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摘要：在数学众多能力中，数学思维能力是核心，逻辑推理、空间想象、分析问题与解决问题能力等的培养都离不开数学思维能力。本文通过对数学思维的认识，同时对数学思维进行了分析探讨，并对如何培养学生数学思维作了进一步思考。
关键词：数学的思维；问题解决；数学意识
在科技高度发达的今天，数学的应用呈现了广阔的前景。数学所具有的一些特征使它在其他科学、技术以及生活实践中都有着广泛的应用。如高度抽象的数学概念，反映着各种不同类型的具体对象中量的共同规律，这决定了数学可以广泛地应用于各种不同的对象之中，它是一切科学的工具。数学向其他科学渗透又形成了许多新的交叉学科，且各门科学向着“数学化”发展，已成为当今科学技术发展的一个重要趋势。因此，我们的数学教育担负着理性文明和科学精神的使命，那么数学课堂也应该竭力揭示数学的本质，重视培养学生的数学思维，让学生学会数学的思维。
一、对数学思维的认识
思维这个词对大家说来并不陌生，从字面上来讲，思维有广义和狭义之分，广义的思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质和事物间规律性的联系，包括逻辑思维和形象思维。而狭义的通常指心理学意义上的思维专指逻辑思维。所谓逻辑思维是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理反映现实的过程，形象思维是用直观形象和表象解决问题的思维。然而我们要想进行数学的思维首先必须了解什么是数学，数学到底是由什么组成的?关于数学概念已经有很多种说法，描述的角度不同那么定义的也不一样，比如，“从数学学科本身来讲，数学是一门科学，这门科学有它相对的独立性，既不属于自然科学，也不属于人文、社会或艺术类科学；从学科结构上看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的表现形式看，数学是符号，是语言等许多种说法”；或者说数学是一门模式的科学等。但从总体上来讲，我比较赞同的是“数学是一门有活力的科学”。而既然数学是一门有活力的学科，如果仅仅只是包含那些定义、定理、公式、解题模式等是不够的，这些都是静态的，它体现不了数学活力这一根本特征。我们知道到20世纪80年代，问题解决成为了数学的焦点，而问题又是我们数学的核心或是心脏之所在。因此，数学应该还包含有数学问题解决这一动态过程，这才体现数学活力的特征。这里的问题解决不单单只是记忆了老师上课时所讲的步骤、公式或是单纯的做些练习题，这样还是体现不了活力这一特征。问题解决它是带有探索、分析、猜测、验证等并带有自己的数学思维在内的一个动态的过程，它必须包括一系列的心理操作过程与认知成分的参与。根据对数学与思维概念的认识，所谓数学思维，是人脑与数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。
二、如何学会数学的思维
(一)充分发挥问题解决教学的作用
我们应该怎样学会数学的思维呢?在上文中提到过问题解决是数学的一个重要组成部分，那要学会数学的思维我们可以从问题解决开始着手，在问题解决的过程中培养学生数学思维。雷斯尼讲过这样一句话：“要成为一名好的数学问题解决者——要成为在任何领域中一个好的思维者——可能就是要在获取各种特殊技能、策略和知识的同时，不断养成对事物作出解释和形成数学意识的习惯和个性”。因此，可以说从某种角度来讲培养合格的数学问题解决者是我们数学教学的一个重要目标。而从另一角度来说，我们可以把问题解决作为一种手段一个中介，通过问题解决可以培养学生的各种数学能力、数学思想甚至可以培养学生的数学素养，那离数学的思维也就不远了。也就是说如果在我们的问题解决教学中能够充分发挥其作用，我们的学生将会得到意想不到的收获。如一题多解或一题多变不仅能让学生从多角度、多侧面地分析思考，探求不同的解题途径，还能培养学生思维的灵活性，较强的应变能力等。而且在这种情况下，学生经历了从多角度分析解决问题这个过程，不仅全面准确的掌握知识，并且激发了发散性思维。但在这里，作为数学教师还需注意以下几个问题：
首先，针对一题多解和一题多变这点，部分老师不能做到这一点，尤其是一题多解。他们大都给学生传授的是书上的一种固定的求解方法，这样所造成的后果是非常严重的，它不仅会限制我们学生的思维，而且还会给学生造成这样的一种错觉：那就是我们所遇到的问题，书上都会有一种现成的解法，我们只要记住就行了。所以，作为一名教师特别是数学教师在讲解数学问题的时候，应鼓励学生多思考，力求方法的多样性，这样也促进了学生思维的发散性。
另外，给学生提问的时候，应注意问题的合理性与真实性，现在的课堂教学中，存在人为编制的问题这种现象，而且远离了我们现实层面，当然老师这样做的目的无非是为了让学生更好的掌握这方面的知识，但久而久之也会给学生造成一些不好的影响，首先会使学生不能对数学的本质有一个很好的认识，也就是远离正确的数学观，如我们要解决的问题没什么实际意义，只是为了练习，我们记住了老师上课所讲的方法后就会解题了。于是，学生没有想过要自己去寻找解题的方法，处于一种被动的地位，并认为数学是从专家那里“传递下来”要他们记忆的一门学科。其次，既然学生处于一种被动的地位，当然也不利于我们学生思维的发展。
(二)尽可能发挥元认知作用
元认知是由美国教育心理学家弗拉维尔(J.H.Fla-veU)于1976年首先提出来的，根据他的观点，元认知是指个体对自身认知过程的认知和意识，对整个认知活动具有体验、调节和评价的功能。“在这里主要突出显示了在认知活动中的“自我意识”，也就是认知者在自己的认知过程的思维活动中的自我调节与控制的意识。因而，较易避免在认知活动中的盲目性，增强自觉性，使得在认知过程中所运用的思维方法和策略更符合自己实际的认知水平和知识结构的特点。特别是在问题情境教学中，元认知发挥着非常重要的作用，我们可以运用一些元认知提示语来启发我们的学生，例如：你正在做什么?你为什么要这样做?你以前遇到过类似的问题吗?这样做对你有什么帮助等等，这是波利亚在怎样解题表中经常用到的，我们在课堂中也可以贯穿这种思想。不断启发学生思考，并且能进一步带动学生提出更多新的问题，引导思维逐渐深化，使问题逐渐加深，可有效的培养学生思维的深刻性和独创性。另外，据研究表明元认知在问题解决中的作用尤不可忽视，在解决问题时，利用元认知可以提高学生的解题能力，改变学生以往那种单纯记忆步骤、公式或做一系列的练习，并逐步形成某种数学意识。 三、对培养数学思维的进一步思考
(一)注重对数学意识的培养
数学意识又叫数学观念，它是指用数字的眼光去观察、用数学的思维去分析各种事物之间的数量关系、空间关系。培养学生的数学意识，不仅能使学生理解和学习课本上的数学知识和技能，而且能使学生初步形成数学观点和方法看待周围的事物，学会用数学的思维处理生活中的问题，因此，培养数学意识是培养数学思维的一个重要方面。然而在我们实际的数学课堂教学中，作为老师却很少注意到培养学生这方面的意识。这里，我主要谈谈以下几点看法：
首先，就数学这门学科来讲，问题是数学的核心，所以，教师可以创设适当的问题情境，培养学生的问题意识。强烈的问题意识是思维的动力，能够促使人们去发现问题、解决问题甚至去发现新的问题，即创新。亚里士多德也有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的”。所以，要培养学生的数学思维应该从培养学生的问题意识开始。荷兰数学家弗赖登塔尔也指出：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，要做到这一点我们作为老师就要当好这个引路人，可以创设适当的问题情境启发学生进行思考，并能够提出问题，这是学生学习的一个再创造过程。心理学研究表明，意识到问题的存在是思维的起点，没有问题的思维是肤浅的思维、被动的思维。
其次，应该培养学生的反思意识，对于反思这个词无论是在生活中还是在学习中都非常重要，那么对于数学来讲也不例外。“反思特别是解题后的反思是提升数学思维能力的催化剂”，这是彭光焰在发挥解题后反思对培养学生思维品质的作用中说到的。也就是在反思中不仅能够理解知识点的内涵、外延，也从中汲取经验教训，特别是解题过程中，可以进一步巩固和扩大解题成果，提高解题效率，培养并提升思维能力。因此，在教学中应该培养我们学生反思这一良好习惯。当然，除此之外我们应该培养数学的其他意识，例如应用意识、建模意识等等为我们学会数学的思维奠定良好的基础。
(二)提高教师专业水平
教师，作为一名专业人士，衡量其专业水平高低，主要看其专业能力、专业素养，“专业能力通常被认为是掌握精深的专业知识，以及行之有效的、易产生社会效果的工作方法的选择及运用的能力，而专业素养一般被认为是专业道德和专业规范的集合，它是一种无形的、将外部能力内化为意识中的、不易外显的、属于精神层面的内驱力，由这种内驱力来指导着外显的各种能力”。要培养、学生的数学思维，教师在其中的作用尤为重要，在实践的教学中教师要发挥自身的指导作用，我们知道新课改后数学教育不再只是注重双基训练，培养学生的数学思维以及情感、态度、价值观等也被列为数学教学的一个目标。然而“工欲善其事，必先利其器”。也就是说新课改要得到真正的落实，教师的专业水平至关重要。我们作为数学教师应该不断提升自身的专业能力及专业素养，除了过硬的学科知识外，娴熟的专业技能和教学能力也非常重要。
关键词：数学的思维；问题解决；数学意识
在科技高度发达的今天，数学的应用呈现了广阔的前景。数学所具有的一些特征使它在其他科学、技术以及生活实践中都有着广泛的应用。如高度抽象的数学概念，反映着各种不同类型的具体对象中量的共同规律，这决定了数学可以广泛地应用于各种不同的对象之中，它是一切科学的工具。数学向其他科学渗透又形成了许多新的交叉学科，且各门科学向着“数学化”发展，已成为当今科学技术发展的一个重要趋势。因此，我们的数学教育担负着理性文明和科学精神的使命，那么数学课堂也应该竭力揭示数学的本质，重视培养学生的数学思维，让学生学会数学的思维。
一、对数学思维的认识
思维这个词对大家说来并不陌生，从字面上来讲，思维有广义和狭义之分，广义的思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质和事物间规律性的联系，包括逻辑思维和形象思维。而狭义的通常指心理学意义上的思维专指逻辑思维。所谓逻辑思维是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理反映现实的过程，形象思维是用直观形象和表象解决问题的思维。然而我们要想进行数学的思维首先必须了解什么是数学，数学到底是由什么组成的?关于数学概念已经有很多种说法，描述的角度不同那么定义的也不一样，比如，“从数学学科本身来讲，数学是一门科学，这门科学有它相对的独立性，既不属于自然科学，也不属于人文、社会或艺术类科学；从学科结构上看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的表现形式看，数学是符号，是语言等许多种说法”；或者说数学是一门模式的科学等。但从总体上来讲，我比较赞同的是“数学是一门有活力的科学”。而既然数学是一门有活力的学科，如果仅仅只是包含那些定义、定理、公式、解题模式等是不够的，这些都是静态的，它体现不了数学活力这一根本特征。我们知道到20世纪80年代，问题解决成为了数学的焦点，而问题又是我们数学的核心或是心脏之所在。因此，数学应该还包含有数学问题解决这一动态过程，这才体现数学活力的特征。这里的问题解决不单单只是记忆了老师上课时所讲的步骤、公式或是单纯的做些练习题，这样还是体现不了活力这一特征。问题解决它是带有探索、分析、猜测、验证等并带有自己的数学思维在内的一个动态的过程，它必须包括一系列的心理操作过程与认知成分的参与。根据对数学与思维概念的认识，所谓数学思维，是人脑与数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。
二、如何学会数学的思维
(一)充分发挥问题解决教学的作用
我们应该怎样学会数学的思维呢?在上文中提到过问题解决是数学的一个重要组成部分，那要学会数学的思维我们可以从问题解决开始着手，在问题解决的过程中培养学生数学思维。雷斯尼讲过这样一句话：“要成为一名好的数学问题解决者——要成为在任何领域中一个好的思维者——可能就是要在获取各种特殊技能、策略和知识的同时，不断养成对事物作出解释和形成数学意识的习惯和个性”。因此，可以说从某种角度来讲培养合格的数学问题解决者是我们数学教学的一个重要目标。而从另一角度来说，我们可以把问题解决作为一种手段一个中介，通过问题解决可以培养学生的各种数学能力、数学思想甚至可以培养学生的数学素养，那离数学的思维也就不远了。也就是说如果在我们的问题解决教学中能够充分发挥其作用，我们的学生将会得到意想不到的收获。如一题多解或一题多变不仅能让学生从多角度、多侧面地分析思考，探求不同的解题途径，还能培养学生思维的灵活性，较强的应变能力等。而且在这种情况下，学生经历了从多角度分析解决问题这个过程，不仅全面准确的掌握知识，并且激发了发散性思维。但在这里，作为数学教师还需注意以下几个问题：
首先，针对一题多解和一题多变这点，部分老师不能做到这一点，尤其是一题多解。他们大都给学生传授的是书上的一种固定的求解方法，这样所造成的后果是非常严重的，它不仅会限制我们学生的思维，而且还会给学生造成这样的一种错觉：那就是我们所遇到的问题，书上都会有一种现成的解法，我们只要记住就行了。所以，作为一名教师特别是数学教师在讲解数学问题的时候，应鼓励学生多思考，力求方法的多样性，这样也促进了学生思维的发散性。
另外，给学生提问的时候，应注意问题的合理性与真实性，现在的课堂教学中，存在人为编制的问题这种现象，而且远离了我们现实层面，当然老师这样做的目的无非是为了让学生更好的掌握这方面的知识，但久而久之也会给学生造成一些不好的影响，首先会使学生不能对数学的本质有一个很好的认识，也就是远离正确的数学观，如我们要解决的问题没什么实际意义，只是为了练习，我们记住了老师上课所讲的方法后就会解题了。于是，学生没有想过要自己去寻找解题的方法，处于一种被动的地位，并认为数学是从专家那里“传递下来”要他们记忆的一门学科。其次，既然学生处于一种被动的地位，当然也不利于我们学生思维的发展。
(二)尽可能发挥元认知作用
元认知是由美国教育心理学家弗拉维尔(J.H.Fla-veU)于1976年首先提出来的，根据他的观点，元认知是指个体对自身认知过程的认知和意识，对整个认知活动具有体验、调节和评价的功能。“在这里主要突出显示了在认知活动中的“自我意识”，也就是认知者在自己的认知过程的思维活动中的自我调节与控制的意识。因而，较易避免在认知活动中的盲目性，增强自觉性，使得在认知过程中所运用的思维方法和策略更符合自己实际的认知水平和知识结构的特点。特别是在问题情境教学中，元认知发挥着非常重要的作用，我们可以运用一些元认知提示语来启发我们的学生，例如：你正在做什么?你为什么要这样做?你以前遇到过类似的问题吗?这样做对你有什么帮助等等，这是波利亚在怎样解题表中经常用到的，我们在课堂中也可以贯穿这种思想。不断启发学生思考，并且能进一步带动学生提出更多新的问题，引导思维逐渐深化，使问题逐渐加深，可有效的培养学生思维的深刻性和独创性。另外，据研究表明元认知在问题解决中的作用尤不可忽视，在解决问题时，利用元认知可以提高学生的解题能力，改变学生以往那种单纯记忆步骤、公式或做一系列的练习，并逐步形成某种数学意识。 三、对培养数学思维的进一步思考
(一)注重对数学意识的培养
数学意识又叫数学观念，它是指用数字的眼光去观察、用数学的思维去分析各种事物之间的数量关系、空间关系。培养学生的数学意识，不仅能使学生理解和学习课本上的数学知识和技能，而且能使学生初步形成数学观点和方法看待周围的事物，学会用数学的思维处理生活中的问题，因此，培养数学意识是培养数学思维的一个重要方面。然而在我们实际的数学课堂教学中，作为老师却很少注意到培养学生这方面的意识。这里，我主要谈谈以下几点看法：
首先，就数学这门学科来讲，问题是数学的核心，所以，教师可以创设适当的问题情境，培养学生的问题意识。强烈的问题意识是思维的动力，能够促使人们去发现问题、解决问题甚至去发现新的问题，即创新。亚里士多德也有句名言：“思维是从疑问和惊奇开始的”。所以，要培养学生的数学思维应该从培养学生的问题意识开始。荷兰数学家弗赖登塔尔也指出：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，要做到这一点我们作为老师就要当好这个引路人，可以创设适当的问题情境启发学生进行思考，并能够提出问题，这是学生学习的一个再创造过程。心理学研究表明，意识到问题的存在是思维的起点，没有问题的思维是肤浅的思维、被动的思维。
其次，应该培养学生的反思意识，对于反思这个词无论是在生活中还是在学习中都非常重要，那么对于数学来讲也不例外。“反思特别是解题后的反思是提升数学思维能力的催化剂”，这是彭光焰在发挥解题后反思对培养学生思维品质的作用中说到的。也就是在反思中不仅能够理解知识点的内涵、外延，也从中汲取经验教训，特别是解题过程中，可以进一步巩固和扩大解题成果，提高解题效率，培养并提升思维能力。因此，在教学中应该培养我们学生反思这一良好习惯。当然，除此之外我们应该培养数学的其他意识，例如应用意识、建模意识等等为我们学会数学的思维奠定良好的基础。
(二)提高教师专业水平
教师，作为一名专业人士，衡量其专业水平高低，主要看其专业能力、专业素养，“专业能力通常被认为是掌握精深的专业知识，以及行之有效的、易产生社会效果的工作方法的选择及运用的能力，而专业素养一般被认为是专业道德和专业规范的集合，它是一种无形的、将外部能力内化为意识中的、不易外显的、属于精神层面的内驱力，由这种内驱力来指导着外显的各种能力”。要培养、学生的数学思维，教师在其中的作用尤为重要，在实践的教学中教师要发挥自身的指导作用，我们知道新课改后数学教育不再只是注重双基训练，培养学生的数学思维以及情感、态度、价值观等也被列为数学教学的一个目标。然而“工欲善其事，必先利其器”。也就是说新课改要得到真正的落实，教师的专业水平至关重要。我们作为数学教师应该不断提升自身的专业能力及专业素养，除了过硬的学科知识外，娴熟的专业技能和教学能力也非常重要。