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一、圆与图形相似及锐角三角函数的综合
利用圆心角及圆周角定理及推论容易找到相等的角，而有两个角相等的三角形相似，因此，在圆中常结合相似三角形来证明比例式或等积式以及计算线段长度，进而考查考生的综合推理能力与计算能力。圆中直径所对的圆周角是直角，垂径定理及推论，切线的性质等内容都可得到直角进而构造直角三角形，而锐角三角函数处于直角三角形中，因此，在中考题中也常把圆与锐角三角函数结合起来考查。
例1：如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF.（1）求证：PB与⊙O相切;（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明;（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值.
分析：（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线;（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证.
（3）连接BE，构建直角△BEF.在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=x;然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长;最后由余弦三角函数的定义求解.
解：（1）证明：连接OA，∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，∴PA=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线;（2）EF2=4DO·PO。证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA。∴，即OA2=OD·OP。∵EF为圆的直径，EF=2OA，∴EF2=OD·OP，即EF2=4OD·OP。（3）连接BE，则∠FBE=90°.∵tan∠=F∴可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF=x，∵BE·BF=EF·BD，∴BD=x.又∵AB⊥EF，∴AB=2BD=x，∴Rt△ABC 中， BC=x，AC2+AB2=BC2，∴12
2+（x）2=（x）2，解得：x=4∴BC=4×=20，∴cos∠ACB
此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
二、圆与特殊四边形及图形面积的综合
《圆》这一章中涉及到圆内接四边形性质，而四边形中有平行四边形及菱形、矩形、正方形、等腰梯形，中考试题中常将圆与特殊的四边形结合起来考查学生对特殊四边形的性质与判定的灵活应用程度，也常将圆与图形阴影面积结合起来考查学生的转化能力与计算能力。
例2：半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上.（1）过点B作的一条切线BE，E为切点.
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是 30° ;②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长;（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围.
分析：（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可;
②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出，进而求出OA即可;（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可.
解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°;②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上;∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA·OB，∴OA（2+OA）=4，∴OA=﹣1±，∵OA>0，∴OA=﹣1; （2）如图3，设∠MON=n°，
S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，∴S扇形MON最大=π（cm2）， ②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，∴S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π.
此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键.
总之，对于圆的知识的考查形式多样，题型多变，但无论如何变换，只要平时多加强圆相关知识的综合应用，考试时与圆相关的综合题总可以迎刃而解的。
利用圆心角及圆周角定理及推论容易找到相等的角，而有两个角相等的三角形相似，因此，在圆中常结合相似三角形来证明比例式或等积式以及计算线段长度，进而考查考生的综合推理能力与计算能力。圆中直径所对的圆周角是直角，垂径定理及推论，切线的性质等内容都可得到直角进而构造直角三角形，而锐角三角函数处于直角三角形中，因此，在中考题中也常把圆与锐角三角函数结合起来考查。
例1：如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF.（1）求证：PB与⊙O相切;（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明;（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值.
分析：（1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线;（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证.
（3）连接BE，构建直角△BEF.在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=x;然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长;最后由余弦三角函数的定义求解.
解：（1）证明：连接OA，∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，∴PA=PB，∵OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线;（2）EF2=4DO·PO。证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA。∴，即OA2=OD·OP。∵EF为圆的直径，EF=2OA，∴EF2=OD·OP，即EF2=4OD·OP。（3）连接BE，则∠FBE=90°.∵tan∠=F∴可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF=x，∵BE·BF=EF·BD，∴BD=x.又∵AB⊥EF，∴AB=2BD=x，∴Rt△ABC 中， BC=x，AC2+AB2=BC2，∴12
2+（x）2=（x）2，解得：x=4∴BC=4×=20，∴cos∠ACB
此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
二、圆与特殊四边形及图形面积的综合
《圆》这一章中涉及到圆内接四边形性质，而四边形中有平行四边形及菱形、矩形、正方形、等腰梯形，中考试题中常将圆与特殊的四边形结合起来考查学生对特殊四边形的性质与判定的灵活应用程度，也常将圆与图形阴影面积结合起来考查学生的转化能力与计算能力。
例2：半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上.（1）过点B作的一条切线BE，E为切点.
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是 30° ;②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长;（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围.
分析：（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可;
②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出，进而求出OA即可;（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可.
解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°;②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上;∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA·OB，∴OA（2+OA）=4，∴OA=﹣1±，∵OA>0，∴OA=﹣1; （2）如图3，设∠MON=n°，
S扇形MON=×22=n（cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，∴S扇形MON最大=π（cm2）， ②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，∴S扇形MON最小=π（cm2），∴π≤S扇形MON≤π.
此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键.
总之，对于圆的知识的考查形式多样，题型多变，但无论如何变换，只要平时多加强圆相关知识的综合应用，考试时与圆相关的综合题总可以迎刃而解的。