【摘 要】 单摆的周期公式T=2π的应用是有条件的,其条件是偏角很小(如100),而且偏角越小公式计算的结果越接近实际值,为什么是这样呢?本文从任意角度出发,推导出周期公式,再得到偏角很小的情况时周期的表达式。
　　【关键词】 单摆 非线性摆 周期 摆角
　　
　　1引言
　　周期与实际测定值之间的误差,随着偏角的增大而增大。偏角为5°时误差误差为0.1‰,7°时为1‰,15°时为5‰,23°时为10‰”。为什么是偏角越小误差越小呢?
　　2非线性摆的振动周期
　　一根不可伸长、不计质量的绳子长为l,一端固定于O点,另一端系质量为m的小球(可视为质点),我们暂时将这个系统成为“单摆”。通过O点的竖直直线为单摆的平衡位置。为了认识摆动的一般规律,我们把单摆看作是绕O点转动的刚体,研究单摆运动的动力学规律。单摆对O轴的转动惯量为I=ml2。当角位移为?兹时,作用于小球的重力对O点的力矩M=-mgl sinθ,其中负号表示力矩的方向与角位移θ的方向相反。根据定轴转动定律,I?茁=M,有:
　　这是一个非线性的微分方程,它与简谐振动的微分方程2x=0。因此,在一般情况下,“单摆”角位移对时间的变化规律不再是余弦式(或正弦式),也就是说不是简谐运动。(1)式表示的是一种非线性振动,为了与通常所说的单摆相区别,我们把这种摆叫做非线性摆。
　　设非线性摆的最大摆角为θ0,根据微分方程(1)式,并应用微分方程理论可求得这种摆的周期表达式的级数形式:
　　可见,非线性摆的周期T'是随摆幅(由θ0表示)的变化而变化的,它不是等时摆。
　　3单摆和它的周期
　　从(1)式可知,如果在摆动过程中的所有时刻摆线对平衡位置的角位移θ的绝对值都很小,以至于θ角的正弦值与它的弧度数近似相等,即:sinθ≈θ(4)
　　(5)式为简谐振动的微分方程,其解为:
　　θ=θ0cos(ωt+α)(6)
　　其中θ0为最大摆角,成为角振幅,其周期为:
　　这就是单摆的周期公式。
　　所以,通常所说的单摆是指一般的非线性摆在摆动角振幅很小时的情形。它是一种等时摆,即周期与振幅的大小无关。如条件(4)式所表明的,单摆只是一种理想的模型。严格说来,单摆是实际的非线性摆在摆角θ0趋于零的极限情况。但是,在实际的应用中,只要“摆角足够小”,在一定的精确度内就可以使用单摆这一模型并应用周期公式(7)进行计算。
　　4怎样认识单摆的“摆角很小”这个条件
　　怎样认识单摆的“摆角很小”这个条件呢?(4)式固然在原则上表明这个条件,然而从一般非线性摆的周期公式(2)式和单摆公式(7)的比较中,更可以定量地了解对于给定的角振幅θ0,使用单摆周期公式(7)式能达到精确度。
　　由于单摆周期是当角振幅趋于零时的摆动周期,所以这个误差实际上是最大摆角从θ0变到零时,摆动周期的误差。为了有一个定量的概念,我们计算不同的角振幅情况下的误差,列表如下:
　　从上表可知:当最大摆角在15°以内时,误差在千分之五以内,而当最大摆角控制在5°时,误差则小于千分之五。
　　实际上,实验中还不可避免地有其它因素带来的误差。如摆长测量的误差,计时的误差,还有空气阻力的影响等。应用公式(7)时控制最大摆角在什么范围内才能保证必要的精确度,应当与实验中其他方面达到相适应(单一追求一个因素的“绝对”精度,既不可能,又不必要)。对于一般的物理实验来说,千分之几的误差已经可以满足要求了。所以,可以认为:θ0<15°,就满足了应用单摆周期公式的“小角条件”。如果要求精度更高的实验,比如只允许有万分之几的误差时,最大摆角应控制在5°以内。
　　为了说明上述误差的意义,举例如下:设置两个完全相同的摆,摆线长9m,每个摆的周期约为6s,如果使一个摆的振幅为1.5m(角振幅为9.6°),而另一个摆与前一个摆同相位开始摆动,但振幅为几厘米(角振幅极小,刚好能觉察出它的摆动)。这两个摆的周期的相对误差就是(8)式中的η,计算值为1.75×10-3。
　　事实上,我们观察上百次的摆动也难以看出它们的不同步变化,也就是几乎观察不出它们周期的差异。