近年来高考中常遇到有关焦点三角形的计算问题，这类题目通法是根据定义求解，但在具体解题时常常因为计算量大而半途而废.若能借用焦点三角形的面积公式
　　
　　SF1PF2
　　=b2tan
　　θ2
　　=
　　c|y0|
　　=12
　　PF1•PF2sin∠F1PF2
　　（焦点在x轴上的椭圆）或
　　SF1PF2
　　=b2cotθ2
　　=c|y0|=12
　　PF1•PF2sin∠F1PF2
　　（焦点在x轴上的双曲线）巧作变
　　换，问题便会迎刃而解.
　　一、求三角形面积[ P<1 25
　　.tif>,Y#][ S（][5”SS][JZ]图1
　　[ S）]
　　例1 如图1，已知点P在椭圆
　　x2a2
　　+y23
　　=1
　　上
　　(a>3)F1
　　是椭圆的右焦点,若
　　△POF1是等边三角形，则
　　△POF1的面积是.
　　解析：若按通性通法解需求等边三角形的边长即c.根据椭圆的定
　　义及其性质可求出.（读者可尝试）本题若借助焦点三角形面积公式，无需求
　　a,c
　　便可迅速求解.连结PF2由题意知
　　OP=OF1=OF2=c
　　，故
　　∠F1PF2=90°
　　.S△OPF1=12
　　S△F1PF2
　　=12×3×tan45°=
　　32.
　　
　　二、求渐近线
　　例2 （2010年浙江省文数）设O为坐标原点，
　　F1、F2是双曲线
　　x2a2
　　-y2b2
　　=1
　　（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠
　　F1PF2 =60°，∣OP∣=
　　7a,则该双曲线的渐近线方程为( )
　　（A） x±3y=0（B） 3x±y=0
　　（C） x±2y=0 （D） 2x±y=0
　　解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法.常规解法较为繁琐（读者不妨尝试一下）若巧借面积作变换问题可迎刃而解.设P(x,y)由面积公式可得：S△F1PF2
　　=b2cot30°=
　　12•2c•
　　|y|,所以
　　|y|=
　　3b2c,
　　所以x2a2
　　-3b4c2b2
　　=1
　　,解得x2=a2
　　+3a2b2c2,
　　又x2+y2=OP2,即
　　a2+3a2b2c2
　　+3b4
　　c2
　　=7a2
　　 化简得：
　　b2=2a2.所以ba
　　=±2.
　　所以渐近线方程为2 x±y=0.
　　三、求离心率
　　例3 （2009年江西卷）过椭圆
　　x2a2
　　+y2b2=1 (a>b>0)
　　)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若
　　∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）
　　(A) 22 （B）
　　33
　　(C) 12
　　 (D) 13
　　解析：由
　　S△F1PF2得
　　b2tan30°=
　　12
　　2c•b2a
　　得ca
　　=33，所以e=
　　33.
　　例4 已知双曲线
　　x2a2
　　-y2b2
　　=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1、F2，
　　,并且满足PF1⊥PF2,|PF1|•|P
　　F2|=4ab,则双曲线的离心率为.
　　解析：由S△F1PF2=
　　12|PF1|•|PF2|=
　　2ab=b2cot45°
　　得ba
　　=2,e=1+(ba)2
　　=5.
　　
　　例5 已知F1和F2是两个定点，点P是以F1和F2公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且
　　PF1⊥PF2，e1和e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则
　　1e21
　　+1e22
　　=.
　　解析：由焦点三角形的面积 得
　　S△F1PF2
　　=b21tan45°=b22cot45°得b1=b2.
　　由椭圆、双曲线性质可得（1）
　　a21=b21+c21,(2)a22=c22-b22，(1)+(2)
　　得a21+a22=2c21.两边同除以c21，即有
　　1e21
　　+1e22=2.
　　四、求值
　　例6 （2010全国卷1文数8）已知
　　F1、F2为双曲线C:
　　x2-y2=1
　　的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°,则|PF1|•|PF2|=（ ）
　　(A) 2(B) 4 (C) 6 (D) 8
　　由焦点三角形面积公式得：
　　S△F1PF2
　　=b2cotθ2
　　=12cot60°2
　　=3
　　=12
　　|PF1||PF2|sin60°
　　=
　　12
　　|PF1||PF2|
　　32,
　　|PF1|•|PF2|=4.
　　例7 （2010全国卷1理数）已知F1、F2为双曲线C:
　　x2-y2=1
　　的左、右焦点，点P在C上，∠
　　F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（ ）
　　(A) 32 (B) 62(C) 3(D) 6
　　解析：由
　　S△F1P
　　F2=b2cot30°=
　　12 •2c•d,得
　　3=2d,所以d=
　　62.
　　例8 设椭圆
　　x26
　　+y22=1
　　和双曲线
　　x23
　　-y2=1
　　的公共焦点为
　　F1,F2,P
　　为椭圆与双曲线的一个交点，则
　　cotF1PF2=
　　.
　　解析：通法由定义求出PF1，PF2再用余弦定理求解.
　　若借助焦点三角形面积，则有
　　S△F1PF2
　　=2tan12
　　∠F1PF2
　　=cot12
　　∠F1PF2.所以tan212
　　∠F1PF2=
　　12
　　,所以cos∠F1PF2=
　　1-12
　　1+12
　　=13.