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【摘要】本文主要研究的是线性变换的对角化问题及其应用，首先通过对线性变换的对角化进行概况分析，其次运用矩阵对角化的知识体系以及其与线性变换对角化两者之间的关系，来探讨线性变换的对角化问题及其具体应用。
【关健词】线性变换；对角化；矩阵；应用
在现在的高校数学代数课程中，线性变换对角化与矩阵对角化都是高等代数课程中的重要内容，而线性变换的对角化与矩阵对角化之间又存在着某种联系，学生通过学习矩阵对角化的知识体系可以更全面的掌握线性变换的对角化问题，因此本文主要是通过矩阵对角化问题来探讨线性变换的对角化問题及其应用。
一、线性变换的对角化概况
线性变换的对角化是现代高等代数课程中线性变换的一章重要内容，许多高等代数课程中以及关于线性代数的教材中，都是将线性变换对角化作为其教学主线，同时其中还夹带着一些关于矩阵对角化的问题，这样一来使得学生在学习关于矩阵对角化问题时得不到全面有效的知识体系，虽然对于线性变换对角化问题与矩阵对角化问题学生可以统一兼之，但这两者互相交织起来就会变得混淆不清，容易使学生晕头转向，增加了学习的难度，同时矩阵对角化在平时的应用范围比较广泛，其理论体系相对于线性变换对角化的理论体系来说，要更容易理解得多，相应的一旦掌握了矩阵对角化方法，对于学习线性变换的对角化有非常大的帮助作用，学习起来也会事半功倍。
二、线性变换的对角化问题
如上文所述，线性变换的对角化与矩阵对角化之间存在联系，率先掌握矩阵对角化问题，在理解学习线性变换对角化问题时可以起事半功倍的效果，因此研究线性变换的对角化问题就先要对矩阵对角化问题进行相应的分析。
1.矩阵对角化的定义
在数学领域中，矩阵是一个依据长方形排列而成的复数或实数的集合体，它起源于方程组中系数与常数所构成的方阵，而对角化的矩阵则是线性代数与矩阵论中的一个重要的矩阵类别，假设一个方块矩阵A比较相似于对角矩阵，那也就是说，当有一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵时，这个方块矩阵A就是可以对角化的，同样的以V代表有限维度的向量空间，则线性映射T：V到V之间也是可以对角化的，如果向量空间V存在一个基，则线性映射T就可以表示为对角矩阵，因此可以对角化的矩阵与线性映射在线性代数中具有非常重要的价值，主要是因为可以对角化的矩阵处理起来相对要容易一些，在其特征值与特征向量都是已知的情况下，通过对对角元素的提升就可将同样的幂提升到矩阵所需要的高度。
2.矩阵的特征值与特征向量
设A为n阶方程，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那这个数λ就可称之为矩阵A的特征值，非零向量x就可称之为A的对应于特征值的特征向量，其公式为（ A-λE）X=0，其中n是未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0 。
如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则数 m 就是A的一个特征值，非零n维列向量x称为矩阵A的属于m的特征向量，简称A的特征向量。
3.线性变换对角化问题
3.1列式如果存在V的一组基，使σ在这组基下的矩阵是对角阵，就称 σ 可对角化，否则就是不可对角化。
如果这种特殊基存在，设为{ε1，ε2，…，εn}，使σ（ε1，ε2，…，εn ） = （ε1，ε2，…，εn）D，
D=diag（λ1 ，λi ， … ，λn ），λi ∈F 。
则 σεi =λi εi ，i=1，2， … ，n ；由此可见εi ，λi 满足方程 σα=λα
3.2列式，其中的F的数λ和V中的非零向量α达到σα=λα的条件，就可以将数λ称作是σ的特征值，而α就是σ的特征值λ的特征向量。
若σ可对角化，则所找的基向量就是σ的特征向量，而σ在这组基下的对角阵的主对角线上元素就必定是σ的特征值，但是怎样求出这样的基，并未有实际的解决方法，因此根据 L（V）与Fn×n的同构关系，可利用矩阵的相似对角化进行解决。
线性变换对角化与矩阵对角化的关系
给定 ，σ在V的基{a1，a2，…，an }下的矩阵为 A，即σ（a1，a2，…，an）=（a1，a2，…，an）A，而如果σ可对角化，则存在 V 的一组基{ε1，ε2，…，εn}，使σ（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn） D，
D=diag（λ1 ，λ ， … ，λn ），
又设（ε1，ε2，…，εn）=（a1，a2，…，an）T，则T 可逆，且T-1AT=D，即A可相似对角化，反之若是A可相似对角化，则存在可逆阵T，使T-1AT=D，
D=diag（λ1 ，λ2 ， … ，λn ，令（ε1，ε2，…，εn）=（a1，a2，…，an）T，有{ε1，ε2，…，εn }是V的一组基，并且σ在基{ε1，ε2，…，εn }下的矩阵就是T-1AT=D，即σ可对角化；而，σ关于V的某组基的矩阵为A，则σ可对角化的必要条件就是A可相似对角化。
三.线性变换对角化的应用
如上文所述，线性变换对角化与矩阵对角化之间存在联系，线性变换的问题归根结底实质上就是矩阵问题，也就是线性变换在基下的矩阵的对角化问题，因此线性变换对角化的应用主要体现在其特征值与特征向量的利用上。
1.利用特征值与特征向量反求矩阵
设矩阵A为对角化，也就是存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，这其中就是对角矩阵，则A=PBP-1。
例如：设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为λ1=-1， λ2 =λ3=1，而对应于λ1的特征向量为P1=（0，1，1）T，求矩阵 A。答案为：因为 A 是实对称矩阵，因此A可以对角化，也就是A有三个线性无关的特征向量，设对应于λ2 =λ3=1的特征向量为 P=（X1，X2，X3）T，它应与特征向量P1正交，即[P，P1]=0X1+X2+X3=0，该齐次方程组的基础解系为P2=（1，0，0）TP3=（0，1，-1）T，它们即是对应于λ2 =λ3=1的特征向量。
2.利用特征值求行列式的值
设n阶实对称矩阵A满足A2=A，并且A的秩为r，求其行列式的值，也就是的值。
解：设AX=λX，而X不等于0，是对应于特征值λ的特征向量，因为A2=A，则λX=AX=A2X=λ2X，从而就有
因为x不等于0，所以，也就是λ=1或者0，又因为A是实对称矩阵，所以A就相当于对角化的对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使得
其中Er是r阶单位矩阵，从而得出行列式计算公式如下：
3.矩阵对角化在线性变换中的应用
设 P[X]n（n>1）作为数域P上次数小于n的多项式以及零多项式的全体，则微分变换，在P[X]n的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。
证明：取P[X]n的一组基1，x， 则τ在这组基下的矩阵为，因此，若τ在某一组基下的矩阵B为对角矩阵，由A∽B就可以知道A为可对角化，存在可逆矩阵T使得T-1AT=B，所以A=TBT-1，由τ的特征值全为零知 B=0，所以A=0，这不可能，因此微分变换在P[X]n的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。
结束语
综上所述，本文通过对线性变换的对角化进行概况分析，主要探讨了线性变换的对角化问题以及其具体应用，其主要是运用矩阵对角化的知识体系以及其与线性变换对角化两者之间的关系分析了线性变换对角化的特征值与特征向量以及其应用问题，希望本文的探讨研究对线性变换的对角化问题能提供一定的参考意见。
参考文献：
[1]刘超群.线性变换的对角化问题[J].科技传播，2014，12：123-124..
作者简介：邓亮章，1974年5月，男，福建武平，本科，讲师，计算数学
【关健词】线性变换；对角化；矩阵；应用
在现在的高校数学代数课程中，线性变换对角化与矩阵对角化都是高等代数课程中的重要内容，而线性变换的对角化与矩阵对角化之间又存在着某种联系，学生通过学习矩阵对角化的知识体系可以更全面的掌握线性变换的对角化问题，因此本文主要是通过矩阵对角化问题来探讨线性变换的对角化問题及其应用。
一、线性变换的对角化概况
线性变换的对角化是现代高等代数课程中线性变换的一章重要内容，许多高等代数课程中以及关于线性代数的教材中，都是将线性变换对角化作为其教学主线，同时其中还夹带着一些关于矩阵对角化的问题，这样一来使得学生在学习关于矩阵对角化问题时得不到全面有效的知识体系，虽然对于线性变换对角化问题与矩阵对角化问题学生可以统一兼之，但这两者互相交织起来就会变得混淆不清，容易使学生晕头转向，增加了学习的难度，同时矩阵对角化在平时的应用范围比较广泛，其理论体系相对于线性变换对角化的理论体系来说，要更容易理解得多，相应的一旦掌握了矩阵对角化方法，对于学习线性变换的对角化有非常大的帮助作用，学习起来也会事半功倍。
二、线性变换的对角化问题
如上文所述，线性变换的对角化与矩阵对角化之间存在联系，率先掌握矩阵对角化问题，在理解学习线性变换对角化问题时可以起事半功倍的效果，因此研究线性变换的对角化问题就先要对矩阵对角化问题进行相应的分析。
1.矩阵对角化的定义
在数学领域中，矩阵是一个依据长方形排列而成的复数或实数的集合体，它起源于方程组中系数与常数所构成的方阵，而对角化的矩阵则是线性代数与矩阵论中的一个重要的矩阵类别，假设一个方块矩阵A比较相似于对角矩阵，那也就是说，当有一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵时，这个方块矩阵A就是可以对角化的，同样的以V代表有限维度的向量空间，则线性映射T：V到V之间也是可以对角化的，如果向量空间V存在一个基，则线性映射T就可以表示为对角矩阵，因此可以对角化的矩阵与线性映射在线性代数中具有非常重要的价值，主要是因为可以对角化的矩阵处理起来相对要容易一些，在其特征值与特征向量都是已知的情况下，通过对对角元素的提升就可将同样的幂提升到矩阵所需要的高度。
2.矩阵的特征值与特征向量
设A为n阶方程，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那这个数λ就可称之为矩阵A的特征值，非零向量x就可称之为A的对应于特征值的特征向量，其公式为（ A-λE）X=0，其中n是未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0 。
如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则数 m 就是A的一个特征值，非零n维列向量x称为矩阵A的属于m的特征向量，简称A的特征向量。
3.线性变换对角化问题
3.1列式如果存在V的一组基，使σ在这组基下的矩阵是对角阵，就称 σ 可对角化，否则就是不可对角化。
如果这种特殊基存在，设为{ε1，ε2，…，εn}，使σ（ε1，ε2，…，εn ） = （ε1，ε2，…，εn）D，
D=diag（λ1 ，λi ， … ，λn ），λi ∈F 。
则 σεi =λi εi ，i=1，2， … ，n ；由此可见εi ，λi 满足方程 σα=λα
3.2列式，其中的F的数λ和V中的非零向量α达到σα=λα的条件，就可以将数λ称作是σ的特征值，而α就是σ的特征值λ的特征向量。
若σ可对角化，则所找的基向量就是σ的特征向量，而σ在这组基下的对角阵的主对角线上元素就必定是σ的特征值，但是怎样求出这样的基，并未有实际的解决方法，因此根据 L（V）与Fn×n的同构关系，可利用矩阵的相似对角化进行解决。
线性变换对角化与矩阵对角化的关系
给定 ，σ在V的基{a1，a2，…，an }下的矩阵为 A，即σ（a1，a2，…，an）=（a1，a2，…，an）A，而如果σ可对角化，则存在 V 的一组基{ε1，ε2，…，εn}，使σ（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn） D，
D=diag（λ1 ，λ ， … ，λn ），
又设（ε1，ε2，…，εn）=（a1，a2，…，an）T，则T 可逆，且T-1AT=D，即A可相似对角化，反之若是A可相似对角化，则存在可逆阵T，使T-1AT=D，
D=diag（λ1 ，λ2 ， … ，λn ，令（ε1，ε2，…，εn）=（a1，a2，…，an）T，有{ε1，ε2，…，εn }是V的一组基，并且σ在基{ε1，ε2，…，εn }下的矩阵就是T-1AT=D，即σ可对角化；而，σ关于V的某组基的矩阵为A，则σ可对角化的必要条件就是A可相似对角化。
三.线性变换对角化的应用
如上文所述，线性变换对角化与矩阵对角化之间存在联系，线性变换的问题归根结底实质上就是矩阵问题，也就是线性变换在基下的矩阵的对角化问题，因此线性变换对角化的应用主要体现在其特征值与特征向量的利用上。
1.利用特征值与特征向量反求矩阵
设矩阵A为对角化，也就是存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，这其中就是对角矩阵，则A=PBP-1。
例如：设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为λ1=-1， λ2 =λ3=1，而对应于λ1的特征向量为P1=（0，1，1）T，求矩阵 A。答案为：因为 A 是实对称矩阵，因此A可以对角化，也就是A有三个线性无关的特征向量，设对应于λ2 =λ3=1的特征向量为 P=（X1，X2，X3）T，它应与特征向量P1正交，即[P，P1]=0X1+X2+X3=0，该齐次方程组的基础解系为P2=（1，0，0）TP3=（0，1，-1）T，它们即是对应于λ2 =λ3=1的特征向量。
2.利用特征值求行列式的值
设n阶实对称矩阵A满足A2=A，并且A的秩为r，求其行列式的值，也就是的值。
解：设AX=λX，而X不等于0，是对应于特征值λ的特征向量，因为A2=A，则λX=AX=A2X=λ2X，从而就有
因为x不等于0，所以，也就是λ=1或者0，又因为A是实对称矩阵，所以A就相当于对角化的对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使得
其中Er是r阶单位矩阵，从而得出行列式计算公式如下：
3.矩阵对角化在线性变换中的应用
设 P[X]n（n>1）作为数域P上次数小于n的多项式以及零多项式的全体，则微分变换，在P[X]n的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。
证明：取P[X]n的一组基1，x， 则τ在这组基下的矩阵为，因此，若τ在某一组基下的矩阵B为对角矩阵，由A∽B就可以知道A为可对角化，存在可逆矩阵T使得T-1AT=B，所以A=TBT-1，由τ的特征值全为零知 B=0，所以A=0，这不可能，因此微分变换在P[X]n的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。
结束语
综上所述，本文通过对线性变换的对角化进行概况分析，主要探讨了线性变换的对角化问题以及其具体应用，其主要是运用矩阵对角化的知识体系以及其与线性变换对角化两者之间的关系分析了线性变换对角化的特征值与特征向量以及其应用问题，希望本文的探讨研究对线性变换的对角化问题能提供一定的参考意见。
参考文献：
[1]刘超群.线性变换的对角化问题[J].科技传播，2014，12：123-124..
作者简介：邓亮章，1974年5月，男，福建武平，本科，讲师，计算数学