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乒乓球比赛中可以通过拉弧旋球、削球等技术手段让乒乓球走出偏离一般抛物线的轨迹；足球比赛中踢出的香蕉球可以让对方队员很难准确判断球的下落轨迹.这些球在空中的运动都不是一个简单的平动，而是在平动的同时伴随着转动.正是由于这个转动的，使得球周围的空气对球的压力的合力不为零，从而造成了球的运动轨迹偏离一般的抛物线.那么球的旋转对球的运动轨迹到底会产生怎样的影响呢？如何通过实验让学生直观的看到这一现象呢？本文将就这些问题进行粗浅的分析和讨论.
1 旋转球的流体动力学分析
旋转球在空气中的运动，涉及到球的平动、球的转动、空气的运动以及球与带动空气的运动等多种因素，所以分析起来较为复杂.为使问题简化，我们提出下面的分析模型：（1）球绕过球心的竖直轴或水平轴转动；（2）球转动过程中，球表面附近的空气被带动随球一起转动，其转动对球心的线速度与球表面对球心的最大自转线速度相同.
具体的分析方法有如下两种不同的思路.
思路一 认为球原地转动，用风吹球，即是使空气以一定的速度从球旁边吹过，这与球在静止的空气中以相同的速度反方向运动等效.
[TP11GW77.TIF，Y#]
如图1所示，当球绕过球心的水平轴逆时针转动时，球附近的空气以近似等于球表面的线速度随球一起绕球心逆时针转动，球上边缘空气对球心的速度大小为v转，方向水平向左，下边缘空气对球心的速度大小为v转，方向水平向右.此时若有风从左向右以大小为v风的速度相对于球心（地面）吹来，则球上、下边缘表面的空气同时参与了“风”和“转动”两个运动，以水平向右为正方向，根据运动的合成关系可知，球的上边缘表面的空气对球心的速度为v上（空对球心）=v风 （-v转）.同理，球的下边缘表面空气对球的速度为v下（空对球心）=v风 v转.
由上述关系可以看出，此时一定有v下（空对球心）> v上（空对球心），即球的下方空气相对球心的流速较大，压强较小，而球的上方空气相对球心的流速较小，压力较大，所以此时球所受空气压力的合力向下.
思路二 球在转动的同时，在静止的空气中进行平动
如图2所示，当球绕过球心的水平轴逆时针转动时，球上边缘表面的空气对球心的速度大小为v转，方向水平向左，下边缘表面的空气对球心的速度大小为v转，方向水平向右.同时由于球心还在相对于地面以速度v球向左平动.以水平向左为正，根据运动的合成关系可知，此时球上边缘表面的空气相对于球心的速度
同理，球的下边缘表面空气对球心的速度为，即球的下方空气相对于球心的流速较大，压强较小，而球的上方空气相对球心的流速较小，压力较大，所以此时球所受空气压力的合力向下.
2 关于旋转球偏转方向的演示设计
为了能让学生直观地看到上述分析的结果，使理论分析得到实验的验证，可以设计如下的演示实验.
对于图1所示的情景，可以按如图3所示，将空“易拉罐”用细棉线竖直悬挂起来，并沿过“易拉罐”中心的竖直轴沿顺时针方向转动“易拉罐”，待细棉线中储存了足够的“弹性势能”后，释放“易拉罐”使其绕中心的竖直轴自转，同时用电吹风沿水平方向正对“易拉罐”向它吹风.此时，其俯视的效果如图3乙所示.此时沿着吹风的方向看去，“易拉罐”的左侧空气相对于其中心（或地面）的流速较小，压力较大，所以“易拉罐”向右侧偏移，即棉线将偏离原来的竖直方向.
对于图2所示的情景，可以按如图4甲所示，将电动机及配套的电源和开关固定在小车上，并将小车放在水平框架的一端，框架底部安装有小车的运动轨道.使电动机的轴沿竖直方向，轴上固定一根具有良好弹性的竖直细钢丝，钢丝的上端穿出框架顶部预留的槽口，钢丝的中间位置固定有乒乓球（钢丝与乒乓球的直径重合）.开启电动机使乒乓[TP11GW80.TIF，X，BP#]球以竖直钢丝为轴在水平面内转动，此时沿轨道迅速移动小车，小车及乒乓球快速从框架的一端移到另一端，会看到原来竖直的钢丝会沿与运动方向垂直的水平方向发生弯曲.对于这一过程若从上向下俯视，乒乓球的运动情况、空气的流动情况及乒乓球所受空气压力情况如图4乙所示.此时迎着乒乓球的运动方向看去，球的左侧空气对球心的流速较小，压力较大，所以球向右侧偏移，即钢丝向右侧弯曲.
特别说明一下，为了使图3和图4所示的实验获得较好的效果，需要将“易拉罐”和乒乓球的表面处理得粗糙一些，如可以在它们的表面上粘些胶布.这样可以使“易拉罐”和乒乓球旋转时带动空气转动的效果更明显一些，进而加大“易拉罐”和乒乓球两侧空气对球心的速度差，从而获得更好的实验效果.
3 弧旋球的分析
3.1 乒乓球和排球的弧旋球
由于乒乓球在前进过程中可以有不同的旋转方向，所以球在前进过程中会沿不同的径迹运动.
若乒乓球为上旋球，即如图2所示的逆时针旋转，则所受空气压力的合力向下，所以在球沿水平方向运动的速度未有明显减小时，便会快速落向球台，其运动轨迹通常如图5甲所示.
若乒乓球为下旋球，即顺时针转动，则与上述图2所示的情景相反，因此所受空气压力的合力向上，故球会延缓落向球台的时间.随着球的不断前进，乒乓球平动和转动的速度均减小，这带来了两个方面的影响：平动方面，通过相同的路程s所用时间t变长；转动方面，相对速度差变小，压强差变小，压力差F差变小，使得乒乓球所受合力F=mg-F差变大，即竖直向下的加速度在变大.两方面的共同作用，使得乒乓球在完成相同水平位移的过程中，下降的高度越来越大，所以在球沿水平方向运动的后半段行程中，看似好像要飞跃台面，但实际却又表现出“快速”落向台面的现象，从而造成运动员做出误判，其运 动轨迹通常如图5乙所示.
3.2 足球的“香蕉球”
要将足球踢成“香蕉球”，必须将球踢成在绕过球心的竖直轴转动的效果.如图6所示的俯视图，此时面向球的前进方向观察，其左、右两侧空气相对于球心的速度分别为：
由于v左相>v右相，即球的左侧空气相对球心的流速较大，压强较小，而球的右侧空气相对球心的流速较小，压力较大，所以此时球所受空气压力的合力向左，即球在向前飞行的过程中将向左偏移，如图7所示.
[TP11GW82.TIF，BP#]
需要说明的是，上述的分析只是讨论了球绕过球心的竖直轴或水平轴的转动情况，并认为空气整体是上其静止的（无风），实际情况则复杂得多，一是风的影响，二是球的转动轴可以是任意方向，等等.特别是足球的问题更为复杂，它的运动轨迹一般都是一条空间曲线，并不在同一个平面内.
1 旋转球的流体动力学分析
旋转球在空气中的运动，涉及到球的平动、球的转动、空气的运动以及球与带动空气的运动等多种因素，所以分析起来较为复杂.为使问题简化，我们提出下面的分析模型：（1）球绕过球心的竖直轴或水平轴转动；（2）球转动过程中，球表面附近的空气被带动随球一起转动，其转动对球心的线速度与球表面对球心的最大自转线速度相同.
具体的分析方法有如下两种不同的思路.
思路一 认为球原地转动，用风吹球，即是使空气以一定的速度从球旁边吹过，这与球在静止的空气中以相同的速度反方向运动等效.
[TP11GW77.TIF，Y#]
如图1所示，当球绕过球心的水平轴逆时针转动时，球附近的空气以近似等于球表面的线速度随球一起绕球心逆时针转动，球上边缘空气对球心的速度大小为v转，方向水平向左，下边缘空气对球心的速度大小为v转，方向水平向右.此时若有风从左向右以大小为v风的速度相对于球心（地面）吹来，则球上、下边缘表面的空气同时参与了“风”和“转动”两个运动，以水平向右为正方向，根据运动的合成关系可知，球的上边缘表面的空气对球心的速度为v上（空对球心）=v风 （-v转）.同理，球的下边缘表面空气对球的速度为v下（空对球心）=v风 v转.
由上述关系可以看出，此时一定有v下（空对球心）> v上（空对球心），即球的下方空气相对球心的流速较大，压强较小，而球的上方空气相对球心的流速较小，压力较大，所以此时球所受空气压力的合力向下.
思路二 球在转动的同时，在静止的空气中进行平动
如图2所示，当球绕过球心的水平轴逆时针转动时，球上边缘表面的空气对球心的速度大小为v转，方向水平向左，下边缘表面的空气对球心的速度大小为v转，方向水平向右.同时由于球心还在相对于地面以速度v球向左平动.以水平向左为正，根据运动的合成关系可知，此时球上边缘表面的空气相对于球心的速度
同理，球的下边缘表面空气对球心的速度为，即球的下方空气相对于球心的流速较大，压强较小，而球的上方空气相对球心的流速较小，压力较大，所以此时球所受空气压力的合力向下.
2 关于旋转球偏转方向的演示设计
为了能让学生直观地看到上述分析的结果，使理论分析得到实验的验证，可以设计如下的演示实验.
对于图1所示的情景，可以按如图3所示，将空“易拉罐”用细棉线竖直悬挂起来，并沿过“易拉罐”中心的竖直轴沿顺时针方向转动“易拉罐”，待细棉线中储存了足够的“弹性势能”后，释放“易拉罐”使其绕中心的竖直轴自转，同时用电吹风沿水平方向正对“易拉罐”向它吹风.此时，其俯视的效果如图3乙所示.此时沿着吹风的方向看去，“易拉罐”的左侧空气相对于其中心（或地面）的流速较小，压力较大，所以“易拉罐”向右侧偏移，即棉线将偏离原来的竖直方向.
对于图2所示的情景，可以按如图4甲所示，将电动机及配套的电源和开关固定在小车上，并将小车放在水平框架的一端，框架底部安装有小车的运动轨道.使电动机的轴沿竖直方向，轴上固定一根具有良好弹性的竖直细钢丝，钢丝的上端穿出框架顶部预留的槽口，钢丝的中间位置固定有乒乓球（钢丝与乒乓球的直径重合）.开启电动机使乒乓[TP11GW80.TIF，X，BP#]球以竖直钢丝为轴在水平面内转动，此时沿轨道迅速移动小车，小车及乒乓球快速从框架的一端移到另一端，会看到原来竖直的钢丝会沿与运动方向垂直的水平方向发生弯曲.对于这一过程若从上向下俯视，乒乓球的运动情况、空气的流动情况及乒乓球所受空气压力情况如图4乙所示.此时迎着乒乓球的运动方向看去，球的左侧空气对球心的流速较小，压力较大，所以球向右侧偏移，即钢丝向右侧弯曲.
特别说明一下，为了使图3和图4所示的实验获得较好的效果，需要将“易拉罐”和乒乓球的表面处理得粗糙一些，如可以在它们的表面上粘些胶布.这样可以使“易拉罐”和乒乓球旋转时带动空气转动的效果更明显一些，进而加大“易拉罐”和乒乓球两侧空气对球心的速度差，从而获得更好的实验效果.
3 弧旋球的分析
3.1 乒乓球和排球的弧旋球
由于乒乓球在前进过程中可以有不同的旋转方向，所以球在前进过程中会沿不同的径迹运动.
若乒乓球为上旋球，即如图2所示的逆时针旋转，则所受空气压力的合力向下，所以在球沿水平方向运动的速度未有明显减小时，便会快速落向球台，其运动轨迹通常如图5甲所示.
若乒乓球为下旋球，即顺时针转动，则与上述图2所示的情景相反，因此所受空气压力的合力向上，故球会延缓落向球台的时间.随着球的不断前进，乒乓球平动和转动的速度均减小，这带来了两个方面的影响：平动方面，通过相同的路程s所用时间t变长；转动方面，相对速度差变小，压强差变小，压力差F差变小，使得乒乓球所受合力F=mg-F差变大，即竖直向下的加速度在变大.两方面的共同作用，使得乒乓球在完成相同水平位移的过程中，下降的高度越来越大，所以在球沿水平方向运动的后半段行程中，看似好像要飞跃台面，但实际却又表现出“快速”落向台面的现象，从而造成运动员做出误判，其运 动轨迹通常如图5乙所示.
3.2 足球的“香蕉球”
要将足球踢成“香蕉球”，必须将球踢成在绕过球心的竖直轴转动的效果.如图6所示的俯视图，此时面向球的前进方向观察，其左、右两侧空气相对于球心的速度分别为：
由于v左相>v右相，即球的左侧空气相对球心的流速较大，压强较小，而球的右侧空气相对球心的流速较小，压力较大，所以此时球所受空气压力的合力向左，即球在向前飞行的过程中将向左偏移，如图7所示.
[TP11GW82.TIF，BP#]
需要说明的是，上述的分析只是讨论了球绕过球心的竖直轴或水平轴的转动情况，并认为空气整体是上其静止的（无风），实际情况则复杂得多，一是风的影响，二是球的转动轴可以是任意方向，等等.特别是足球的问题更为复杂，它的运动轨迹一般都是一条空间曲线，并不在同一个平面内.