摘要：本文介绍了考研数学线性代数部分几种重要矩阵的典型应用和解题方法
　　关键词：线性代数；考研数学；正交矩阵；实对称矩阵
　　矩阵及其线性运算是线性代数的基本内容，也是考研数学线性代数部分的常见考点，正交矩阵、实对称矩阵是两种重要矩阵，经常在向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵的相似对角化和二次型中出现，所以全面了解这两种重要矩阵的性质及其应用有着重要的意义，本人结合教学经验，全面总结和归纳了这几种重要矩阵的基本要点。
　　一、正交矩阵
　　1.结构特征
　　（1）
　　（2）
　　行（列）向量组两两正交，且均为单位向量。
　　2.转换功能
　　（1） 是实对称阵，则必存在正交矩阵 使得
　　（2）实二次型 ，则必存在正交变换 ，使得 其中 是矩阵 的特征值
　　【注】正交变换是保长变换，即经过正交变换后，向量的长度保持不变，因为
　　【例】设 是三阶正交矩阵，它的第1行第1列的元素 ， ，则 的解为 。
　　【解析】本题解题关键在于全面了解正交矩陣的结构信息
　　由 是三阶正交矩阵， ，均为单位向量，因此
　　，从而
　　另一方面，由于 是三阶正交矩阵，所以 可逆，且
　　【例】设二次型 ，若 ，则二次型 的最大值为 。
　　【解析】本题解题关键在于全面掌握正交矩阵的转换功能，利用正交变换把二次型化为标准型。
　　二次型 对应的矩阵 ，其特征值 ，因此存在正交变换 ，使得 ，由于
　　所以二次型 ，即二次型的最大值为8.
　　二、实对称矩阵
　　实对称矩阵作为一类特殊矩阵，在考试中经常与矩阵的相似对角化、二次型等问题中出现，应熟练掌握实对称矩阵的相关性质。
　　知识要点：
　　1. ，且
　　2. 的特征值均为实数，且不同特征值对应的特征向量相互正交。
　　3. 一定能相似对角化，且存在正交矩阵 ，使得
　　4. 非零的特征值的个数
　　5. 为 重特征值，
　　【例】设三阶实对称矩阵 的特征值为 ，矩阵 的属于特征值 的特征向量 ，则 的属于特征值 的特征向量为
　　【解析】由于 为实对称矩阵，则不同特征值对应的特征向量是正交的，设 属于特征值 的特征向量为
　　，即 ，得基础解系 ，即为 的属于特征值 的特征向量。
　　参考文献：
　　[1]李永乐.2014年数学复习全书.北京：中国政法大学出版社，2013
　　[2]陈文灯 黄先开.考研数学复习指南。北京：世界图书出版公司北京公司，2008
　　作者简介：吴常虹（1982.4），女，汉族，湖南安化人，硕士，讲师，研究方向：调和理论，数学教育理论。
　　通讯作者：张孟（1982-），男，湖南桃源人，讲师，研究方向：微分方程理论，数学教育理论。