相应的频数分布直方图。
生：（忙碌的试验中）
[说明]给学生充足的时间，教师不能作“看客”，应深入学生的活动中去，了解学生试验的结果、讨论的焦点，认知的过程。
（5分钟后）
师：那我们请几位小组代表来讲讲各自试验中硬币正面朝上的频率是多少？
小组代表：0.67。
小组代表：0.47。
小组代表：0.50。
小组代表：……
师：他们说得有道理吗？大家的答案为什么会不一样呢？
生：每位同学都是根据自己的试验结果进行计算的，因此都有道理，但因为试验具有随机性，因此结果不同。
师：如果增加试验次数呢？
生：（不知如何回答）
师：六个同学组成一个小组，分别汇总其中的两人、三人、四人、五人、六人的试验数据相应得到试验100次、150次、200次、250次、300次时硬币正面朝上的频率，填写在所发的表格中，并绘制相对应的折线统计图。
（汇总数据中，有的负责收集数据，有的负责整理数据，有的负责填统计表，有的绘折线统计图，有的负责总结汇报，忙得不可开交）
[说明]老师在各小组间巡回指导，观察各小组成员是否具有合作意识，是否积极活动，各组有何疑难及问题，及时引导和点拨，确保各小组顺利进行，最后各小组记录好本组结论，以便组间讨论。
师：在上面的试验中，你发现了什么？增加试验次数后频率发生怎样的变化？
小组代表：我通过不同试验次数的折现统计图发现，随着试验次数的增加，频率的波动变小了。
小组代表：一个人的试验数据相差可能较大，而小组汇总后的试验数据相差较小。
小组代表：随着试验次数的增加，试验数据波动不大，比较稳定。
小组代表：试验次数较大时，试验频率比较稳定。
……
[说明]对凡是表述合理的小组提出肯定，并注意寻找各个小组的闪光点进行表扬。
师：各小组说得都很好，请接着讨论，当试验次数很大时，你估计硬币正面朝上趋于哪一个稳定值？
小组代表：0.50。
师：其他小组同意吗？
其他小组：同意。
[说明]关注学生是否积极参加小组讨论，是否有自己的观点，小组代表是否能将自己的观点清晰且有条理地表达出来。
师：下面我们用多媒体课件将各组数据集中起来，它与你们的估计相近吗？
小组：（各自检验）
师：想一想硬币正面朝上的频率与硬币正面朝上的概率有什么关系？ 生：当试验次数很大时，硬币正面朝上的频率稳定在相应的概率附近。
师：你对求一个事件的概率有什么认识吗？
生：可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
师：非常好，一般地在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会稳定在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率P（A）。
[说明]注重学生对概率的意义理解，可要求学生用自己的语言来描述自己对问题的理解。
师：抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面”和“反面”的概率均等，因此抛掷1000次的话，一定有500次“正”，500次“反”。你对这个问题有什么看法？
生：既然出现“正面”和“反面”的概率都是二分之一，那就是500次“正”，500次“反”。
生：我同意这个解释，1000的一半不就是500吗？
……
师：（总结）错。虽然“正”“反”出现的概率均为二分之一，但频率并不等同于概率，它只是一个近似值，即使是多次抛掷之后，频率也只能是与概率十分相近，但不一定相等，因此抛1000次硬币，也不一定有500次“正”，500次“反”。
师：你们课后可以抛掷图钉分别汇总各个小组的试验结果，具体见课本第47页。
师：（总结）一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会稳定地在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率P（A）。事实上，事件A发生的概率P（A）的精确值，即这个常数还是未知的，但是在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值。
3.课堂小结
师：你是怎么理解概率的？
生：一般地在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会稳定在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率。
[说明]注重学生在不同的情境中参与实践活动，能否对试验频率来估计随机事件发生的理论概率的思想，借助大量重复试验发现：试验频率不一定等于理论概率，虽然多次试验的频率逐步稳定于理论概率，但也可能发现，无论做多少次试验，试验概率仍仅是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率。
三、案例反思
这节课的教学实现了三个方面的转变：
1.教师的转变
教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。教师成为学生的导师、伙伴，在课堂上除了引导学生活动外，还要认真聆听学生活动的过程和通过活动所得的知识或方法。
2.学生的转变
学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是简单地“学”数学，而是深入地“做”数学。学生在试验中体会频率的稳定性，形成对概率的全面理解，发展了初步的辩证思维能力。学生通过大量试验还会发现，试验频率并不一定等于概率，虽然多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率，但也可能无论做多少次试验，试验频率仍然是理论的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者存在着一定的偏差，应该说，偏差的存在是正常、经常的。概率应尽量让学生通过具体试验领会这一点，从而形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解，初步形成随机观念，发展学生初步的辩证思维能力。
3.课堂氛围的转变
整节课以“流畅、开放、合作、引导”为基本特征，整节课学生与学生、学生与教师之间以“对话”“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。教师在组织全班学生进行讨论时，师生共同进行评价并对各组得到的结论加以归纳，给更多的学生参与的机会，多肯定，多表扬，多鼓励，使他们感受到成功的体验。
总之，在数学教学的花园里，教师需要为学生布置好和谐的场景和明晰的路标，让他们自由快活地跳舞！
作者简介：李艳艳，女，1984年10月出生，本科学历，现任教于：江苏省南京市六合区新集中学，在教学一线从事数学新课改小班化教学模式的研究。
本节课的主题是苏科版义务教育课程标准实验教科书八年级数学（下册）第八章第3节内容——探索《频率与概率》，它是后面研究等可能条件下概率的基础，是“概率“的重要内容。《义务教育数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。本节课将以“生活·数学”“活动·思考”“表达·应用”为主线开展课堂教学，让学生在“玩”中学习，并在活动中激发学生认真思考、积极探索，主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生的合作性学习精神。
二、案例描述
1.情境创设
师：最近大家都比较关注马航MH370飞机失事的报道，飞机失事会给旅客造成意外伤害。
生：旅客买保险了吗？
生：这下马航要赔大本了。
师：如果一家保险公司要为购买机票的旅客进行保险，应该向旅客收取多少保费呢？为此，保险公司必须精确计算出飞机失事的可能性有多大。
师：类似这样的问题在我们的日常生活中也经常遇到，你能举出几个随机事件的例子吗？
生：明天下雨的可能性有多大？
生：买张彩票中奖的可能性有多大？
生：在装有彩球的袋子中，任意摸出的1个球恰好是红球的可能性有多大？
生：抛掷1枚均匀骰子，向上一面的点数是6点的可能性有多大？
[说明]学生举出一些随机事件，注重学生从生活中获得直观经验。
师：随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率。若用A表示一个事件，则我们就用P（A）表示事件A发生的概率。
师：你们知道必然事件的概率是多少吗？
生：必然事件发生的可能性是100%，那概率就是1了。
生：不可能事件发生的可能性是0，那概率就是0了。
师：那你能告诉我随机事件发生的概率是多少呢？
生：（不知如何回答）
师：随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0
师：对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小。
2.学生活动
同桌2人为一小组，一人负责做试验，一人负责记录。提前准备好质地均匀的硬币，教师布置游戏并说明规则：每个人抛掷硬币一次，称为一次实验。
师：一次试验中抛掷硬币出现哪几种结果？
生：有正面朝上和反面朝上2种结果。
师：你认为是正面朝上的可能性大，还是反面朝上的可能性大？
师：每一小组做50次试验，依次记录每次正面朝上的结果，将试验结果填写在所发的表格中。
■
师：根据表格，制作相应的频数分布直方图。
生：（忙碌的试验中）
[说明]给学生充足的时间，教师不能作“看客”，应深入学生的活动中去，了解学生试验的结果、讨论的焦点，认知的过程。
（5分钟后）
师：那我们请几位小组代表来讲讲各自试验中硬币正面朝上的频率是多少？
小组代表：0.67。
小组代表：0.47。
小组代表：0.50。
小组代表：……
师：他们说得有道理吗？大家的答案为什么会不一样呢？
生：每位同学都是根据自己的试验结果进行计算的，因此都有道理，但因为试验具有随机性，因此结果不同。
师：如果增加试验次数呢？
生：（不知如何回答）
师：六个同学组成一个小组，分别汇总其中的两人、三人、四人、五人、六人的试验数据相应得到试验100次、150次、200次、250次、300次时硬币正面朝上的频率，填写在所发的表格中，并绘制相对应的折线统计图。
（汇总数据中，有的负责收集数据，有的负责整理数据，有的负责填统计表，有的绘折线统计图，有的负责总结汇报，忙得不可开交）
[说明]老师在各小组间巡回指导，观察各小组成员是否具有合作意识，是否积极活动，各组有何疑难及问题，及时引导和点拨，确保各小组顺利进行，最后各小组记录好本组结论，以便组间讨论。
师：在上面的试验中，你发现了什么？增加试验次数后频率发生怎样的变化？
小组代表：我通过不同试验次数的折现统计图发现，随着试验次数的增加，频率的波动变小了。
小组代表：一个人的试验数据相差可能较大，而小组汇总后的试验数据相差较小。
小组代表：随着试验次数的增加，试验数据波动不大，比较稳定。
小组代表：试验次数较大时，试验频率比较稳定。
……
[说明]对凡是表述合理的小组提出肯定，并注意寻找各个小组的闪光点进行表扬。
师：各小组说得都很好，请接着讨论，当试验次数很大时，你估计硬币正面朝上趋于哪一个稳定值？
小组代表：0.50。
师：其他小组同意吗？
其他小组：同意。
[说明]关注学生是否积极参加小组讨论，是否有自己的观点，小组代表是否能将自己的观点清晰且有条理地表达出来。
师：下面我们用多媒体课件将各组数据集中起来，它与你们的估计相近吗？
小组：（各自检验）
师：想一想硬币正面朝上的频率与硬币正面朝上的概率有什么关系？ 生：当试验次数很大时，硬币正面朝上的频率稳定在相应的概率附近。
师：你对求一个事件的概率有什么认识吗？
生：可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
师：非常好，一般地在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会稳定在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率P（A）。
[说明]注重学生对概率的意义理解，可要求学生用自己的语言来描述自己对问题的理解。
师：抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面”和“反面”的概率均等，因此抛掷1000次的话，一定有500次“正”，500次“反”。你对这个问题有什么看法？
生：既然出现“正面”和“反面”的概率都是二分之一，那就是500次“正”，500次“反”。
生：我同意这个解释，1000的一半不就是500吗？
……
师：（总结）错。虽然“正”“反”出现的概率均为二分之一，但频率并不等同于概率，它只是一个近似值，即使是多次抛掷之后，频率也只能是与概率十分相近，但不一定相等，因此抛1000次硬币，也不一定有500次“正”，500次“反”。
师：你们课后可以抛掷图钉分别汇总各个小组的试验结果，具体见课本第47页。
师：（总结）一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会稳定地在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率P（A）。事实上，事件A发生的概率P（A）的精确值，即这个常数还是未知的，但是在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值。
3.课堂小结
师：你是怎么理解概率的？
生：一般地在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率会稳定在某一个常数附近摆动，这个常数就是事件A发生的概率。
[说明]注重学生在不同的情境中参与实践活动，能否对试验频率来估计随机事件发生的理论概率的思想，借助大量重复试验发现：试验频率不一定等于理论概率，虽然多次试验的频率逐步稳定于理论概率，但也可能发现，无论做多少次试验，试验概率仍仅是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率。
三、案例反思
这节课的教学实现了三个方面的转变：
1.教师的转变
教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。教师成为学生的导师、伙伴，在课堂上除了引导学生活动外，还要认真聆听学生活动的过程和通过活动所得的知识或方法。
2.学生的转变
学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是简单地“学”数学，而是深入地“做”数学。学生在试验中体会频率的稳定性，形成对概率的全面理解，发展了初步的辩证思维能力。学生通过大量试验还会发现，试验频率并不一定等于概率，虽然多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率，但也可能无论做多少次试验，试验频率仍然是理论的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者存在着一定的偏差，应该说，偏差的存在是正常、经常的。概率应尽量让学生通过具体试验领会这一点，从而形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解，初步形成随机观念，发展学生初步的辩证思维能力。
3.课堂氛围的转变
整节课以“流畅、开放、合作、引导”为基本特征，整节课学生与学生、学生与教师之间以“对话”“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。教师在组织全班学生进行讨论时，师生共同进行评价并对各组得到的结论加以归纳，给更多的学生参与的机会，多肯定，多表扬，多鼓励，使他们感受到成功的体验。
总之，在数学教学的花园里，教师需要为学生布置好和谐的场景和明晰的路标，让他们自由快活地跳舞！
作者简介：李艳艳，女，1984年10月出生，本科学历，现任教于：江苏省南京市六合区新集中学，在教学一线从事数学新课改小班化教学模式的研究。